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1 Banque Agro - Véto A PHYSIQUE Durée : 3 heures 30 minutes L usage d une calculatrice est autorisé pour cette épreuve. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui vérifiera et éventuellement remplacera son sujet. Il sera tenu le plus grand compte dans la notation de la qualité de la rédaction. Les deux problèmes A et B sont totalement indépendants. Les parties A.1 et A.2 du problème A peuvent être traitées indépendamment. Données : concernant l hydrolienne : masse volumique de l eau : ρ e = 1, kg.m 3 ; diamètre de l hélice de l hydrolienne : D = 16m; vitesse du courant : v 0 = 4,5m.s 1 ; tension continue en sortie de l hydrolienne : U c = 150kV; résistances caractérisant la ligne électrique : = 1, Ω et = 0,12Ω; concernant la Terre : rayon de la Terre : R T = 6400 km; conductivité thermique des roches terrestres : λ T 3,0 SI; masse volumique des roches terrestres : ρ T 3, kg.m 3 ; capacité thermique massique des roches terrestres : c T 1,0 kj.k 1.kg 1 ; champ de pesanteur terrestre : g = 9,8 m.s 2. A L hydrolienne Devant la nécessité d augmentea part des sources d énergie renouvelable, les industriels sont lancés dans une course au développement des hydroliennes, cousines aquatiques des éoliennes, afin de profiter d une source d énergie prévisible : les courants marins. Dès 2003, Seaflow est la première hydrolienne installée à Lynmouth en Angleterre. En Europe, la France et la Grande-Bretagne disposent d un potentiel de production particulièrement élevé. D après EDF, une production de 5 GW (l équivalent de la puissance maximale de la centrale nucléaire de Gravelines qui est la plus puissante centrale nucléaire française) peut être installée à proximité des côtes françaises. Ce problème aborde deux aspects de la production d énergie par hydrolienne. Dans la première partie, un modèle simple permet d illustrea façon dont l énergie d un fluide en mouvement peut être récupérée. La seconde partie du problème est consacrée à l étude simplifiée de la transmission d énergie électrique de l hydrolienne jusqu à la côte. 1/8 TSVP

2 A.1 Principe de l hydrolienne Dans cette partie, l eau est un fluide incompressible de masse volumique ρ e et les effets de la pesanteur sont négligés. L hydrolienne est composée d un système qui soutient une hélice. Par souci de simplicité, il est supposé que seule cette dernière est en contact avec l eau. L étude est réalisée dans le référentiel terrestre, par rapport auquel le support de l hydrolienne est fixe, supposé galiléen, et muni d un repère cartésien de centre O et de base ( e x, e y, e z ). Puissance transportée pae fluide En l absence d hydrolienne, l eau est en écoulement à la vitesse uniforme et constante v 0 = v 0 e x. Dans un premier temps, la puissance qui traverse une section de surface S est calculée. Cette section est un disque placé dans le plan Oxy comme représenté Figure 1. Pendant une durée t une certaine quantité de fluide traverse la section. v 0 v 0 t z O Figure 1 Section perpendiculaire à l écoulement du fluide y x A.1.1.Expliquerl utilitédeconsidérerlevolumev délimitéparlecylindredebases etdelongueur v 0 t. Exprimea masse de fluide contenue dans ce volume en fonction de ρ e, v 0, S et t. A.1.2. Exprime énergie cinétique E C du fluide dans le volume V en fonction de ρ e, v 0, S et t. Déduire l expression de la puissance P = E C t qui traverse la section S en fonction de ρ e, v 0 et S. A.1.3. La masse volumique de l air ρ air est telle que ρ e 800ρ air. Comparer hydrolienne et éolienne en expliquant un avantage et un inconvénient de l hydrolienne su éolienne. Puissance transmise à l hydrolienne Dans la suite, un modèle simple d écoulement permanent du fluide autour de l hydrolienne est étudié. L écoulement de l eau autour de l hydrolienne présente une symétrie de révolution autour de Ox. La trace de l intersection du tube de courant qui entoure l hydrolienne avec le plan Oxz est représentée Figure 2. Loin de l hydrolienne, en amont, l eau est en écoulement uniforme à la vitesse v 0 = v 0 e x, la pression est uniforme et vaut P 0. La section du tube de courant est notée Σ A et son aire vaut S 0. Loin de l hydrolienne, en aval, la vitesse de l écoulement à l intérieur du tube de courant est uniforme et vaut v 1 = v 1 e x, la pression est uniforme et vaut P 0. La section du tube de courant est notée Σ B et son aire vaut S 1. Au niveau de l hydrolienne, la vitesse est constante (entre A et B ) et uniforme et vaut v H = v H e x. La section du tube de courant varie très peu et son aire vaut S H. La pression est discontinue. Juste avant l hydrolienne, elle vaut P A, et juste après elle vaut P B. La section du tube de courant passant par A (respectivement B ) est notée Σ A (respectivement Σ B ). 2/8

3 L écoulement du fluide peut être considéré comme parfait, sauf au voisinage immédiat de l hydrolienne, entre A et B. Autour du tube de courant la pression est uniforme et vaut P 0. La force exercée pae fluide su hydrolienne vaut F = F e x. v 0 Σ A A z Σ A Σ B A v 1 B S 0 S H S1 Σ B B x Figure 2 Tube de courant autour de l hydrolienne A.1.4. Quelle(s) relation(s) lie(nt) S 0, v 0, S H, v H, S 1 et v 1 du fait de la conservation de la masse? Pourquoi la section du tube de courant est croissante le long de l écoulement? A.1.5. Utilisea relation de Bernoulli entre A et A, d une part, puis entre B et B d autre part, afin d exprimer P A et P B en fonction de ρ e, P 0, v 0, v 1 et v H. A.1.6. Appliquee théorème d Euler au volume de contrôle à l intérieur du tube de courant délimité paes sections Σ A et Σ B. Déduire une première expression de F en fonction de ρ e, S H, v 0 et v 1. Les seules forces de pression à prendre en compte sont celles exercées paa pression P A sua section Σ A et paa pression P B sua section Σ B, puisque, par symétrie, la force de pression sur le contour du tube de courant est quasiment nulle. A.1.7. Appliquee théorème d Euler au volume de contrôle à l intérieur du tube de courant délimité paes sections Σ A et Σ B. Déduire une seconde expression de F en fonction de ρ e, S H, v H, v 0 et v 1. Dans ce cas, la force de pression est nulle puisque la pression autour du volume de contrôle est uniforme. Déduire que : v H = k(v 0 +v 1 ), où k est un coefficient numérique à déterminer. A.1.8. La puissance reçue pa hydrolienne vaut P H = F.v H. Le rendement η de l hydrolienne est défini comme : η = P H où P 0 = 1 P 0 2 ρ es H v0. 3 Exprimer η en fonction du rapport α = v H v 0 Montrer que η atteint une valeur maximale η max pour une valeur particulière de α et donnea valeur numérique de η max. A.1.9. Calculea valeur numérique de la puissance maximale que peut recevoi hydrolienne. Combien d hydroliennes de ce type faut-il installer sues côtes françaises afin de tirer pleinement profit du potentiel énergétique hydrolien de 5 GW? A.2 Le transport d électricité L un des problèmes importants dans la technologie hydrolienne est le transport de l électricité produite. Dans cette partie, un modèle simplifié de transport d électricité le long d une ligne électrique est étudié afin de soulignee rôle crucial de l amélioration des technologies de transport d électricité. La convention suivante est adoptée : à toute fonction, f, sinusoïdale de la forme f : t Acos(ωt + ψ), on associe la représentation complexe f = Aexp(j(ωt + ψ)) où j est le nombre complexe qui satisfait la propriété j 2 = 1. 3/8 TSVP

4 Préliminaires Un dipôle linéaire est orienté en convention récepteur. La tension aux bornes du dipôle est sinusoïdale de la forme : u(t) = U 2cos(ωt); l intensité qui traverse le dipôle est sinusoïdale de la forme : i(t) = I 2cos(ωt ϕ). L impédance complexe, Z, du dipôle s exprime sous la forme : Z = R+jX où R = Re(Z) et X = Im(Z) A.2.1. Rappeler brièvement l intérêt de la notation complexe. Rappelea définition de l impédance complexe d un dipôle. Citer deux exemples d impédances du cours. A.2.2. Exprimee rapport U/I et tan(ϕ) en fonction de R et X. A.2.3. Que vaut la puissance instantanée reçue pae dipôle? Montrer que la puissance moyenne P reçue pae dipôle peut s écrire : P = UIcosϕ. A.2.4. Exprimer P en fonction des seules variables R, X et U. Les lignes utilisées pour transportee courant électrique à haute tension sont des systèmes complexes que l on modélise généralement par des lignes bifilaires dites à constantes réparties. La ligne est découpée en éléments suffisamment petits poues décrire simplement. Un tel élément de longueu de la ligne peut être caractérisé par sa résistance, son inductance L l, sa capacité C l et sa résistance de fuite. Afin de simplifie étude, l inductance de la ligne n est pas prise en compte. L élément de ligne de longueu simplifié est schématisé Figure 3. i e i s v e C l v s Figure 3 Schéma d un élément de longueu simplifié de la ligne Dans la suite, on cherche à évaluees pertes de puissance liées à une longueu T = Nl (avec N 1) de ligne dans deux régimes de fonctionnement : régime continu et sinusoïdal. Caractérisation de l élément Dans un premier temps, l élément de ligne de longueu est étudié seul. La tension à l entrée de l élément est sinusoïdale de la forme, v e (t) = U 2cos(ωt). La sortie n est pas branchée de telle sorte que i s = 0. La tension de sortie est notée v s (t). A.2.5. Quels sont les équivalents d un condensateur à basse et haute fréquences? Déduire les limites basse et haute fréquences, dans le cas simplifié, de la fonction de transfert H = v s v e A.2.6. Calculer H dans le cas simplifié et donnees expressions des constantes a et ω 0 qui permettent d écrire le résultat sous la forme : H = a 1+j(ω/ω 0 ) A.2.7. La fonction de transfert, lorsque l inductance est prise en compte, peut s écrire : H = 1 α+βjω γω 2 4/8

5 où les constante réelles α, β et γ sont fonctions de,, C l et L l. Calculee module de la fonction de transfert G(ω) = H. À quelle condition sur α, β et γ existe-t-il une pulsation ω max non nulle rendant ce module maximal? Si elle existe, quelle peut-être l utilité de cette pulsation particulière? Ligne en régime continu Dans les questions A.2.8 à A.2.10, on étudie la possibilité de transmettre un courant continu en calculant la résistance équivalente de la ligne. Afin de simplifie étude, l influence de la sortie de la ligne est négligée. Seules les résistances interviennent, la ligne est donc équivalente à une succession de N blocs (, ) comme représenté sua Figure 4. A C B D Figure 4 Schéma équivalent de la ligne en régime continu R AB est la résistance totale de la ligne, vue entre les points A et B, correspondant à l association de N blocs. R CD est la résistance de la ligne vue entre les points C et D, correspondant à l association de (N 1) blocs. Sue schéma de la Figure 5 la ligne est représentée du seul point de vue de ces résistances. A.2.8. Écrire la relation qui lie R AB, R CD, et. A C R CD B D Figure 5 Schéma illustrant le lien entre R AB et R CD A.2.9. Proposer une explication rapide de la relation R AB R CD. Déduire l expression de R AB en fonction de et. Simplifie expression en tenant compte de la relation. A Exprimea puissance moyenne dissipée dans la ligne en fonction de U c (tension continue en sortie de l hydrolienne) et R AB. Réalise application numérique. Notons que cette puissance dissipée dans la ligne représente moins de 0, 5 % de la puissance produite pa hydrolienne. Ligne en régime sinusoïdal Dans le cas général, pour une ligne assez courte(les phénomènes de propagation étant négligeables), on montre que l association des N éléments de ligne peut être décrite pae modèle dit en Pi. 5/8 TSVP

6 A R 1 i 0 v e C R 2 C R 2 v 0 R 0 B Figure 6 Modèle en Pi de la ligne Afin de testea ligne, cette dernière est branchée sur une sortie purement résistive, de résistance R 0. L ensemble est représenté Figure 6. Le régime est sinusoïdal : v e (t) = U 2cos(ωt). A.2.11.ExprimerlapuissanceP 0,reçueenboutdeligneparlerésistorderésistanceR 0,enfonction de U 0, tension efficace de v 0 (en sortie), et R 0. Dans la suite, afin d allégees écritures, il est supposé que R 0 = R 1 et que R 2 R 0. A Calculee rapport U 0 /U en fonction de R 0, C et ω. A Détermine expression du rendement de la ligne η ligne = P 0 /P en fonction de R 0, C, ω, U et P, où P est la puissance entrante entre A et B. Dans les conditions d utilisation, l application numérique donne η ligne = 0,98. Commenter cette valeur en comparant avec la question A B Âge de la Terre Jusqu au milieu du XXème siècle, la question de l âge de la Terre a suscité de très nombreuses controverses scientifiques. Dans la suite de ce problème seront étudiées quelques modélisations concernant ce problème. B.1 Estimation de Buffon Résultats expérimentaux Au XVIIIème siècle, Buffon a étudié la durée de refroidissement de boulets de canon de différents rayons initialement portés à blanc jusqu à revenir à température ambiante. Il sera ainsi supposé que tous ces boulets ont même composition et possèdent les mêmes températures initiale et finale. Les résultats suivants sont extraits de ceux publiés par Buffon dans Introduction à l histoire des minéraux : rayon du boulet R (en pouces) 0,5 1 1,5 2 2,5 durée de refroidissement τ r (en minutes) (1 pouce vaut environ 2,7 cm). B.1.1. On suppose que la relation entre la durée de refroidissement τ r et le rayon R du boulet est de la forme : τ r = AR α, (1) 6/8

7 où A est une constante, ainsi que α. Quelle quantité en fonction de quelle autre quantité doiton tracer afin de déterminea valeur de α à partir des expériences de Buffon? Tracee graphe correspondant. B.1.2. Application numérique : quelle est la valeur expérimentale de α? Il est possible de procéder graphiquement ou par régression linéaire. B.1.3. Déduire de ce qui précède l âge de la Terre en supposant, comme Buffon, qu il est possible d extrapolees résultats obtenus poues boulets en assimilant l âge de la Terre au temps de refroidissement d un boulet de rayon R T. L application numérique sera donnée en années. Commentaire. Modélisation La situation précédente peut simplement être modélisée de la manière suivante. Le boulet de canon est considéré comme une boule homogène (phase condensée incompressible et indilatable), de rayon R, de masse volumique ρ et de capacité thermique massique c. La température du boulet est prise comme uniforme et notée T(t) B.1.4. Des échanges thermiques ont lieu entre le boulet et l air qui possède une température constante T air = 20 C. L expression de ces transferts thermiques surfaciques entre les instants t et t+dt est prise sous la forme : δq surfacique = k(t(t) T air )dt, où δq surfacique est le transfert thermique par unité de surface de contact entre le boulet et l air entre t et t+dt, et k est une constante positive. a) Cette expression correspond-elle au transfert thermique surfacique donné pa air au boulet ou pae boulet à l air? On justifiera clairement la réponse. b) Exprimee transfert thermique élémentaire δq reçu pae boulet de surface S = 4πR 2 entre les deux instants d étude t et t+dt. B.1.5. Entre les instants t et t+dt, la température du boulet passe de T(t) à T(t+dt). Exprimer la variation élémentaire de son énergie interne du en fonction de ρ, c, R, T(t) et T(t+dt). B.1.6. À partir des questions B.1.4 et B.1.5 montrer que la température du boulet T(t) vérifie une équation différentielle de la forme dt dt + T τ = T air Exprimer τ en fonction de ρ, c, R et k et τ donner sa dimension. B.1.7. Résoudre l équation différentielle, en posant T(0) = T i = 1000 C. Trace allure de la solution. Indiquer τ sue graphe. B.1.8. Dans le cadre de cette modélisation, que vaut le facteur α défini dans l équation (1) (on pourra assimiler τ r et τ)? Ce modèle est-il en accord avec les résultats expérimentaux? B.2 Modèle conductif de Kelvin À la fin du XIXème siècle, Kelvin a proposé un modèle théorique conforme aux lois de la conduction thermique, et considérant une température de la Terre non uniforme. Aucune connaissance préalable de conduction thermique en régime non stationnaire n est nécessaire pou étude de cette partie. B.2.1. Au voisinage de la surface terrestre, la température augmente avec la profondeur et la norme du gradient de température est de l ordre de gradt 30 K.km 1 (valeur obtenue à l intérieur 7/8 TSVP

8 de tunnels miniers). Indiquer sur un schéma représentant la Terre dans quels sens et direction est orienté le gradient de température en plusieurs points. B.2.2. En ordre de grandeur, gradt T, où T est la variation de température sur une L distance L. Sachant que la température T 1 atteinte en profondeur est de l ordre de quelques milliers de kelvins, estimer grossièrement la distance suaquelle la température varie. Un modèle négligeant la courbure de la Terre est-il susceptible de donner des résultats satisfaisants? Kelvin a supposé une Terre initialement (à t = 0) à la température T 1 uniforme et au contact à la surface en z = 0 avec un thermostat de température T 0 < T 1 constante. Kelvin a, de plus, supposé que la température ne dépendait que de la profondeur z et du temps t; la température est alors notée T(z,t) (voir Figure 7). O surface Terre z Figure 7 Repérage des points à l intérieur de la Terre B.2.3. Rappelea définition du vecteur densité de courant thermique j Q, ainsi que son unité dans le système international. Explicite expression de la densité de courant thermique dans le cadre de la loi de Fourier. Cette loi sera supposée valide paa suite. B.2.4. Dans le cadre du modèle précédent de Kelvin, expliquer quelle est la valeur de la densité de courant thermique j Q à l instant initial à une profondeur z non nulle. Au bout d un temps très long, la température en tout point de la Terre tend vers T 0, vers quelle limite doit tendre j Q (z,t)? En résolvant les équations de la conduction thermique, Kelvin a abouti à l expression de la densité de courant thermique : j Q (z,t) = j Q (z,t) u z = B ) exp ( z2 u z, (2) Dt 4Dt où z repère la profondeur d un point par rapport à la surface (Figure 7), D est une constante caractéristique des roches terrestres et B une constante à déterminer. B.2.5. Calculer à partir de l expression (2) la valeur de j Q pour t = 0 en z 0 quelconque. Faire de même pour t. Commentees résultats. B.2.6. Les grandeurs d intérêt sont λ T : conductivité thermique de la Terre, ρ T : masse volumique de la Terre et c T : capacité thermique massique de la Terre. La constante B est supposée être de la forme B = (T 1 T 0 ) m 1 λ m 2 T ρm 3 T cm 4 T, où m 1, m 2, m 3 et m 4 sont des constantes. Quelle est la dimension de Dt? Déterminer par analyse dimensionnelle les valeurs de m 1, m 2, m 3 et m 4. B.2.7. Application numérique: à partir de la valeur actuelle du gradient de température à la surface de la Terre (voir question B.2.1), déduire son âge dans le cadre du modèle de Kelvin sachant que la constante D vaut D = λ T /(ρ T c T ) et T 1 T K. Commentee résultat. Fin du sujet 8/8