Utilité : si dans un triangle rectangle on connaît la longueur de 2 côtés, alors on peut calculer la longueur du 3ème côté.

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1 AP Pythagore Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Utilité : si dans un triangle rectangle on connaît la longueur de 2 côtés, alors on peut calculer la longueur du 3ème côté. A - On cherche l'hypoténuse. ABC est rectangle en A, AB = 6 cm et AC= 8 cm. Calculer BC. Comme ABC est rectangle en A alors d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² BC² = 6² + 8² BC² = BC ² = 100 Donc BC = 100 = 10 cm. Remarque : la valeur trouvée est un résultat exact, mais ce n'est pas toujours le cas ( voir B ) B - On cherche un côté de l'angle droit. DEF est rectangle en E, DE = 10 cm, DF = 13 cm. Calculer EF Comme DEF est rectangle en E alors d'après le théorème de Pythagore : DF² = DE² +EF² 13² = 10² + EF² 169 = EF² EF² = = 69 Donc EF = 69 EF 8,3 cm. Remarques: 8,3 est une valeur approchée, la valeur exacte est 69.

2 C Prouver qu'un triangle est rectangle Réciproque du théorème de Pythagore : Si un triangle vérifie l'égalité de Pythagore, alors il est rectangle. Utilité : cette propriété permet de montrer qu'un triangle est rectangle. Il faut connaître la longueur des 3 côtés. Exemple : FGH est un triangle tel que FG = 3,6 cm FH = 6 cm, et GH = 4,8 cm. Donner la nature de ce triangle. Le plus grand côté est [FH] (donc c'est ce côté qui peut être l'hypoténuse) D'une part FH² = 6² = 36 D'autre part FG² + GH² = 3,6² + 4,8² = 12, ,04 = 36 Comme FH² = FG² + GH² alors l'égalité de Pythagore est vérifiée donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle FGH est rectangle en G. D - Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle Exemple : DEF est tel que DE = 7 cm, DF = 9 cm et EF = 12 cm. DEF est-il Le plus grand côté est [EF] (donc c'est ce côté qui peut être l'hypoténuse) D'une part EF² = 12² = 144 D'autre part DE² + DF² =7² + 9² = = 130 Comme EF² DE² + DF² alors l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée donc le triangle DEF n'est pas rectangle. Remarque importante : puisque l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, on ne doit pas dire «d'après la réciproque du théorème de Pythagore», car justement on ne peut pas l'appliquer.

3 AP 4 e PYTHAGORE (1) A- Calcul de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Pour chaque exercice, trace une figure à main levée et inscris les longueurs connues, puis rédige comme dans le modèle vu en cours. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième. 1- ABC est rectangle en A. AB= 3cm, AC= 4cm. Calcule BC. 2- DEF est rectangle en E. DE= 12cm, EF= 7cm. Calcule DF. 3- GHI est rectangle en I. IH= 3,9cm, GI=5,2 cm. Calcule GH. B- Calcul d'un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle. Même consigne. 1- JKL est rectangle en K. KL= 5cm, JL= 12cm. Calcule JK. 2- MNP est rectangle en P. MP= 4,8cm, MN= 6cm. Calcule NP. 3- OQP est rectangle en O. OP= 7,2cm, QP=10cm. Calcule QO. C ( ou D ) - Prouver qu'un triangle est rectangle ou non. Pour chaque exercice, trace une figure à main levée et inscris les longueurs connues, puis rédige comme dans le modèle vu en cours. 1- RST est tel que RS= 15cm, RT= 9cm et ST= 12cm. Démontre que RST est un triangle rectangle. Précise en quel point. 2- UVW est tel que UV= 7,5cm, UW= 10cm et VW=12,5 cm. Ce triangle estil 3- TVA est tel que TV = 7cm, TA = 13cm et VA=15cm. Ce triangle est-il 4- XYZ est tel que XY = 7cm, XZ = 9,9cm et YZ=7cm. Ce triangle est-il

4 AP 4 e PYTHAGORE (2) Tyrolienne * Pour installer une tyrolienne, on utilise deux arbres plantés perpendiculairement au sol et situés à 20 m l un de l autre. La tyrolienne mesure 23 m de longueur. La passerelle accrochée au premier arbre se situe à 13 m de hauteur. De cette passerelle descend la tyrolienne jusqu à une autre passerelle accrochée au second arbre. A quelle hauteur se trouve la 2 e passerelle? *** * Alignés? ** ( Le trajet rouge est celui de gauche ) Indice : Calcule AE, AF, et EF. Savon de Marseille ** Un savon de Marseille a la forme d'un pavé droit de largeur 9 cm, de profondeur 6 cm, et de hauteur 4,5 cm. Un trou a été percé à travers ce savon selon la diagonale [AB]. Quelle est la longueur de ce trou?

5 Réponses : A-1 A-2 A -3 B-1 B-2 B-3 C (ou D ) -1 C (ou D ) -2 C (ou D ) -3 C (ou D ) -4 Tyrolienne : la 2 e plate-forme est à 1,64 m de hauteur. Tunnel : la hauteur du camion ne doit pas dépasser 3,51m Fourmis : Le trajet rouge mesure environ 3,65 m, il est plus court que le trajet vert qui mesure environ 3,83 m. Alignés? : EA = 5,2 cm ; AF = 6,5 cm; EF = 11,7 cm. On remarque que EA+AF = EF donc les points sont effectivement alignés. Si ce n'était pas le cas on aurait EA+AF > EF ( inégalité triangulaire ) Savon de Marseille : la longueur du trou est environ 11,7 cm.