P H Y S I Q U E D E S P A R T I C U L E S H I S T O I R E - T H E O R I E

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1 Pierre BOUTELOUP P H Y S I Q U E D E S P A R T I C U L E S H I S T O I R E T H E O R I E PREMIERE PARTIE EQUATION DE SCHRODINGER EQUATION DE DIRAC I Equation de Schrödinger L équation En 93, de Bröglie postule qu à toute particule d impulsion P est associée une onde de longueur d onde λ = h/p (h est la constante de Planck, = h/ π ). Cette dernière formule est d ailleurs invariante relativiste pour une onde telle que ω = m C. On explique alors les niveaux d énergie discrets de l atome comme dus à des états d ondes stationnaires électroniques. En 97 Schrödinger écrit une équation d évolution pour les ondes de matière : L équation de Schrödinger. ψ ψ ψ ψ i = q V ψ t m x y z pour une particule de charge q placée dans le potentiel V; soit : ψ i = H ψ t H est le hamiltonien. Elle provient de la relation E = P / m par la substitution : x x P L i = i x 0 E 0 i P = L i = C C t µ µ donc P L i. Dans le cas du potentiel électromagnétique µ A, il faut faire la substitution : µ µ µ 0 i V P L i q A, ce qui donne P L q C t C Succès de l équation D une manière générale, les expériences en physique des particules sont de trois types : () di ffusion () spec t ros copie (niveaux d énerg i es d états l iés) (3) désintégra tion : probabi li tés de transitions, durées de vies

2 Dans ces trois domaines, le succès de l équation de Schrödinger est total. Ainsi, par exemple, elle redonne la formule de diffusion de Rutherford des électrons par un noyau fixe car infiniment lourd. Elle redonne tous les niveaux de l atome d hydrogène déjà trouvés par le modèle de Bohr (93, ancienne mécanique quantique, c est à dire : mécanique newtonienne + conditions de quantifications adéquats). Elle est ensuite à la base de la compréhension de la classification périodique des éléments, dont elle fournit l explication, puis à la base de toute la chimie, même si la plupart des problèmes se résolvent par des méthodes d approximations. Elle prédit correctement l interaction d un atome avec le champ électromagnétique traité classiquement (sauf bien sûr l émission spontanée qui suppose de quantifier le champ électromagnétique. 3 Difficultés Cette équation basée sur la relation E = P / m n est pas relativiste. Or l électron dans l atome est animée d une vitesse de l ordre de C/37 (/37, constante de l interaction électromagnétique), C étant la vitesse de la lumière. Les corrections relativistes (précessions des orbites, champ magnétique apparent vu par l électron en mouvement) doivent intervenir (structure fine des niveaux). Ces corrections ont déjà été trouvées dans le cadre de l ancienne mécanique quantique par Sommerfeld en 96. II Equation de Dirac 99 L équation On cherche une équation de la forme i ψ/ t = H ψ basée sur 4 la relation E = P C + m C avec la substitution µ µ P L i. Il vient : ψ ψ ψ 3 ψ i = i C α + α + α + β m C ψ t x y z Succès de l équation de Dirac ψ ne peut être une fonction scalaire mais doit être un spineur de Dirac : ψ ψ i ψ = 3 les α et β sont des matrices 4 4. ψ 4 ψ Il existe des solutions à énergies négatives qu on ne peut pas laisser de côté. Il faut les interpréter comme des antiparticules. La confirmation vint par la découverte du positron par Carl Anderson en 93. On retrouve alors automatiquement le spin avec :

3 0 0 : particule avec le spin en haut; : " spin en bas : antiparticule avec le spin en haut; " spin en bas 0 D autre part, l équation de Dirac redonne le bon rapport gyromagnétique g = pour le rapport entre le moment cinétique et le moment magnétique de l électron. C est la seule justification que l on en ait, et cela laisse à penser que l électron est vraiment élémentaire. Elle redonne la structure fine de l atome d hydrogène obtenue par Sommerfeld. 3 Difficultés C est une équation d onde pour une particule. Or, dans certains cas (barrière de potentiel, paradoxe de Klein, 930) il apparaît des fréquences nouvelles qu il faut interpréter comme la création de nouvelles particules. DEUXIEME PARTIE THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS I Quantification du champ électromagnétique Introduction Le but est d avoir une théorie dynamique correcte du photon découvert par Einstein (effet photoélectrique, 905), c est à dire de l aspect particulaire du champ électromagnétique. Il faut en effet réconcilier l aspect ondulatoire et corpusculaire de ce champ. Il faut d autre part pouvoir expliquer l émission spontanée d un photon par un atome, qui n est pas trouvée lorsqu on traite classiquement le champ électromagnétique. Quantification effective La quantification est faite par Born, Jordan et Heisenberg (Novembre 95). Prenons une corde attachée à deux points fixes : j l Tout mouvement de la corde peut être décomposé en superposition d ondes stationnaires, les modes propres. 3

4 j l j l j l Il en est de même pour un cerceau vibrant, mais là, les ondes peuvent être progressives. Le cas du champ électromagnétique ressemble plutôt au cerceau, puisque l on aura des ondes progressives d impulsions déterminées. Chaque onde peut être décrite quantiquement comme un oscillateur harmonique. Or dans le traitement quantique de l oscillateur harmonique, on a des opérateurs de création et d annihilation qui peuvent faire apparaître ou disparaître une unité ( ω) d énergie de vibration. 3 Résumé de la quantification du champ électromagnétique ) Le champ électromagnétique peut être décrit en terme de superposition des modes normaux d oscillations. ) Chaque mode normal est dynamiquement équivalent à un simple oscillateur harmonique. 3) Un oscillateur harmonique a des niveaux d énergie discrets et équidistants d espacement h ν, avec h la constante de Planck et ν la fréquence classique de l oscillateur. 4) L état du champ quantifié est complètement décrit par le niveau d excitation de chaque mode normal. 5) Si un mode particulier est au n niveau d excitation, alors l énergie correspondante est n h ν, comme s il y avait n particules d énergie h ν présentes. 6) Un tel état est également état propre de l impulsion du champ électromagnétique. Les valeurs propres sont les composantes d un vecteur d amplitude n h ν/c dans une direction particulière. 7) Mathématiquement, à un état correspond un vecteur dans un espace de Hilbert appelé espace de Fock. A une grandeur mesurable, 4

5 champ électrique, etc correspond un opérateur local, exemple : E (M,t). Les valeurs propres de ces opérateurs sont les résultats x de mesures possibles, exemple : E (M,t). x 8) Le caractère dual, ondulatoire et corpusculaire du champ électromagnétique est réconcilié. Le côté particulaire correspond au vecteur d état dans l espace de Fock; le côté ondulatoire correspond au fait que les opérateurs champ E, B, etc obéissent à des équations d ondes. 9) Le mot "photon" symbolise cet aspect "particulaire" des excitations du champ électromagnétique. 0) La complète indiscernabilité des photons découle directement de cette description, car ils ne sont pas des entités séparables. 4 Succès Parmi les résultats de l optique quantique, citons l obtention de l émission spontanée avec la valeur correcte de la probabilité correspondante, c est à dire, la durée de vie des états atomiques; les sections efficaces des diffusions Rayleigh et Thomson de la lumière, la section efficace pour l effet photoélectrique; l interaction de la lumière avec la matière, permettant de comprendre l origine de l indice de réfraction, la fluorescence de résonance etc. D un autre côté, on retrouve complètement l approximation classique de l onde électromagnétique dans le cas d un très grand nombre de photons en cohérence. 5 Fluctuations du champ électromagnétique du vide La quantification du champ électromagnétique apporte le résultat spectaculaire et nouveau que dans le vide, il se produit spontanément des fluctuations de ce champ électromagnétique. a) Existence théorique des fluctuations L oscillateur harmonique correspond au mouvement d une particule massique dans un puit de potentiel parabolique : Le traitement quantique apporte ceci de fondamental que l état d énergie minimale n est pas le repos d énergie nulle; c est un état ayant un mouvement résiduel et d énergie E = / ω. Ce résultat vient de la relation d incertitude de Heisenberg x P impliquant l impossibilité du repos en un point précis avec x = 0, P = 0. Puisque chaque mode normal du champ électromagnétique correspond 5

6 à un oscillateur harmonique, l énergie minimale (de point zéro) d un tel mode n est pas nulle. Cela veut dire que, dans le vide, en l absence de toute radiation et de tout champ électrique et magnétique, il y a des fluctuations non nulles du champ électromagnétique. Nous allons en voir cidessous quelques conséquences expérimentales. b) Emission spontanée d un atome Une onde électromagnétique baignant un atome peut faire monter un électron à un niveau d énergie supérieur, c est l absorption. Mais elle peut également faire descendre un électron déjà situé à un niveau supérieur, c est l émission induite à la base du fonctionnement des lasers. On comprend alors d où vient l émission spontanée inexpliquable dans la théorie classique, c est une émission induite par les fluctuations du champ électromagnétique du vide. Elle ne peut pas être comprise dans la théorie classique du champ qui oublie ces fluctuations. c) Lamb shift L électron dans l atome d hydrogène est un peu "secoué" en réponse à ces fluctuations du champ électromagnétique. Cela modifie son évolution donc son énergie. Les énergies des niveaux s et p sont modifiées différemment, ce qui lève la / / dégénérescence de ces niveaux. d) Effet Casimir Considérons une paire de plaques conductrices parallèles séparées par la distance a. J L a La composante du champ électrique parallèle aux plaques doit être nulle, de telle manière que les modes permis pour les fluctuations du champ correspondent au dessin de la corde du I de la deuxième partie. Pour chaque mode k, il existe une énergie de point zéro de / ωk. Lorsque la séparation des plaques augmente, le nombre de modes permis augmente, et l énergie augmente. A cette variation d énergie en fonction de la distance correspond une force attractive dont la valeur par unité de surface est : π C F = 4 40 a Cette force très faible a été mise en évidence par Sparnay en 958 qui fut capable d observer à la fois l intensité et la 6

7 dépendance avec la distance. Pour un micron de séparation, et un mètre carré de surface, on trouve : F =,3 grammes. II Seconde quantification Heisenberg, 934 Présentation Pour résoudre le problème posé par l équation de Dirac, la solution est alors de la traiter comme une équation d onde classique, comme celle du champ électromagnétique, et de la quantifier. On appelle cela la seconde quantification. électron L équation de Dirac L théorie quantique des champs I Prem i ère q ua n t i fi c a t i on De uxièm e qu a n t i f i c a t i on Les électrons deviennent des excitations du champ électronpositron, comme les photons sont des excitations du champ électromagnétique. Nous avons donc l unification des particules de matière et des champs de forces. Ces particules de matière, comme les champs de forces, sont des excitations de champs quantiques. On a des interactions entre champs quantifiés, exprimées par un Hamiltonien d interaction. Ces interactions sont locales. La possibilité de créer ou de faire disparaître les particules à partir du vide est ainsi complètement prise en compte par le formalisme; le vide acquiert ainsi une structure. Cette possibilité de faire apparaître ou disparaître une particule résultait déjà de la relativité restreinte, avec la formule d Einstein : E = m C. Les diagrammes de Feynman On traite le problème par approximations successives en théorie des perturbations. Les diagrammes de Feynman permettent de calculer les amplitudes de probabilité pour les sections efficaces de diffusion, durées de vie de particules instables etc. Ainsi, la répulsion de deux électrons s explique par l action locale d un photon virtuel échangé, qui est luimême un quanta de champ. Le mot "virtuel" vient du fait qu il s agit d états quantiques intermédiaires entre l état initial, et l état final, et ne 4 vérifiant pas la relation relativiste : E + P C = m C. On dit qu ils sont hors de la couche de masse. I e e e ( ) photon ( ) e Mais, en théorie quantique des champs, une interaction ne correspond pas uniquement à l application d une force entre 7

8 particules. Elle peut également transformer une particule en une autre. Ainsi, l interaction faible peut assurer la diffusion des neutrinos les uns sur les autres : ν ν ( 0 ) Z ( ) ν ν mais elle peut également transformer un proton en neutron : p e ( ) + W < ( ) n ν 3 Les antiparticules On peut montrer, compte tenu de l inégalité de Heisenberg E t, impliquant que l échange du quanta dans un temps t très petit implique une dispersion en énergie très grande (états virtuels hors de la couche de masse), que la particule échangée peut aller plus vite que la lumière. Dans ce cas, à cause de la relativité restreinte, si dans un référentiel, on voit la particule émise en () et reçue en (), dans un autre référentiel, c est l inverse. Comme le transfert de charge électrique doit être le même dans les deux référentiels, puisque la charge électrique est invariante, c est une particule de charge négative que l on + voit aller de () en () : W. W est l antiparticule de W. Les particules neutres ont également leur antiparticule. p e ( ) I W ( ) n ν La nécessité de ce dédoublement du monde des particules quantiques fondamentales en particules et antiparticules est l un des résultats les plus important de l alliance entre la théorie quantique et la théorie relativiste einsteinienne. Ce que nous 8

9 avons montré de manière intuitive ici est démontré rigoureusement en théorie quantique des champs. Notons enfin, que certaines particules sont identiques à leur antiparticule. Il en est ainsi du photon, qui est unique. 4 Symétries D une manière générale, on peut effectuer les transformations suivantes sur un diagramme : On peut changer toutes les particules en leurs antiparticules, avec changement de la parité donc de l hélicité. Cela correspond à l invariance globale sous la symétrie C P : C transformation générale de toutes les charges en leurs opposées, ou conjuguaison de charge, donc passage aux antiparticules, et P changement de la parité donc de l hélicité. On peut changer le sens de toutes les flèches. Cela correspond à l invariance globale sous la symétrie T, changement de sens de l écoulement du temps. Notons qu on a découvert quelques réactions, dont en particulier 0 0 une réaction faisant intervenir le système K K, n obéissant pas séparément à la symétrie C P. Puisque la symétrie C P T est toujours vérifiée, d après le théorème célèbre C P T de la Théorie quantique des champs, cette réaction n obéit pas non plus à la symétrie T seule. On peut inverser une flèche à la condition de changer la particule correspondante en son antiparticule, et de changer également la parité, donc l hélicité de cette particule. Cela s appelle la symétrie croisée. (crossing symmetry). Cela revient à faire subir à la particule concernée, la symétrie locale C P T. En utilisant ces trois procédés, du diagramme précédent où un proton se transforme en neutron par interaction faible, on peut déduire celui correspondant à la désintégration du neutron. p e I W n ν p e W < n ν 9

10 p e W < n ν n L p + e + ν (durée de vie environ 0 minutes). De la même manière : + + e + e e e e e ( ( ( ) ) ) donne ( et ( ( + e e e e e e Nous voyons sur cet exemple, comment on passe de l application d une force à l annihilation de particules, puis en la création de nouvelles particules. 5 La connexion spinstatistique. La théorie quantique des champs permet de démontrer que les particules de spin / ou ( n + ) / obéissent au principe d exclusion de Pauli, donc à la statistique de FermiDirac, tandis que les particules de spin ou n obéissent à la statistique de BoseEinstein. Ainsi, alors que la limite classique des champs existe pour le champ électromagnétique, dans le cas d un nombre très grand de photons, il n y a pas de limite classique pour le champ électronique. Ce n est donc pas un hasard si la nature ondulatoire du rayonnement électromagnétique est apparue en premier, tandis que c est la nature corpusculaire de l électron qui est apparue en premier. III Panorama des particules Tableau des particules de matière et des particules de champ Voir tableau en appendice. Généralités Les particules de matière se séparent en deux familles : les leptons insensibles à l interaction forte, et les quarks sensibles à toutes les interactions. Chacune de ces deux familles apparaît en trois générations de particules de plus en plus lourdes. Chaque génération contient un doublet de leptons et un doublet de quarks. On passe d un membre du doublet à l autre par un processus 0

11 d interaction faible, par exemple : e u d + et W W < < ν Les trois neutrinos, particules partenaires de l électron (e ), du muon (µ ) et du tau (τ ) ont une masse nulle ou extrêmement faible; c est un problème ouvert. On ne sait pas pourquoi il s ajoute à la première génération : u νe et d e suffisante pour constituer la matière ordinaire, deux autres générations. On ne sait pas non plus ce qui détermine la valeur des masses, bien qu une hypothèse est que ce soit le couplage avec la particule de Higg qui donne une masse. Aussi bien l étude de la 0 désintégration du Z (C.E.R.N. 989) que des résultats de cosmologie, laissent à penser qu il n y a que trois générations de particules de matière. L interaction forte transmise par huit gluons correspond à la charge de couleurs, présentant beaucoup d analogie dans ses combinaisons avec le trichromisme de l oeil, d où ce nom. Il y a trois couleurs fondamentales : rouge, bleu, vert. Le confinement des quarks implique que la charge de couleur totale doit être nulle ("blanche"). On peut donc soit assembler deux quarks de couleurs complémentaires, le système étant constitué d un quark et de son antiquark = q q, bleu, antibleu par exemple. On constitue ainsi un méson. L autre solution est d assembler trois quarks constitués des trois couleurs primaires dont la somme donne du blanc. On obtient alors un baryon dont les deux exemples fondamentaux sont le proton uud et le neutron udd. A noter la révolution de 974 avec la découverte du J/ψ = c c, état lié appelé charmonium (analogie avec le positronium + e e ). Deux laboratoires différents trouvèrent en effet, l un la particule qu ils baptisèrent J, l autre la même qu ils baptisèrent ψ. Cela correspond à la découverte du quark c (charme). Le quark c étant lourd, n est pas relativiste, et la spectroscopie du c c se fait par application de l équation de Schrödinger, l interaction forte étant modélisée avec un potentiel analogue au potentiel électrostatique. A ce propos, l absence de transition du type µ L e + γ montre que le muon n est pas un état excité de l électron. Il ne s agit donc pas dans ce cas d un problème de spectroscopie. Toutes ces particules de matière ont un spin de /. Le rapport gyromagnétique, rapport du moment magnétique au moment cinétique correspond à g = comme le prédit l équation de Dirac, et cela laisse à penser que ces particules sont vraiment élémentaire, contrairement au neutron par exemple, qui possède un moment magnétique sans être chargé, le rapport avec le moment cinétique n étant pas simple. Des ordres de grandeur convenables

12 des rapports gyromagnétiques du proton et du neutron sont obtenus avec l hypothèse qu ils sont constitués de quarks. 3 Historique sur la découverte des particules 899 Découverte de l électron par Thomson 93 Expérience de Rutherford, découverte du noyau 93 Modèle de Bohr de l atome 930 La désintégration β semble violer la conservation de l énergie : découverte du neutrino 93 Découverte du neutron par Chadwick 93 Découverte du positron par Carl Anderson 947 Découverte du méson π (rayons cosmiques) 960 L 970 Spectroscopie des baryons menant à l hypothèse des quarks 963 Facteur de forme du proton (diffusion d électrons) laissant présager une sous structure du proton (Hofstadte) 964 Hypothèse des quarks par GellMan et Zweig 967 Premier article de Weinberg sur l unification électrofaible 973 Découverte des courants neutres au C.E.R.N. menant 0 à l hypothèse de l existence du Z 974 Découverte de la particule J/ψ 977 Découverte du b b = Υ = upsilon Découverte au C.E.R.N. des bosons de jauge W, W 0 et Z A partir de 989, par l étude de la collision e e 0 au LEP (C.E.R.N.), étude de la désintégration du Z laissant supposer qu il n y a que trois générations de particules 994 Découverte du quark top Notons que dans l atome, l espacement des niveaux d énergie est de l ordre de l électronvolt, tandis qu il est de l ordre du Mev dans le noyau, et de 00 Mev dans la spectroscopie des hadrons. L hypothèse des quarks est confirmée par l étude des jets de + + hadrons dans les collisions e e (e e L qq L jets), idem, au C.E.R.N., par l étude des sections efficaces des jets dans la collision pp, au cours des années Vertex de base des quatre interactions Ce sont tous les blocs élémentaires dont les assemblements donnent tous les diagrammes de Feynman possibles. Interaction électromagnétique :

13 e e ( ) γ ( ) < Interaction forte : ub ur gluon b r Interaction faible : < u + W d < et : u Z 0 u < Interaction gravitationnelle : e e gravi ton < Les interactions sont transmises par les bosons de jauge de spin + 0 entier (, sauf pour le graviton). Seuls les bosons W, W et Z sont massiques (brisure de symétrie) assurant une très courte portée à l interaction faible. La courte portée de l interaction forte entre hadrons provient d un autre mécanisme. Elle est assurée par l annulation des trois couleurs primaires entreelles. Les forces résiduelles entre hadrons sont alors de courte portée; de la même manière que l annulation des charges + et assure la faible portée des forces de Van der Waals entre les molécules. 3

14 TROISIEME PARTIE LA RENORMALISATION I La renormalisation de l électrodynamique quantique Position du problème Prenons l exemple d un état lié de l électron dans l atome d hydrogène, ou d un état libre (diffusion par un potentiel, ou précession du spin dans un champ magnétique). Ces deux types de processus se calculent à partir des mêmes diagrammes de Feynman. Au premier ordre, on a : La croix " " symbolise la charge fixe à l origine du potentiel. Ce diagramme au premier ordre redonne par exemple la loi de Coulomb en /r qui correspond donc bien à un photon échangé. L électrodynamique quantique redonne donc bien l électromagnétisme classique comme cas limite. Si l on veut aller au second ordre d approximation, on a alors les quatre diagrammes suivants : (a) (b) + (c) e e (d) Ces diagrammes mènent pour le calcul des amplitudes à des 4

15 intégrales divergentes (infinies) à cause du fait qu il faut sommer sur tous les états intermédiaires virtuels possibles, d énergie aussi grande qu on veut. Ce problème apparut pour la première fois dans un article de 930 de Oppenheimer et resta posé jusqu en 947. Pendant toute cette période, on ne faisait pas confiance en l électrodynamique quantique, et de toute façon, on ne faisait des calculs qu au premier ordre. Solution du problème A la conférence de Shelter Island en juin 947, on disposait du résultat expérimental de Lamb sur E(s ) E(p ) / / pour la différence d énergie des deux niveaux s et p / / de l atome d hydrogène. Or ces deux niveaux sont dégénérés (même énergie) selon l équation de Dirac. Il s agissait donc d un effet apparaissant aux ordres supérieurs de la théorie des perturbations. L argument qui mène à la renormalisation est que le processus (e) L se produit spontanément pour un électron libre. Là encore, on trouve un résultat infini pour l amplitude correspondante; mais la différence des amplitudes de (a) et (e) est finie. Le diagramme (e) correspond à une modification de la masse de l électron par interaction avec le champ électromagnétique. On peut donc évacuer les infinis en renormalisant la masse de l électron. De même le processus (f) e + e se produit spontanément pour un photon libre et donne une intégrale infinie. C est la polarisation du vide correspondant à l énergie propre du photon. Mais, de nouveau, la différence entre les amplitudes de (c) et (f) est finie. On peut donc absorber les infinis dans ce qu on appelle la renormalisation de la charge de l électron. La polarisation du vide correspond à une modification de la loi de Coulomb en /r aux faibles distances, lorsque l on pénètre dans le nuage des paires électronspositrons virtuelles. C est un mécanisme analogue à ce qui se passe dans un diélectrique. Cet effet intervient pour une faible part dans le Lamb shift. L effet principal, correspondant au diagramme (e) peut s interpréter comme nous l avons fait dans la deuxième partie I 5 c. Aujourd hui, le fait d être renormalisable est, pour une théorie, une garantie de justesse, car c est une contrainte importante pour la théorie. Comme Nietzsche l a dit : "Ce qui ne nous tue pas nous rend plus fort". 5

16 Le succès de la renormalisation est impressionnant puisque, en ce qui concerne le moment magnétique anormal de l électron, on a : Théorie :, Expérience :, Le premier calcul utilisant l approximation au deuxième ordre fut fait par Schwinger. Il trouva : + α/ π avec α = /37 constante de l interaction électromagnétique. En ce qui concerne le déplacement de Lamb, c est Bethe, dans le train du retour de la conférence de Shelter Island qui fit le premier le calcul. Lamb avait trouvé expérimentalement 000 MHz. Bethe trouva 040 MHz. Actuellement, on a : Théorie : 057,855 MHz Expérience : 057,845 MHz 3 Explication Comment expliquer d une part les divergences constatées, et d autre part le succès de la renormalisation? Actuellement, on pense qu il n y aurait pas seulement des diagrammes faisant intervenir des photons virtuels, ou des paires électronpositron virtuelles. Il faudrait en fait sommer les amplitudes correspondant à tous les échanges virtuels possibles : protons, neutrons, camions virtuels! Lorsque l on limite la sommation, elle diverge, car des termes rendant la somme finie sont oubliés. Le succès de la renormalisation vient du fait que ce qui se passe à basse énergie est relativement insensible à ce qui se passe à très haute énergie où des particules très lourdes seraient créées. Ainsi, le succès du programme de renormalisation est dû au fait que lorsqu une théorie est renormalisable, la physique au niveau ordinaire est insensible à ces processus virtuels de haute énergie. Ce découplement des théories suivant les énergies mises en jeu mène à ce que l on appelle la théorie effective des champs. II Historique de la renormalisation La renormalisation en hydrodynamique Le problème de la renormalisation est apparu, sous de multiples facettes bien avant la théorie quantique des champs. Ainsi, son développement s étale de 850 à 947 (Shelter Island). La première apparition du concept de renormalisation se fait en mécanique des fluides. Considérons un objet immergé dans un fluide parfait (non visqueux). On montre qu il n y a pas de résistance de frottement à son mouvement. Par contre, la mise en mouvement de l objet à partir du repos suppose également la mise en mouvement des filets du fluide qui doivent s écarter sur son passage. 6

17 L énergie cinétique totale (objet + fluide) est encore de la forme : E = / M V mais M = M0 + M. M0 est la masse de l objet et M dépend de la forme de l objet et de la masse volumique du liquide. Pour une sphère de rayon R, on a : 3 M = /3 π ρ R (Stokes, 84). A Cambridge, à la fin du 9 siècle, on étudiait aussi bien l hydrodynamique (mécanique des fluides) que l électromagnétisme. Et l on pensait d ailleurs que ces deux disciplines étaient très proches, puisque l on pensait que le champ électromagnétique correspondait à des vibrations de l éther. Une charge en interaction avec le champ électromagnétique correspondait donc à un objet immergé dans un fluide : l éther. La renormalisation en électromagnétisme classique. En 88, J.J. Thomson introduit l idée de la masse électromagnétique d une charge, par analogie avec l hydrodynamique, en considérant l éther comme un fluide, mais aussi en considérant qu une charge en mouvement crée un champ magnétique qui contient de l énergie. Cette énergie doit être fournie par les forces qui accélèrent la charge de la vitesse 0 à V. Ensuite, Lorentz calcule la masse électromagnétique de la manière suivante : Considérons deux charges +q séparées par la distance a animées d une accélération constante perpendiculaire à la droite les joignant. γ + q L A. a B.. M + q +q r La particule en A étant immobile à l instant considéré est soumise à la force F = q E. On peut supposer qu à l instant considéré, les deux charges sont immobiles en A et B. Le potentiel détecté en A (potentiel retardé 7

18 se propageant à la vitesse de la lumière) est émis lorque la charge du bas n est pas encore arrivée en B. Elle est en M. La formule donnant E à l instant t est : V q C r V E = r 4 π ε0 3 C V. r r C q r V. + r r V 3 C 4 π ε0 C V. r r C. V est la vitesse (de la particule du bas), V est la dérivée de cette vitesse. r est le rayon vecteur mené de M, la charge qui crée le champ, à A, le point où on évalue le champ électrique. Les quantités à droites sont toutes prises à l instant t < t tel que C = r /(t t ). La dérivée de V est faite par rapport à t. La correction à la force qu il y aurait si les charges restaient immobiles est une force FA subie par le point A et due au point B : q γ q γ FA = idem FB = 8 π ε C a 8 π ε C a 0 0 q γ F = FA + FB = me γ = 4 π ε C a 0 avec me = masse électromagnétique = q 4 π ε C a 0 On remarque que me C = E, énergie potentielle des deux charges. Considérons maintenant une sphère de rayon R uniformément chargée en volume avec la densité volumique ρ. En sommant sur tous les couples possibles de charges deux à deux, on obtient le résultat trouvé par Lorentz en 904 (Modèle d AbrahamLorentz) : 4 q me = 5 4 π ε R C 0 Le problème est que si l on considère l électron comme ponctuel, il faut faire la limite quand R 0. Celleci est infinie! L interaction de la charge avec son propre champ électromagnétique diverge. Citons à propos de ce sujet Poincaré dans le chapitre "La forme de la matière" (Poincaré : "La Science et l hypothèse" page 47) : "Ainsi les électrons négatifs n ont pas de masse proprement dite; s ils semblent doués d inertie, c est qu ils ne sauraient 8

19 changer de vitesse sans déranger l éther. Leur inertie apparente n est qu un emprunt, elle n est pas à eux, elle est à l éther." Cette phrase est prophétique, puisque actuellement on pense que la masse de l électron est donnée par l interaction avec le champ de Higgs. QUATRIEME PARTIE LES THEORIES DE JAUGE I Introduction Une des grandes découverte de la physique moderne est que les quatre interactions se décrivent par des théories de jauge et ont donc une structure commune. Le terme de jauge fut introduit par Hermann Weyl en 90 dans une tentative pour relier l électromagnétisme et la théorie de la relativité générale. Weyl fut amené à proposer une théorie invariante par rapport à des dilatations ou des contractions arbitraires de l espace. Dans cette théorie, il fallait adopter un étalon de longueur et de temps différent en chaque point de l espacetemps. Il compare le choix de convention d échelle à un choix de jauge, une jauge étant le bloc d acier poli utilisé par le mécanicien comme calibre de longueur. Les théories modernes de jauge ont ceci en commun avec la théorie de Weyl que la théorie et les résultats expérimentaux doivent être invariants par des changements arbitraires de paramètres internes à la théorie. On parle d invariance de jauge. L invariance de la théorie par rapport à certaines transformations correspond à ce que l on appelle en physique des principes de symétrie. Et nous verrons qu il y aura un lien entre la dynamique (les forces) et ces principes de symétrie. Plus précisément, des principes de symétrie imposeront la forme des forces en jeu. Nous verrons que cela se produit de la manière suivante : On découvre une symétrie globale : changement à l identique d un paramètre en tous les points d espacetemps; on impose que cela devienne une symétrie locale : changement du paramètre différent en chaque point d espacetemps, et on découvre que cela ne peut se faire que par l introduction d un champ de force, dont la nature et les propriétés sont alors imposées nécessairement. Le fait d imposer une symétrie locale correspond à l exigence de localité en théorie quantique des champs; localité imposée par la théorie de la relativité (impossibilité d action instantanée à distance). Nous traitons ici l exemple le plus simple de l électromagnétisme. II L électromagnétisme : une théorie de jauge Présentation Nous avons un lien entre un principe de symétrie, la renormalisabilité de la théorie, la conservation locale de la charge électrique, et la dynamique. 9

20 ( ) ( ) (3) ( 4 ) renormalisabilité JL symétrie JL conserva t ion locale JL dynamique de la charge é l ectrique Nous ne verrons ici que le lien entre () et (4), les autres points nécessitant le formalisme lagrangien de la théorie quantique des champs. Cas de l électromagnétisme classique On sait en électromagnétisme classique que l on peut décrire l état du champ électromagnétique soit par les vecteurs E et B, champ électrique et magnétique, soit par les potentiels A et V avec : L A E = g r a d V t L B = ro t A Or les potentiels A et V sont indéterminés, car χ étant une fonction quelconque de x,y,z,t : χ(x,y,z,t), si l on pose : L A = A + g r a d χ χ V = V t E et B sont les même. On a donc là une invariance de jauge locale de la théorie, A et V étant des paramètres que l on peut faire varier à notre guise localement grâce à χ. Pour donner une image de cela, on sait bien que l on ne ressent rien dans la cage de Faraday du Palais de la découverte lorsqu elle est portée à Volt. Aucun appareil de mesure à l intérieur ne peut détecter cette tension. Mais on peut prendre la convention de dire que c est la Terre qui est au potentiel de Volt et la cage de Faraday au potentiel 0. Ainsi, on ne ressent que des différences de potentiel. Notons que V varie globalement ici, mais grâce à A on peut également le faire varier localement sans effet. On a un phénomène analogue dans la théorie de la relativité générale qui est également une théorie de jauge, avec le principe de relativité généralisée : si on est plaqué contre le plancher de la fusée, on ne sait pas si c est parce que les moteurs maintiennent la fusée immobile dans un champ de gravité, ou si la fusée accélère dans l espace loin de toute masse. Le choix du champ de gravité g est arbitraire. Dans un premier temps, on en conclut que A et V sont des artifices de calcul, et que les seules grandeurs ayant une action dynamique sont E et B. 3 Intervention de la mécanique quantique Or, il se trouve qu en mécanique quantique, l état d une 0

21 particule libre est décrit par une fonction d onde ψ, grandeur complexe dont la phase est globalement indéterminée. La phase est équivalente à la position d une aiguille sur un cadran : Lorsqu on fait des interférences avec des faisceaux d électrons en mécanique quantique, si les faisceaux ont des phases décalées de π, on ne détecte aucun électron. I + L Intensité nulle < Tandis que si les faisceaux sont en phase, l intensité est maximale. I I + L Intensité maximale Mais seules les différences de phase sont détectables. Si on tourne partout les phases d un même angle, c est indétectable. Or, pour une particule en interaction, l équation de Schrödinger ou de Dirac fait intervenir A et V, de telle manière qu il semble que ce soit eux qui aient une réalité physique. Que se passetil lorsque l on change A en A et V en V comme on a le droit de le faire? Il se trouve que l équation marche encore, à condition de i q χ changer ψ en ψ = e ψ, ce qui revient à faire tourner localement la phase d un angle proportionnel à χ(x,y,z,t) : I L L angle dépend cette fois de la position et du temps. Ainsi, pour la fonction d onde, l introduction de l interaction électromagnétique a transformé une symétrie globale en symétrie locale. 4 Conclusion Résumons nous : Particule libre Possibilité de changer la phase de l onde globalement d une même quantité. On a une symétrie globale. Particule en Possibilité de changer la phase localement, interaction c est à dire de la quantité que l on veut en

22 avec un champ chaque point et à chaque instant, à la condition d effectuer simultanément les transformations : L A = A + g r a d χ χ V = V t i q χ ψ = e ψ Ainsi, le passage d une symétrie globale à une symétrie locale se fait lors de l introduction de l interaction. Raisonnant à l envers, on peut montrer que le fait de vouloir changer la symétrie globale en symétrie locale pour la phase d un électron ψ nécessite l introduction du champ électromagnétique avec la structure qu il a, nécessairement ; ainsi que la forme de µ l interaction avec les charges exprimée par l intervention de A dans l équation de Dirac, que l on appelle : "couplage minimum". Le raisonnement précédent a une très grande portée heuristique, car lorsque nous aurons un état quantique invariant sous une symétrie globale, en exigeant qu il devienne invariant par la même symétrie, mais locale, on pourra trouver la forme de l interaction. Intuitivement, on peut dire que le fait qu un électron soit décrit par une onde de phase globalement indéterminée est déjà la trace de l existence d une interaction avec une structure précise. On peut dire que le changement de A en liaison avec le changement de la phase ψ correspond à un effet de perspective de la vue de A par la particule suivant l état interne de la particule (phase). Ce qui compte, c est l état relatif de la particule et du champ. III Connexion sur un espace fibré Espace fibré En mathématique, un espace fibré est constitué d un espace de base (ici, les points de l espacetemps) et en chaque point de cet espace de base, d une fibre (ici, les phases possibles de l onde). La fibre correspond ici à un degré de liberté interne de la particule. Une surface avec l ensemble de ses plans tangents constitue également un espace fibré. En chaque point de l espace de base : la surface, on a le plan tangent qui contient tous les vecteurs tangents possibles. Mais ici, le lien est plus direct entre l espace de base et la fibre. On a un degré de liberté externe.

23 Fibre I Espace de base Cas de l électromagnétisme Le passage du cas sans interaction au cas avec interaction se µ µ µ µ fait par le remplacement de l opérateur par D = + i q/ A µ µ µ µ µ µ P = i devient alors P = i D = i q A ; i devient i q A. Ainsi, l équation de Schrödinger pour un état stationnaire : devient : ( i ) ψ = E ψ m (i q A) ψ = E ψ m dont la solution est : x i q A dx ψ = e ψ (A = 0) Le premier terme signifie que, par rapport à la solution sans interaction, le potentiel vecteur fait tourner la phase le long du chemin élémentaire dx, d autant plus que A est important. I A = 0 J L < I A J L < < Ainsi, à partir d une position sur la fibre en un point, on a le long d un chemin, la position sur la fibre en chaque point qui est déterminée par A. On a ce que l on appelle le relèvement du chemin. Les différentes fibres sont connectées. On a une connexion sur un espace fibré. Ainsi, dans les théories de jauge, les interactions se traduisent par des connexions sur des espaces fibrés. On voit que l on a une complète géométrisation de l interaction. 3

24 3 L interaction peut changer une particule en une autre Dans le cas de l interaction faible, on peut avoir une flèche correspondant au quark u et une autre à 90 correspondant au quark d. Une position intermédiaire de la flèche correspond à une certaine probabilité d avoir un quark u, et une autre probabilité d avoir un quark d. Le boson W par exemple, correspond à la connexion de l interaction faible, et peut faire tourner la flèche donc transformer le quark u en quark d. C est le formalisme de l isospin de l interaction faible dont on déduit que les bosons + 0 correspondant doivent être au nombre de trois : W, W, et Z. I d kl u W 4 Transport parallèle sur une courbe fermée Revenons au cas de l espace fibré d une surface et de l ensemble de ses plans tangents. Prenons l exemple de la sphère. Localement, sur une région suffisamment petite autour d un point, la sphère peut être considérée comme pratiquement plate. On définit alors ce que l on appelle le transport parallèle d un vecteur le long de la courbe. Le vecteur doit rester parallèle à lui même au sens de l espace euclidien auquel on assimile la portion de sphère. I I I I I I I I I I (C) Transport parallèle le long de (C) On réalise ainsi une connexion sur l espace fibré induite par la structure géométrique (distances) de la sphère. Prenons maintenant l exemple du transport parallèle d un vecteur le long de la courbe fermée constituée de deux méridiens perpendiculaires au pôle, et de l équateur. 4

25 Pour un vecteur parallèle à l équateur en Q, on arrive en bout de course à un vecteur pointé vers le pôle en Q. Si on parcourt la courbe dans le sens inverse des aiguilles d une montre, le vecteur a tourné également dans le sens inverse des aiguilles d une montre. On dit que la courbure de la sphère est positive. On peut montrer en effet que la rotation du vecteur sur un parcours fermé est due au fait que la sphère est une surface courbe que l on ne peut pas coller sur un plan sans la déformer, c est à dire sans changer les distances des points (impossibilité de faire des cartes géographiques exactes). La rotation du vecteur le long de la trajectoire fermée est proportionnelle à la courbure moyenne de la sphère à l intérieur. Regardons maintenant la sphère vue au dessus du pôle nord. Prenons des vecteurs tous perpendiculaires à un méridien. 5

26 Equateur Pôle Nord Effectuons le transport parallèle le long des parallèles correspondant. Au voisinage du pôle, la sphère est assimilée à un plan et le transport parallèle du vecteur ne le tourne pas. Par contre, à l équateur, cela donne, vu de dessus, une rotation du vecteur égale à l angle repéré sur le parallèle (longitude). Pour un parallèle intermédiaire, on aura une rotation intermédiaire; donc un angle avec le parallèle augmentant progressivement le long du chemin, d autant plus vite que l on est près du pôle. On voit que la connexion réalise, par un procédé purement géométrique, la rotation de la flèche, comme le potentiel vecteur de l électromagnétisme réalise la rotation de la flèche dans l espace interne de la particule. La rotation sur un parcours fermé est due à la courbure de la connexion. 5 Déviation d une particule chargée dans un champ magnétique a) Le champ magnétique B correspond à la courbure de la connexion caractérisée par le potentiel vecteur A. Considérons en effet un champ magnétique uniforme B perpendiculaire à la feuille de papier et pointant vers le lecteur. On peut montrer que le potentiel vecteur A est situé dans la feuille de papier et a l allure suivante : 6

27 B A J J J J J J J J J J J L L J J J J J J x Imaginons un fluide dont les vitesses des particules correspondent à A. Un petit bouchon en liège L immergé dans le fluide tournerait suivant la flèche, emporté par le courant. Cela correspond à un vecteur rotation porté par B. Cela traduit le fait que A est un champ dont le rotationnel est B. Considérons maintenant un chemin fermé : I L A < B L u o J J A J m. D C L < De Α à Β, la phase tourne beaucoup dans le sens négatif (sens de déplacement opposé à A); de B à C, le déplacement est perpendiculaire à A et la phase ne tourne pas. De C à D, la phase tourne dans le sens positif, mais moins, de telle manière qu en D, donc également en A, la phase n a pas repris sa valeur initiale. On voit que la phase change sur un parcours fermé, ce qui correspond à la courbure de la connexion. Le champ B correspond à la courbure de la connexion caractérisée par A. b) Déviation d une particule chargée Considérons dans le champ précédent un flux de particules 7

28 chargées positivement arrivant parallèlement à l axe des x. Elles correspondent à une onde plane verticale. I I A B E < V L F B < I I C D < Lorsque A = 0, la phase tourne régulièrement dans le sens positif, lorsque l on se déplace dans le sens de propagation de l onde. Il correspond un tour pour une longueur d onde de de Bröglie (λ = h/p), de A à B ou de D à C. Lorsque A 0, il s ajoute à cette rotation le déphasage dû à A que l on suppose faible devant le décalage prédédent. Ce décalage s effectue dans le sens négatif lorsqu on se déplace vers la droite. On voit que la phase a plus tourné dans le sens négatif en B qu en C. Pour avoir en haut la même phase qu en C, il faut progresser vers la droite pour annuler l excès de déphasage négatif de B. Il faut aller en E où la phase est la même qu en C. Le plan d onde qui est un plan équiphase passe donc par C et E et a donc tourné. Cela correspond à une déviation vers le bas du flux de particules qui correspond bien à la force F = q V B. La déviation d une particule chargée, un phénomène dynamique, est ainsi complètement géométrisée. 6 Calcul complet pour la déviation d une particule chargée. L amplitude pour aller du point (x,t) au point (xn,tn) est donnée par la sommation sur tous les chemins de Feynman : <xn,tn x,t> = D x(t) e m. x tn i i xn Scl + Lmf dt u o t Scl est l action classique, tandis que Lmf est le Lagrangien d interaction des particules avec le champ. Le déphasage qui s introduit est donc : tn i Lmf dt t 8

29 tn i dx i = q A dt = q A dx dt t 0 B y B = 0 ; A = 0 B 0 tn t L onde i k x e acquiert le déphasage q/ B y l. y < 0 déphasage ϕ > 0 ; L onde a la même phase pour x plus petit. I y l O x. kl α. y < 0 R h 0 α λ JL π ; λ/ π JL λ q B y l q B y l λ q B y l h0 JL h0 = ; α = π h y λ q B l h l α = or : λ = ; et : α = h m v R h m v m v R = = ; ce qui correspond bien à F = = q v B λ q B q B R 9

30 APPENDICE : Les différentes particules Les particules élémentaires Masses en MeV/c Particule Masse Charge électrique Charge forte Charge faible Electron / Neutrinoélectronique < / Quark Up 4.7 /3 rouge, vert, bleu / Quark Down 7.4 /3 rouge, vert, bleu / Particule Masse Charge électrique Charge forte Charge faible Muon 07 0 / Neutrino muonique < / Quark charmé 600 /3 rouge, vert, bleu / Quark étrange 60 /3 rouge, vert, bleu / Particule Masse Charge électrique Charge forte Charge faible Tau / Neutrino Tau < / Quark Top /3 rouge, vert, bleu / Quark Bottom 500 /3 rouge, vert, bleu / Force Particule Masse Force gravitationnelle Graviton 0 Force électromagnétique Photon 0 Force nucléaire faible Bosons de gauge 86, 97 Force nucléaire forte Gluon 0 Intensité Portée Spin Particules sensibles 0 39 longue Toutes 0 longue Chargées 0 5 courte courte Electrons neutrinos quarks Quarks Particules identiques Attractive Répulsive Répulsive Répulsive 30

31 Tableau des Mésons Particule Symbole Pion π + Pion π 0 Kaon K + Kaon K 0 s Anti particule Composition π Masse MeV/c ud u ū + d Self d K us K 0 s Kaon K 0 L K 0 L * * S C B Vie Désintégration.60 x x0 6.4 x0 8 μ + ν μ γ μ + ν μ, π + π x0 0 π + π,π 0 5. x0 8 π + e ν e Eta η 0 Self * <0 8 γ, 3μ Eta prime η 0' Self * π + π η Rho ρ + Rho ρ 0 Omega ω 0 ρ ud Self uu, dd Self uu, dd Phi φ Self ss D D + D D 0 D D + s D cd D 0 cu D s cs J/Psi J/ψ Self cc B B B B 0 B + bu B 0 db x0 3 π + π x0 3 π + π 0.8 x0 π + π π 0 0 x0 3 K + K,K 0 K x x x0 3 K + _, e + _ [K,μ,e] + _ K + _ 0.8 x0 0 e + e, μ + μ....5 x0.5 x0 D 0 + _ D 0 + _ B s B s 0 B s 0 sb B s + _ Upsilon ϒ Self bb x0 0 e + e, μ + μ.. Les antiparticules sont soulignées 3

32 Tableau des Baryons Particule Symbole Composition Masse MeV/c Spin B S Vie (seconds> Désintégration Proton p uud / + 0 Stable... Neutron n ddu / pe ν e Lambda Λ 0 uds 5.6 / + Sigma Σ + uus 89.4 / +.6 x0 0 pπ, nπ x0 0 pπ 0, nπ + Sigma Σ 0 uds 9.5 / + 6x0 0 Λ 0 γ Sigma Σ dds 97.3 / + Delta Δ ++ uuu 3 3/ + 0 Delta Δ + uud 3 3/ + 0 Delta Δ 0 udd 3 3/ + 0 Delta Δ ddd 3 3/ + 0 Xi Cascade Ξ 0 uss 35 / + Xi Cascade Ξ dss 3 / + Omega Ω sss 67 3/ x0 0 nπ 0.6 x0 3 pπ x0 3 pπ x0 3 nπ x0 3 nπ.9 x0 0 Λ 0 π 0.64 x0 0 Λ 0 π 0.8 x0 0 Ξ 0 π, Λ 0 K Lambda Λ + c udc 8 / + 0 x