Table des matières. Préface de Claude Allègre Première partie. 1. Un monde d illusions 9

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1 Table des matières Préface de Claude Allègre... 5 Première partie 1. Un monde d illusions 9 Deuxième partie - Les géométries de la nature 2. Les géométries de la nature d Euclide à la relativité d échelle La géométrie apparente de notre monde, la géométrie plate d Euclide Le livre de la nature est écrit en langage mathématique De Galilée à Einstein, l espace-temps devient courbe Le développement parallèle de la mécanique quantique D Appolonius de Perge à Mandelbrot, des objets mathématiques non identifiés à l invention du terme fractal La baderne d Appolonius Les fractales mathématiques, des OMNI, des objets mathématiques non identifiés Les mathématiques ne peuvent décrire la nature complexe : l intuition de Jean Perrin La théorie fondamentale des itérations : Fatou et Julia La dynamique non linéaire Mandelbrot, un mathématicien des objets irréguliers La longueur de la côte de Bretagne La structure fractale Fractales et dynamique non linéaire Le concept miroir des fractales, les constructales Avec Nottale, l espace-temps courbe devient aussi fractal... 30

2 308 Table des matières Troisième partie - Les lois de la nature 3. Déterminisme, hasard, complexité, chaos Le déterminisme Le hasard Le chaos déterministe : l effet papillon Introduction de la notion de fractal Les fractales Les notions de mesures et de dimension Mesure et dimension d Hausdorff Les ensembles fractals L ensemble triadique ou poussière de Cantor, une recette simple pour fabriquer des fractales Quelques exemples classiques d ensembles fractals La courbe de Von Koch, le flocon de neige La courbe de Peano Le triangle de Sierpinski Le monde magique des itérations Aspect ludique des fractales Les attracteurs de Julia, Fatou et de Mandelbrot Les systèmes dynamiques, les espaces de phase, les attracteurs étranges Les systèmes dynamiques L oscillateur harmonique Le pendule simple Oscillateurs harmoniques couplés Systèmes avec champs de force central et non central Résumé des propriétés des exemples de systèmes mécaniques précédents Le phénomène d attraction Contraction des aires, deux conséquences fondamentales Attracteurs apériodiques, régime chaotique, attracteurs étranges Fonctions de corrélation, exposants de Lyapunov Recherche pratique d un attracteur et de sa dimension Exposé de la méthode dite de corrélation Les exposants de Lyapunov... 71

3 Table des matières Le chaos Un exemple de chaos Définition du chaos Instabilités, auto-organisation des systèmes dynamiques L exemple du tas de sable Les glissements de terrain et les avalanches en montagne La sismicité Les éruptions volcaniques La sensiblilité aux conditions initiales Le billard de Sinaï Contrôle du chaos Conclusion sur les systèmes dynamiques D où viennent les fractales? L explication de la théorie de la relativité d échelle La théorie de la relativité d échelle et l origine des fractales L échelle des échelles de la nature Quatrième partie - Les fractales dans la nature 7. Les fractales dans l univers Cosmologie fractale La solution du paradoxe d Olbers Les vitesses relatives des paires de galaxies La répartition des vitesses des planètes et leur répartition dans le système solaire La répartition des exoplanètes hors du système solaire Les structures galactiques Les pics de probabilité des morphologies des enveloppes d étoiles Les pics de probabilité des morphologies des étoiles La répartition des cratères de la Lune Les fractales dans le monde inorganique Les fractales en physique Les fractales en turbulence : structure multi-échelle et intermittente de la turbulence Les claquages et décharges électriques Les multifractales Les modèles d agrégation limités par la diffusion

4 310 Table des matières 9. Les fractales en géosciences Découverte de structures fractales en physique du globe La fragmentation et la fracturation des roches, la tectonique La fragmentation des roches Étude de la distribution des fragments Modélisation de la fragmentation La fracturation des roches et la tectonique Les séismes Application à l'étude de la sismicité. Loi de Gutenberg-Richter Aspect probabiliste Les volcans La méthode de la poussière de Cantor La méthode de la fonction de corrélation L application du premier retour Analyse multifractale Le géomagnétisme terrestre Les inversions du champ magnétique terrestre Les variations séculaires du champ géomagnétique Les variations temporelles du champ magnétique Les fractales en géomorphologie Le relief terrestre Le mouvement brownien fractionnaire et le relief virtuel Les chaînes de montagnes Les côtes Les réseaux hydrographiques Les cours d eau Les réseaux de drainage DLA Les bassins de drainage et les multifractales L océan la rugosité des fonds marins Les vagues scélérates Les arborescences de Granville La banquise et les glaciers L atmosphère Les nuages La mécanique de l atmosphère et du climat Les fractales dans le vivant Une structuration hiérarchique du vivant

5 Table des matières Les formes fractales dans le vivant Les échelles microscopiques, du génome aux cellules Génome et chromosomes Les échanges de molécules inter membranaires La croissance des bactéries Les stromatolithes Les cellules nerveuses Les échelles moyennes, du génome aux organes Morphologies végétales Les fougères Les choux-fleurs Les arbres Morphologies animales Les invertébrés Les plumes des oiseaux Les poumons Les systèmes artériel et veineux Le fonctionnement de l estomac Les intestins Les reins Le développement allométrique du corps Les grandes échelles du vivant, des organes aux populations Passage des bifurcations au chaos par des doublements de périodes dans la dynamique des populations animales Territoire couvert par une population en extension Extension des épidémies Les battements du cœur humain L épilepsie soignée par le chaos provoqué? Les fractales en paléontologie Découverte de lois de puissance dans la distribution statistique des apparitions et extinctions d espèces chez les rongeurs Extension des recherches en paléontologie Découverte des lois log-périodiques et premières applications Application de lois log-périodiques à la macroévolution des Primates ; de l espace au temps Extension des recherches en macroévolution La signification du temps critique Ces résultats sont-ils les conséquences de biais?

6 312 Table des matières 13.Les fractales en sciences humaines La structure urbaine La démographie mondiale Les fractales en économie Krachs boursiers et méthodes d étude Application de lois log-périodiques à l évolution de la bourse Évolution des systèmes économiques d Europe occidentale Les civilisations d Amérique centrale Les fractales dans les arts Les fractales dans les arts graphiques Les dentelles de Dürer et de Sierpinski Le sfumato de Léonard de Vinci La grande vague au large de Kanawaga Le visage de la guerre de Dali Les galeries d art sur Internet Les fractales en littérature et le chaos déterministe au théâtre La musique fractale Les musiques fractales sur Internet Le zoom, les fractales et le cinéma Cinquième partie - La nature revisitée 16.La nature revisitée La théorie de la relativité d échelle, une nouvelle clé de lecture de la nature La nature revisitée L Univers revisité Le Vivant reconsidéré Les Sociétés revues et corrigées Une théorie globale de l évolution des systèmes? Conclusions 237 Annexes 18.Notes et formules Glossaire Quelques sites internet dédiés aux fractales Références 297

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