5. ( ) ( ) Aller à : Correction exercice 6 : Exercice 7 : Soient et deux parties de. Ecrire en utilisant les assertions

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1 Logique Exercice 1 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi? 1. Si Napoléon était chinois alors 2. Soit Cléopâtre était chinoise, soit les grenouilles aboient. 3. Soit les roses sont des animaux, soit les chiens ont pattes. 4. Si l homme est un quadrupède, alors il parle. 5. Les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs. 6. Paris est en France ou Madrid est en chine. 7. La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines. 8. Les poiriers ne donnent pas de melons, et Cléopâtre n est pas chinoise. Aller à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soient, et trois propositions, donner la négation de a) b) () Aller à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : Soient et trois assertions. Pour chacune des assertions suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Ecrire sa négation. Aller à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Donner la négation mathématique des phrases suivantes 1. Toutes les boules contenues dans l urne sont rouges. 2. Certains nombres entiers sont pairs. 3. Si un nombre entier est divisible par, alors il se termine par. Soit 4. est positive, c est-à-dire «,» 5. est paire sur, c est-à-dire «,» Aller à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soient les propositions, «J ai mon permis de conduire» et «j ai plus de ans» Les propositions et sont-elles vraies? Que peut-on conclure? Aller à : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi?

2 5. Aller à : Correction exercice 6 : Exercice 7 : Soient et deux parties de. Ecrire en utilisant les assertions Aller à : Correction exercice 7 : Exercice 8 : On considère la proposition suivante : «Pour tout nombre réel, il existe au moins un entier naturel supérieur ou égal à» 1. Ecrire la proposition avec des quantificateurs. 2. Ecrire la négation avec des quantificateurs puis l énoncer en français. Aller à : Correction exercice 8 : Exercice 9 : Notons l ensemble des étudiants, l ensemble des jours de la semaine et pour un étudiant, son heure de réveil le jour. a) Ecrire avec des symboles mathématiques la proposition «Tout étudiant se réveille au moins un jour de la semaine avant 8h» b) Ecrire la négation de cette proposition avec des symboles mathématiques puis en français. Aller à : Correction exercice 9 : Exercice 10 : Soit l ensemble des nombres premiers et une partie de. Ecrire en utilisant les assertions est une partie finie de, est une partie infinie de. Tout entier naturel admet un diviseur premier, les éléments de ont un diviseur premier commun, les éléments de n ont aucun diviseur premier commun. Aller à : Correction exercice 10 : Exercice 11 : Soit un entier naturel quelconque. Parmi les implications suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi? Donner leur contraposée et leur négation Aller à : Correction exercice 11 : Exercice 12 : Parmi les équivalences suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi? ( Aller à : Correction exercice 12 : 2

3 Exercice 13 : Soient les assertions suivantes : a. b. c. d. 1. Les assertions et sont-elles vraies ou fausses? 2. Donner leur négation Aller à : Correction exercice 13 : Exercice 14 : Soit une suite de nombres rationnels. Que signifie en mots les assertions suivantes Attention : il ne s agit pas de faire la lecture à voix haute de ces quatre suites de symboles mais de traduire l énoncé en phrase courte dont la compréhension est immédiate. Aller à : Correction exercice 14 : Exercice 15 : 1. Donner la négation de la phrase mathématique suivante : 2. Donner la contraposée de la phrase mathématique suivante : Aller à : Correction exercice 15 : Exercice 16 : Soient et une application de dans. Donner la négation et la contraposée de cette phrase logique. Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : Compléter, lorsque c est possible, avec ou pour que les énoncés suivants soient vrais. a) b) c) d) Aller à : Correction exercice 17 : Exercice 18 : Les propositions suivantes sont-elles vraies? Lorsqu elles sont fausses, énoncer leur négation. a) b) c) d) Aller à : Correction exercice 18 : 3

4 Corrections Correction exercice 1 : 1. Il s agit, ici d une implication. «Napoléon est chinois» est faux et est faux, or la seule possibilité pour qu une implication soit fausse est qu une assertion vraie implique une assertion fausse, donc l assertion 1. est vraie. 2. Une phrase, en français, du genre «soit, soit» se traduit mathématiquement par «ou» «Cléopâtre était chinoise» est faux et «les grenouilles aboient» est faux donc l assertion 2. est fausse. 3. «les roses sont des animaux» est faux et «les chiens ont pattes» est vrai, donc l assertion 3. est vraie. 4. «l homme est un quadrupède» est faux et «il parle» est vrai, donc l assertion 4. est vraie. 5. «les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs» peut se traduire par «les roses ne sont pas des animaux et les roses ne sont pas des fleurs». «les roses ne sont pas des animaux» est vrai et «les roses ne sont pas des fleurs» est faux donc «les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs» est faux. Avec un minimum de bon sens c est assez évident! 6. «Paris est en France» est vrai et «Madrid est en chine» est faux, donc «Paris est en France ou Madrid est en chine» est vrai. 7. «la pierre ponce est un homme» est faux et «les femmes sont des sardines» est faux, une équivalence entre deux assertion fausse est vraie. 8. «les poiriers ne donnent pas de melons» est vrai et «Cléopâtre n est pas chinoise» est vrai, donc «les poiriers ne donnent pas de melons, et Cléopâtre n est pas chinoise» est vrai. Aller à : Exercice 1 : Correction exercice 2 : a) b) Aller à : Exercice 2 : ( ) ( ) ( () () Les deux dernières équivalences logiques me paraissent acceptables, parce qu il y a souvent différentes façon d exprimer une négation, ensuite il faut voir dans les exercices comment se présentent les propositions et. (() ) () Correction exercice 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Il y a d autres expressions possibles de cette négation. ( ) Il y a d autres expressions possibles de cette négation. 4

5 ( ) (( )) ( ( ) ) ( ) () ( ( )) Aller à : Exercice 3 : ( ) ( ) ( Correction exercice 4 : 1. Il existe une boule qui n est pas rouge dans l urne. (La négation de «pour tout» est «il existe» et la négation «rouge» est «n est pas rouge»). 2. Tous les nombres entiers sont pairs. (La négation de «il existe» (dans l énoncé «certains» signifie «il existe») est «tous». Dans cette question on ne se demande pas si la proposition est vraie ou fausse. 3. Il s agit d une implication, la négation de est : donc la négation demandée est «un nombre entier est divisible par et il ne se termine pas par». Dans cette question on ne se demande pas si l implication est vraie ou fausse. 4. tel que. 5., Aller à : Exercice 4 : Correction exercice 5 : est vraie, par contre est fausse, on en conclut que ces deux propositions ne sont pas équivalentes. Aller à : Exercice 5 : Correction exercice 6 : 1. est vrai et est vrai donc est vrai. 2. est vrai et est faux, l un des deux est faux donc est faux. 3. est vrai et est faux, l un des deux est vrai donc est vrai. 4. est vrai et est vrai, les deux sont vrais donc est vrai. 5. est vrai donc est faux (on peut aussi dire que qui est faux) et est faux par conséquent est faux car les deux assertions sont fausses. Aller à : Exercice 6 : Correction exercice 7 : Aller à : Exercice 7 : Correction exercice 8 : Il existe un réel tel que pour tout entier, est strictement inférieur à. Aller à : Exercice 8 : 5

6 Correction exercice 9 : a). b). Il y a un étudiant qui se lève à 8h ou après 8h tous les jours de la semaine. (Donc c est un gros fainéant). Aller à : Exercice 9 : Correction exercice 10 : Aller à : Exercice 10 : Correction exercice 11 : 1. est vraie. Sa contraposée est ou encore. (On rappelle que () donc la négation de () est () ( ( ) ) () () () () La négation est : 2. est faux car pour, est vrai et est faux (idem pour ). Sa contraposée est. Sa négation est 3. est faux car pour, est vrai et est faux. Sa contraposée est. Sa négation est 4. si est vrai alors et comme, cela signifie que divise, par conséquent est vrai. Il n y a que cela à vérifier parce que si est faux, quoiqu il arrive à la conclusion, l implication est vraie. On aura pu aussi voir que : Sa contraposée est. Vu ainsi il est clair que la contraposée est vraie et que donc est vrai. La négation est : 5. Comme dans le 4. mais ne divise pas, sinon cela signifierait qu il existe tel que ce qui est faux par conséquent est faux. En effet une assertion vraie ne peut pas impliquer une assertion fausse. La contraposée est. La négation est. Vérifions que cette implication est vraie : soit et est vrai et est vrai ce qui entraine que est vrai. 6. ( { }), si alors et si alors donc. La contraposée est 6

7 Sa négation est. Aller à : Exercice 11 : Correction exercice 12 : 1. car un entier strictement supérieur à est supérieur ou égal à. 2. est faux car pour, est vrai et est faux. 3. Les diviseurs entiers et positifs de sont { } donc les diviseurs entiers et supérieurs ou égaux à sont et, bref, il suffit de dire que rend vrai ( et faux Aller à : Exercice 12 : pour pouvoir affirmer que ( est faux. Correction exercice 13 : 1. a. est faux car si un tel existe, il suffit de prendre pour que soit faux, en effet b. est vrai, car pour un fixé, on choisit de façon à ce que. c. est faux car si on prend alors est faux et donc on n a pas d. Il suffit de prendre, ainsi pour tout,, l assertion est vraie. 2. a. (on pourra montrer, à titre d exercice que cette assertion quantifiée est vraie). b. (on pourra montrer, à titre d exercice que cette assertion quantifiée est fausse). c. (on pourra montrer, à titre d exercice que cette assertion quantifiée est vraie). d. Aller à : Exercice 13 : Correction exercice 14 : La suite est une suite d entiers. La suite est constante dont la valeur est entière. La suite prend toutes les valeurs entières. La suite est constante et vaut. Aller à : Exercice 14 : Correction exercice 15 : Aller à : Exercice 15 : Correction exercice 16 : La négation est : La contraposée est Allez à : Exercice 16 : Correction exercice 17 : 7

8 a) b) c) d) ou Aller à : Exercice 17 : Correction exercice 18 : a) Vraie b) Fausse par exemple pour, la négation est : c) Vraie d) Fausse car la négation est manifestement vraie, la négation est :. Aller à : Exercice 18 : 8

9 Ensembles-Applications Exercice 1 : Soient et. Décrire les ensembles, et. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soient et. Déterminer et. Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : 1. Déterminer le complémentaire dans des parties suivantes : 2. Soient, et. Comparer les ensembles suivants : Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient, et trois parties de. Déterminer,,,,,,, (, et. Allez à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soient, et trois parties d un ensemble. Montrer que : Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Soient un ensemble et et deux parties de. On suppose que : On pose 1. Montrer que,, et sont non vides. 2. Montrer que,, et sont deux à deux disjoints. 3. Montrer que. Allez à : Correction exercice 6 : Exercice 7 : 1. Déterminer le complémentaire dans des parties suivantes : 2. Soient, et. Comparer les ensembles suivants : Allez à : Correction exercice 7 : 1

10 Exercice 8 : Justifier les énoncés suivants. a) Soient un ensemble, et deux sous-ensembles de. Si est inclus dans, alors le complémentaire de dans est inclus dans le complémentaire de dans. b) Soient un ensemble, et deux sous-ensembles de. Si et sont disjoints, alors tout élément de est soit dans soit dans. c) Soient un ensemble, un sous-ensemble de. Déterminer les ensembles suivants : ; ; ; ; Allez à : Correction exercice 8 : Exercice 9 : 1. Montrer que 2. Montrer que Allez à : Correction exercice 9 : Exercice 10 : On rappelle que l on note 1. Montrer que 2. En déduire que Allez à : Correction exercice 10 : Exercice 11 : On rappelle que pour toutes parties et d un ensemble, on note 1. Montrer que pour toutes parties, et d un ensemble. 2. En déduire que Allez à : Correction exercice 11 : Exercice 12 : Soient, et trois parties d un ensemble. 1. Que pensez-vous de l implication Justifiez (on pourra utiliser la contraposée). 2. On suppose que l on a les inclusions suivantes : et. Montrer que. 3. Allez à : Correction exercice 12 : Exercice 13 : Soient et deux parties d un ensemble. Démontrer les égalités suivantes : 1. 2

11 2. Si, montrer Allez à : Correction exercice 13 : Exercice 14 : Soit un ensemble et et deux parties de. Démontrer que : Allez à : Correction exercice 14 : Exercice 15 : Soit un ensemble et soit l ensemble des parties de. Pour et dans, on appelle différence symétrique de par l ensemble, noté défini par : 1. Montrer que. 2. Calculer, et. 3. Montrer que pour tous, et dans, on a : a) Montrer que : b) Montrer que : c) Montrer que d) A l aide du b), montrer que, e) En déduire que : Allez à : Correction exercice 15 : Exercice 16 : Soit définie par 1. Donner des ensembles et tels que soit injective mais pas surjective. 2. Donner des ensembles et tels que soit surjective mais pas injective. 3. Donner des ensembles et tels que soit ni injective ni surjective. 4. Donner des ensembles et tels que soit injective et surjective. Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives : Allez à : Correction exercice 17 : Exercice 18 : Soit définie pour tout par Soit définie pour tout par ( ) 1. est-elle injective? 2. est-elle surjective? 3. est-elle injective? 4. est-elle surjective? Allez à : Correction exercice 18 : 3

12 Exercice 19 : Soient Où désigne la partie entière de Les fonctions sont-elles injectives, surjective? Comparer et. Allez à : Correction exercice 19 : Exercice 20 : Soit une application de vers telle que : Montrer que est surjective. Allez à : Correction exercice 20 : ( ) Exercice 21 : On considère l application définie pour tout par 1. Existe-t-il telle que :? 2. Existe-t-il telle que :? Allez à : Correction exercice 21 : Exercice 22 : Soit définie par 1. Existe-t-il une fonction telle que? 2. Existe-t-il une fonction telle que? Allez à : Correction exercice 22 : Exercice 23 : Soit une application, où Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) est injective (ii) est surjective (iii) est bijective Allez à : Correction exercice 23 : Exercice 24 : Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un calcul ou un contre-exemple. 1. Si les applications et sont bijectives, alors l application est aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier. 2. L application est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier. 3. Soit. L application qui à l entier associe le reste de la division euclidienne de par est une application. 4. bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier. 4

13 5. Soient tels que. Déterminer l application réciproque de la bijection Allez à : Correction exercice 24 : Exercice 25 : Soit l ensemble des parties de. Montrer qu il n existe pas d application surjective. Considérer la partie. Allez à : Correction exercice 25 : Exercice 26 : Pour un entier on désigne par l ensemble. 1. On suppose. Combien y-a-t-il d application injectives? 2. A quelle condition portant sur les entiers et peut-on définir une application qui soit injective, surjective, bijective? Allez à : Correction exercice 26 : Exercice 27 : Soient, et trois ensemble et soient et deux applications. 1. Montrer que si et sont injectives alors est injective. 2. Montrer que si et sont surjectives alors est surjective. 3. Que peut-on conclure sur si et sont bijectives? 4. Montrer que si est injective alors est injective. 5. Montrer que si est surjective alors est surjective. 6. Si à présent et, déduire de ce qui précède ce que l on peut dire dans les cas suivants : a. b. c. Allez à : Correction exercice 27 : Exercice 28 : Soient et deux ensembles non vides et une application de dans. Une application, de dans, telle que s appelle une section de. 1. Montrer que si admet au moins une section alors est surjective. 2. Montrer que toute section de est injective. Une application, de dans, telle que s appelle une rétraction de. 3. Montrer que si possède une rétraction alors est injective. 4. Montrer que si est injective alors possède une rétraction. 5. Montrer que toute rétraction de est surjective. 6. En déduire que si possède à la fois une section et une rétraction, alors est bijective et l on a : ( par conséquent). Allez à : Correction exercice 28 : Exercice 29 : Soient et deux ensembles et soit une application de dans. Soient et deux parties de, montrer que :

14 Donner un exemple où cette dernière inclusion est stricte. Montrer alors que est injective si et seulement si pour toute partie de et pour toute partie de, on a. Allez à : Correction exercice 29 : Exercice 30 : 1. Soit l application de l ensemble dans lui-même définie par : Déterminer lorsque,,. 2. Soit l application de dans définie par. Déterminer lorsque,. Allez à : Correction exercice 30 : Exercice 31 : 1. Soit définie par. Déterminer,. 2. Soit définie par, déterminer,,. Allez à : Correction exercice 31 : Exercice 32 : Soient et deux ensembles et soit une application de dans. Soient et deux parties quelconques de, non vides. Montrer que : Allez à : Correction exercice 32 : Exercice 33 : Soient et deux ensembles et soit une application de dans. 1. Montrer que pour toute partie de, on a ( ). 2. Montrer que pour toute partie de, on a ( ). 3. Montrer que est injective si et seulement si pour toute partie de on a ( ). 4. Montrer que est surjective si et seulement si pour toute partie de on a ( ). Allez à : Correction exercice 33 : Exercice 34 : Soit Soit définie par 1. Représenter dans le plan. 2. a. Montrer que si deux couples de réels et vérifient Alors (autrement dit et ). b. Montrer que est injective, on pourra se ramener au système du 2.a.. 3. Est-ce que est surjective? Allez à : Correction exercice 34 : { 6

15 CORRECTIONS Correction exercice 1 : Remarque : Comme on a et Remarque : Allez à : Exercice 1 : Correction exercice 2 : Allez à : Exercice 2 : Correction exercice 3 : Remarque : Allez à : Exercice 3 : Correction exercice 4 : Ou mieux Ou Allez à : Exercice 4 : ( Correction exercice 5 : Il s agit de résultats du cours que l on peut utiliser sans démonstration mais cet exercice demande de les redémontrer. 1. Si Alors ( ) Alors ( ) 7

16 Si alors et, par conséquent. Si alors Donc si ( ) alors On a montré que Si alors. () Si ( ) alors Si ( ) alors Alors Alors Alors Alors On a montré que Finalement 2. Si Alors Alors ( ) Alors Alors Alors On a montré que Si Alors Alors Alors Alors Comme entraine que On a montré que Et finalement Allez à : Exercice 5 : Correction exercice 6 : 1. D après l énoncé Car. Car Car, en fait car et. 2. ( ) 8

17 3.,, et sont deux à deux disjoints. ( Remarque : est une partition de. Sur un schéma c est une évidence ( est le carré sur le schéma). Allez à : Exercice 6 : Correction exercice 7 : Remarque : Allez à : Exercice 7 : Correction exercice 8 : a) Soit,, comme,, autrement dit ce qui montre que si alors. b) Si alors (car ) donc. Si alors c),,, et Allez à : Exercice 8 : 9

18 Correction exercice 9 : Allez à : Exercice 9 : Correction exercice 10 : Pour la seconde il suffit d intervertir et. () () () () () () Allez à : Exercice 10 : Correction exercice 11 : 1. ( ) ( ) 2. Pour la seconde égalité il suffit d intervertir les rôles de et. () Allez à : Exercice 11 : Correction exercice 12 : 1. La contraposée de cette implication est : Cette implication est vraie. 2. Prenons. Alors, alors d après l hypothèse. Si c est fini. Si alors (puisque l on a pris ), d après l hypothèse ce qui entraine que. On a bien montré que. Allez à : Exercice 12 : Correction exercice 13 : Il s agit de résultats du cours, on peut les utiliser sans démonstration mais c est l objet de cet exercice. 1. Soit, et donc ou, ce qui signifie que Cela montre que. Soit, ou donc ce qui entraine que. Cela montre que. Et finalement 10

19 Remarque : On aurait raisonner par équivalence. 2. Soit, et donc et, ce qui signifie que Cela montre que. Soit, et donc ce qui entraine que. Cela montre que. Et finalement Remarque : On aurait pu raisonner par équivalence. Allez à : Exercice 13 : Correction exercice 14 : Il s agit de résultats du cours, on peut les utiliser sans démonstration mais c est l objet de cet exercice. 1. Supposons que. Si alors ou alors. Donc. Si alors, par conséquent. On a montré que Supposons que. Soit, donc. On a montré que. Finalement. 2. Supposons que. Si, et donc et ce qui est impossible par conséquent. On a montré que Supposons que. Soit, supposons que ce qui signifie que, c est impossible donc l hypothèse est fausse, par conséquent et. On a montré que. Finalement. Allez à : Exercice 14 : Correction exercice 15 : a) 11

20 b) () (() ) c) ( ()) ( ) ( ) or donc d), en changeant et. e) d après d) or d après c). Donc. Allez à : Exercice 15 : Correction exercice 16 : 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. Allez à : Exercice 16 : Correction exercice 17 : donc n est pas injective. n a pas d antécédent, car n a pas de solution dans. n est pas surjective. Une fonction est bijective si et seulement si elle est injective et surjective donc cette fonction n est pas bijective. Car et. est injective. Pour tout, (celui de l ensemble d arrivée), il existe, (celui de l ensemble de départ) tel que :, en effet ( ) donc est surjective. est bijective. Car et. est injective. 12

21 n a pas d antécédent, car n a pas de solution dans. n est pas surjective. est une fonction dérivable, donc est strictement croissante sur. La contraposée de est Supposons que, alors (ou, ce que revient au même), on en déduit que car est strictement croissante, par conséquent, est injective. est une bijection strictement croissante de sur, par conséquent pour tout, il existe un unique tel que, est surjective. Mais l unicité du fait que est bijective donc il était inutile de montrer l injectivité de. On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. est une fonction dérivable sur. Le l emporte sur le. Les seules bijections de sur sont les fonctions strictement monotones dont l image de est. n est pas une bijection. Comme, n est pas injective. Pour tout il existe tel que, et bien il n y a pas unicité sinon serait bijective. Pour tout il existe trois valeurs tel que, pour, il y en a deux pour les autres n a qu un antécédent. On va étudier cette fonction, est dérivable et ( ) Le l emporte sur le. Pour tout, admet deux antécédents, est ni surjective ni injective. 13

22 Allez à : Exercice 17 : Correction exercice 18 : 1. Donc n est pas injective. 2. Donc pour tout, il existe tel que est surjective. 3. ( ) ( ) { Donc est injective. 4. On va montrer que n admet pas d antécédent. Supposons que ( ) Alors Ce qui équivaut à { { Ce qui est impossible donc n admet pas d antécédent, n est pas surjective. Allez à : Exercice 18 : Correction exercice 19 : est injective. n a pas d antécédent car il n existe pas d entier naturel tel que, n est pas surjective. et, donc ce qui entraine que n est pas injective. Pour tout (dans l ensemble d arrivé) il existe (dans l ensemble de départ) tel que : est surjective. Si est pair, il existe tel que Si est impaire, il existe tel que { Que soit paire ou impaire ( ) Remarque : 14

23 Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que pour que soit la bijection réciproque de. La définition de la bijection réciproque d une fonction est : «S il existe une fonction telle que alors» on a alors : et sont deux fonctions bijectives. Allez à : Exercice 19 : Correction exercice 20 : donc ( ), or ( ) donc, par conséquent ce qui signifie que est surjective. Allez à : Exercice 20 : Correction exercice 21 : 1. Supposons que existe, ( ) ( ) Si n est pas un carré cela ne marche pas, par exemple si, ( ) donc Il n existe pas de fonction telle que :. 2. Supposons que existe, ( ) Les valeurs prennent les valeurs qu elles veulent sauf lorsque est un carré auquel cas, donnons une fonction qui répond à la question : Si alors et si alors. Allez à : Exercice 21 : Correction exercice 22 : 1. Si existe alors pour tout, ( ), si est impair donc il n existe pas de fonction telle que. 2. Si existe alors pour tout, ( ) Soit la fonction définie, pour tout, par et convient. Allez à : Exercice 22 : Correction exercice 23 : On pose et, et bien sur tous les sont distincts ainsi que tous les. On rappelle que le fait que soit une application entraine que On suppose que est injective, on va montrer que est surjective. On va montrer la contraposée, c est-à-dire que l on va montrer que si n est pas surjective alors n est pas injective. Soit et on suppose qu il n existe pas de tel que ( n est pas surjective) Donc, il y a éléments dans le premier ensemble et dans le second, donc il existe et, avec dans tels que, or donc n est pas injective. On suppose que est surjective et on va montrer que est injective. On va montrer la contraposée, c est-à-dire que l on va montrer que si n est pas injective alors n est pas surjective. Si avec alors 15

24 { }, le premier ensemble a éléments et le second donc il existe un qui n a pas d antécédent, cela montre que n est pas surjective. On a montré que, par définition et. Si on a alors on a et entraine de même si on a alors on a et entraine. Ce qui achève de montrer les trois équivalences. Allez à : Exercice 23 : Correction exercice 24 : 1. et sont surjectives donc et par conséquent Cela montre que Car ( ( )) ( ) est surjective. ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) est injective ( ) ( ) Car est injective Car est injective Finalement est injective et donc bijective (puisqu elle est surjective). 2. n admet pas d antécédent donc n est pas surjective. L unicité de la décomposition des entiers en produit de facteur premier entraine que, et, autrement dit est injective. Donc est injective et pas surjective. 3. Donc n est pas injective. Donc n est pas surjective. 4. Pour tout on cherche s il existe un unique couple tel que Premier cas { { { { { { { { { { { Si, alors, en particulier et 16

25 { Allez à : Exercice 24 : { { { { { Ce sont les mêmes formules que dans le cas où Donc pour tout il existe un unique couple ( ) tel que, est bijective et ( ) { Correction exercice 25 : Supposons qu il existe surjective et on cherche s il existe un antécédent à. On appelle, un antécédent de, donc par définition, si alors et donc ce qui est contradictoire Si alors par définition de, ce qui est aussi contradictoire. L hypothèse est donc fausse, il n y a pas d application surjective de dans. Allez à : Exercice 25 : Correction exercice 26 : 1. Première méthode : raisonnons par récurrence On pose il y a applications injectives de dans. Regardons si est vraie. Il y a 4 applications de dans. Seules et sont injectives. Il y a applications injectives de dans. Montrons que Il y a applications injectives de dans. Supposons que alors (pour que ), cela fait applications injectives de plus. Supposons que alors (pour que ), cela fait applications injectives de plus. Au total, il y a L hypothèse est vérifiée. Conclusion pour tout, il y a applications injectives de dans. Deuxième méthode : Si alors. Cela fait choix possibles pour et pour, soit choix possibles pour de façon à ce que (autrement dit pour que soit injective). 17

26 2. injective équivaut à, avec tous distincts par conséquent. Remarque : Cela ne veut pas dire que toutes les applications de dans sont injectives! Supposons que est surjective. Pour tout (les tous distincts) il existe tels que par définition d une application tous les sont distincts (sinon un élément aurait plusieurs images), par conséquent. Pour que soit bijective il faut (et il suffit) que soit injective et sujective, par conséquent il faut que et que, autrement dit il faut que. Remarque : Cela ne veut pas dire que toutes les applications de dans sont bijectives. Allez à : Exercice 26 : Correction exercice 27 : 1. ( ) ( ) Car est injective Car est injective. Donc est injective. 2. Première méthode : Pour tout il existe tel que car est surjective. Comme pour tout il existe tel que car est surjective. On en déduit que pour tout il existe tel que ( ) autrement dit est surjective. Remarque : (a) D habitude on appelle un élément de l image mais ici ce pose un petit problème de notation parce que l on va appeler l élément de et on ne saura pas trop comment appeler l élément de, c est pour cela qu il est plus malin de l appeler. (b) Si on commence par écrire «pour tout il existe tel que car est surjective» puis «pour tout il existe tel que car est surjective» donc «pour tout il existe tel que ( )» cela ne va pas, je vous laisse réfléchir pourquoi. Deuxième méthode : On rappelle que est surjective si et seulement si Donc et, par conséquent ( ) et on en déduit que est surjective. 3. Si et sont bijectives alors elles sont injectives et est injective et si et sont bijectives alors elles sont surjectives et est surjective, on en déduit que est bijective. 4. ( ) ( ) Car est injective, par conséquent est injective. 5. Première méthode : Pour tout, il existe tel que ( ), donc il existe tel que ce qui signifie que est surjective. Deuxième méthode : Comme est surjective, ( ) or donc ( ) 18

27 Comme D où, cela donne 19 ( ) ( ) Ce qui montre que est surjective. 6. a. est bijective (l identité est bijective) est injective, d après 4 ), est injective. est surjective, d après 5 ), est surjective. Remarque : n entraine pas que et que donc et sont bijectives. b. est bijective (l identité est bijective) est injective, d après 4 ), est injective. est surjective, d après 5 ), est surjective. c. est bijective est injective, d après 4 ), est injective. est surjective, d après 5 ), est surjective. Par conséquent est bijective et. Allez à : Exercice 27 : Correction exercice 28 : 1. Pour tout il existe tel que ( ), est surjective. 2. ( ) ( ) est injective. 3. ( ) ( ) est injective. 4. Pour tout, pose. Comme à chaque telle que on associe bien une unique valeur, on définit alors par. Pour les qui ne sont pas dans l image de par, autrement dit qui ne sont pas de la forme, on leur attribue n importe quelle valeur dans, mettons pour fixé les idées (d ailleurs, on n est pas obligé de leur attribuer à tous la même valeur). Pour tout. ( ) est bien une rétraction de. Remarque : Si, ne sert à rien pour montrer que est une rétraction. 5. Pour tout, il existe tel que : ( ) Cela montre que est surjective. Remarque : Les rôles habituels de et ont été inversés pour respecter les notations de l énoncé. 6. Si admet une section alors est surjective d après 1 ). Si admet une rétraction alors est injective d après 3 ). Par conséquent est bijective, on note sa bijection réciproque. Comme, en composant par à droite :

28 Comme, en composant par à gauche : D où. Allez à : Exercice 28 : Correction exercice 29 : 1. Pour tout, il existe tel que. Comme,, comme, par conséquent Cela montre que Pour tout, ou Si alors il existe tel que, mais donc Si alors il existe tel que, mais donc Cela montre que s tous les cas et que donc Finalement 2. Pour tout, il existe tel que. Comme,, comme, par conséquent Cela montre que Pour trouver un exemple où l inclusion est stricte, d après la suite, il ne faut pas prendre une fonction injective, par exemple prenons définie par, ensuite il faut prendre et où n est pas injective, par exemple : On a bien Allez à : Exercice 29 : Correction exercice 30 : Allez à : Exercice 30 : [ ] [ ] Correction exercice 31 : 1. Donc 2. 20

29 Or et avec Allez à : Exercice 31 : Correction exercice 32 : 1. Pour tout, donc ou, par conséquent ou, autrement dit On a montré que Pour tout, ou, par conséquent ou, autrement dit, donc. On a montré que Finalement 2. Pour tout, donc et, par conséquent et, autrement dit On a montré que Pour tout, et, par conséquent et, autrement dit, donc. On a montré que Finalement Allez à : Exercice 32 : Correction exercice 33 : 1. Pour tout, et donc ( ), ce qui montre que ( ) 2. Pour tout ( ), il existe tel que, comme ce qui entraine que, ce qui montre que ( ). 3. Comme «pour toute partie de, on a ( )» la question revient à montrer que : «est injective si et seulement si pour toute partie de on a ( )» Si est injective. Pour tout ( ), ce qui signifie qu il existe (attention, à priori ce n est pas le même que celui du début de la phrase) tel que comme est injective, par conséquent. On a montré que ( ). Si pour toute partie, ( ) On prend ( ) D après l hypothèse ( ) donc Or car donc par conséquent ce qui signifie que est injective. Finalement on a montré l équivalence demandée. 4. Comme «pour toute partie de, on a ( )» la question revient à montrer que : «est surjective si et seulement si pour toute partie de on a ( )» Si est surjective. 21

30 Pour tout, il existe tel que car est surjective. entraine que ( ), cela montre que ( ). Si pour tout ( ) On pose, alors ( ) ce qui s écrit aussi ( ), il existe donc tel que, cela montre bien que est surjective. Finalement on a montré l équivalence demandée. Allez à : Exercice 33 : Correction exercice 34 : 1. Le point vérifie donc est le demi-plan supérieur droit. De même vérifie donc est le demi-plan supérieur droit, est l intersection de ces deux demi-plan, est le quart de plan supérieur du schéma ci-dessous. y x D y x 2. a. { En additionnant et on trouve que, donc, puis en remplaçant dans, on trouve que. b. { donne, ce qui entraine que, comme sur, cela donne ou encore. donne, ce qui entraine que, comme sur, cela donne. D après 2.a. cela donne que et que, ce qui montre que est injective. 3. n a pas d antécédent dans car. Allez à : Exercice 34 : 22

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