230. Séries numériques. Comportement des restes ou sommes partielles. Exemples.

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1 23. Séries umériques. Comportemet des restes ou sommes partielles. Exemples. Pierre Lissy December 8, 29 Das tout ce qui suit, K désige R ou C Covergece d'ue série. Déitio et modes de covergece[3] Déitio. Soit (a ) K N. Posos s := a, appelée la somme partielle d'idice. O appelle série i= de terme gééral a (otée abusivemet a ) le couple (a, s ). Lé série est dite covergete (o écrira a CV) si et seulemet si la suite (s ) coverge; sa limite sera appelée somme de la série a et sera + + otée a. O appelera reste d'idice la quatité a. Das le cas cotraire, la série est dite divergete i= i=+ ( a DV). La série a est dite absolumet covergete si ( a CVA) et seulemet si a coverge, et elle est dite commutativemet covergete ( a CVC) si et seulemet si σ Bij(N), a σ() coverge et e déped pas de σ. Propositio. Soiet (a ) K N, (b ) K N, (λ, µ) K 2.. Soit N. a CV a CV. 2. Si a CV et b CV (resp. CVA, CVC), alors + µb ) CV (resp. CVA,CVC) et (λa µb ) = λ + a + µ + i= i= + = (λa + 3. Si a CV et b DV, alors + µb ) DV. (λa 4. Si a CV, a, la réciproque état fausse. Si a, o dit que a diverge grossièremet ( a DVG). 5. Si (a ) R +N, alors soit a CV, soit +. Exemple ( ) + a +. Das ce cas o s'autorise à écrire k= z CV pour z <, DVG pour z. DV (mais pas grossièremet) CV (mais pas absolumet) ( + )( + 2) CV + = a =

2 .2 Critère de Cauchy[3] Déitio 2. Soit (a ) K N. O dit que a vérie le critère de Cauchy si et seulemet si la suite des sommes partielles est ue suite de Cauchy, ie. ε >, N N m N Théorème. a CV a vérie le critère de Cauchy. k=m a k ε. ϕ(+) Corollaire. Si a CV, alors pour toute extractio ϕ, si l'o pose b := a, alors b CV et k=ϕ() + a = + Iversémet, si ϕ est telle que (ϕ( + ) ϕ()) est majorée, alors b CV a = = + CV et a = + = = Exemple 2. A trouver.3 Lie etre les modes de covergece[] Théorème 2. a CVA a CVC d'idépedace de la somme parrapport à σ est iutile. a CV. De plus, das la déitio de la CVC, l'hypothèse Déitio 3. Ue série covergete mais o absolumet covergete est dite semi-covergete (SCV). Théorème 3. Soit (a ) R N. Si a est SCV, alors a b R, σ Bij(N) telle que ( a σ(k) ) k= ait pour valeurs d'adhérece [a, b]. E particulier a R, σ Bij(N) telle que ( a σ(k) ) coverge vers a..4 Produit de Cauchy de deux séries[2] Déitio 4. Soiet (a ) K N et (b ) K N. O appelle produit de covolutio la suite otée (a b ) déie par: N, a b := a i b j. O appelle produit de Cauchy des séries a et b la i+j= série b ). (a Théorème 4. Si a CVA et b CV, alors b ) CV et (a k= +ifty (a b ) = ( +ifty a )( +ifty b ). = = = Corollaire 2. Appelos l (K) = {Séries à valeurs das K qui CVA}. ormée complète d'élémet eutre pour (,,,...). Exemple 3. ( e iθ ) CV si θ [2π]. ( + k) 4 (k + ) 3 2 k= Alors (l, +,., ) est ue K algèbre 2 Critères de covergece pour les séries positives Remarque. Das les critères doées aux paragraphes à 5, toutes les hypothèses de positivité et toutes les iégalités peuvet être remplacées par des hypothèses de positivité ou des iégalités à partir d'u certai rag. 2. Comparaiso simple, logarithmique[2] Propositio 2. Soiet (a ) R +N et (b ) R +N. Si a = [ ]O(b ) et b CV, alors a CV. Exemple 4. cos() 2 CVA. Propositio 3. Soiet (a ) R + N et (b ) R + N. Si, a CV. a + b +, alors b CV a b 2

3 2.2 Comparaiso avec ue itégrale[3] Théorème 5. Soit f C(R +, R, positive et décroissate. O pose (u ) := (f()). Alors u CV + f < +. Exemple 5. CV ssi α >. kα 2.3 Critère de codesatio de Cauchy[2] Propositio 4. Soit (a ) R +N décroissate. Alors a CV 2 a 2 CV. Exemple 6. [2] Séries itérées des séries de Bertrad. La série de terme gééral série de terme gééral (log)(log(log)) β 2.4 Règle d'alembert[2] CV ssi β >. Et aisi de suite. (log) β CV ssi β >. La Propositio 5. Soit (a ) R + N. Si lim a + <, alors a CV. Si N tel que a +, a a alors a DVG. Exemple 7. ( 3 )! CV Règle de Cauchy[2] Soit (a ) R + N. Si lim a <, alors a CV. lima > ou a pour ue iité de valeurs de, alors a DVG. Exemple 8. A trouver 3 Critères de covergece pour les séries o écessairemet positives 3. Comparaiso avec ue itégrale[6] Théorème 6. Soit f : R + R ue foctio de classe C dot la dérivée est L. Alors Exemple 9. cos()l() DV. + f < Règles d'abel[2] Théorème 7. Soiet (a ) K N et (b ) K N. Das chacu des cas suivats, a b CV:. (a ) est à variatios borées, a et b est à sommes partielles borées. 2. a CV, et (b ) est à variatios borées 3. Il existe ue suite λ de R + telle que a λ, λa a CV et ( ) est borée. λ Exemple. eiθ CV si θ [2π]; ( ) ( ) + CV. 3

4 3.3 Critère spécial pour les séries alterées[7] Théorème 8. Soit (a ) R +N ou (a ) R N. O cosidère la série ( ) a. Cette série est dite alterée. Supposos que a est décroissate, et a. Alors ( ) a CV, sa somme est de même sige que le sige de a est ( ) k a k a. k=+ Exemple. ( ) α CV si et seulemet si α >. 4 Comportemet des restes et sommes partielles 4. Comparaiso des séries positives O ote R ue des relatios de comparaiso suivates : o, O,, θ. Soiet (a ) R +N et (b ) R +N vériat a R Théorème 9.. Si a DV, alors b DV et a R 2. Si b CV, alors a CV et Exemple 2.. Si α <, 2. Si α =, 3. Si α >, k= + k=+ k l(). k= k α α (α ). + k=+ a R k= + k=+ k α ( α) α. 4.2 Séries déies à partir d'ue foctio positive [5] O cosidère ue foctio g de classe C sur R +, positive. O s'itéresse à g(k). O pose s := k et si g(k) CV, o pose r := k Théorème.. Si g (x) g(x) (a) Si g =, s (b) Si g <, r 2. Si g (x) = o(g(x)), alors + k=+ g(k). µ, alors µ e µ µ e µ (a) Si g =, s µ g, (b) Si g <, r µ 3. Si g(x) = o(g (x)), alors + g. g, + (a) Si g est croissate pour x assez grad, s g(), (b) Si g est décroissate pour x assez grad, r g(). Exemple 3. g.. k= k = l() + γ o( ) 2. A >! = A ()e ( o( )). k= k= g(k), 4

5 4.3 Séries de sige quelcoque: échelles de comparaiso[2][5] PARAGRAPHE A REVOIR Déitio 5. O appelle échelle de comparaiso u esemble de foctio réelles E déies sur R + vériat:. Tout élémet de E est > au voisiage de +, 2. E, 3. f, g E fg Eetf = o(g)oug = o(f)).. Exemple 4. O pred comme échelle de comparaiso les séries de Riema, les séries de Bertrad et leur itérées. Théorème. Soit (a ) R N. Si c,..., c k R, si f,..., f k E tels que a c f ()... c k f k () c k f k (), alors ces réels et ses foctios sot uiques et c f () c k f k () est appelé le développemet asymptotique de (a ) à la précisio f. Remarque 2. Ce théorème sert à prouver la covergece de séries de la maière suivate: o developpe a jusqu'à obteir u terme c p f p() positif ou qui CVA. Exemple 5. log( + ( ) 2 3 ) CV, alors que log( + ( ) ) DV. 2 Developpemets : Lies etre les modes de covergece [], réorgaisatio des termes d'ue série semi-cv [2], Produit de Cauchy aaibli + exemple [2] Refereces [] Schwarz Topologie et aalyse foctioelle [2] Chevallard séries umériques [3] Dixmier cours de mathématiques du premier cycle tome 2 [4] Choquet topologie [5] Dieudoé calcul iitésimal [6] Zuily-Queelec [7] Ramis aalyse 5