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1 QUADRILATERES I Définition Un quadrilatère est une figure constituée de quatre côtés. Le quadrilatère ABCD a : Quatre sommets : les points A, B, C et D. Quatre côtés : les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Deux diagonales : les segments [AC] et [BD]. [AB] et [CD] sont deux côtés opposés. [AB] et [BC] sont deux côtés consécutifs. Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. A = B = C = D = 90 ABDC est un rectangle Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. ADBE est un losange 146

2 Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange (quatre angles droits et quatre côtés de même longueur). ACDB est un carré Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles. ABCD est un parallélogramme (AB)//(DC) et (AD)//(BC) Un cerf-volant est un quadrilatère qui a 2 paires de côtés consécutifs de même longueur. AD = AE et BE = BD AD = AE et BE = BD 147

3 II Parallélogrammes 1) Propriétés Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors : Ses côtés opposés sont parallèles Ses diagonales se coupent en leur milieu Ses côtés opposés ont la même longueur Ses angles opposés ont la même mesure Ses angles consécutifs sont supplémentaires Il possède un centre de symétrie. Exemple : ABCD est un parallélogramme (AD)//(BC) et (AB)//(DC) O est le milieu de [AC] et de [BD] AD = BC et AB = DC BAD = BCD et ABC = ADC O est son centre de symétrie. 2) Comment démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme? Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. 3) Construction a) Construction du 4ème sommet 148

4 Tracer les côtés [AB] et [BC] cercle de centre A et de rayon BC cercle de centre C et de rayon AB Nommer D, l intersection des arcs de cercles, puis tracer [AD] et [CD] b) Construction avec les diagonales Exemple : Sur une feuille non quadrillée, construire un parallélogramme IJKL de centre O tel que IÔJ = 35 ; IK = 4cm et JL = 6cm. On trace une figure à main levée sur laquelle on porte les données de l énoncé. On doit construire le parallélogramme avec ces dimensions. Construction : Description de la construction : On trace 2 droites (uw) et (tv) qui se coupent en O telles que uôt = 35 On place I sur [Ou) et K sur [Ow) tels que : OI = OK = 2cm On place J sur [Ot) et L sur [Ov) tels que : OJ = OL = 3cm Justification : Par construction, les diagonales du quadrilatère IJKL se coupent en leur milieu donc c est bien un parallélogramme. IK = 4cm, JL = 6cm et IÔJ =

5 III Parallélogrammes particuliers 1) Le rectangle a) propriétés Si un quadrilatère est un rectangle, alors : Il a 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Il a 1 centre de symétrie : l intersection de ses diagonales Ses côtés opposés sont parallèles. Ses quatre angles sont droits. Ses diagonales ont la même longueur et le même milieu. b) Comment démontrer qu un quadrilatère est un rectangle? Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle. Si alors c) Comment démontrer qu un parallélogramme est un rectangle? Si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. 2) Le losange a) Propriétés Si un quadrilatère est un losange, alors : Il a 2 axes de symétrie : ses diagonales. Il a 1 centre de symétrie : l intersection de ses diagonales Ses côtés opposés sont parallèles. Ses quatre côtés ont même longueur. Ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. 150

6 b) Construction Exemple : Tracer un losange dont les côtés mesurent 3cm. Tracer deux côtés [AB] et [AD]. (On choisit l angle que l on veut car ce n est pas précisé dans l énoncé) cercle de centre B et de rayon 3cm. cercle de centre D et de rayon 3cm. Nommer C le point d intersection des arcs de cercles. Tracer [BC] et [DC]. c) Comment démontrer qu un quadrilatère est un losange? Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c est un losange. d) Comment démontrer qu un parallélogramme est un losange? Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux, alors c est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. 3) Le carré. a) Propriétés Si un quadrilatère est un carré, alors : Il a 4 axes de symétries : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. Il a 1 centre de symétrie : l intersection de ses diagonales. Ses diagonales sont de même longueur et perpendiculaire en leur milieu. Ses côtés sont de même longueur. Ses côtés sont parallèles deux à deux. 151

7 b) Comment démontrer qu un quadrilatère (ou un parallélogramme) est un carré? Si un quadrilatère (ou un parallélogramme) est à la fois un rectangle et un losange, alors c est un carré. Ou encore : Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur et de même milieu, alors c est un carré. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c est un carré. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur, alors c est un carré. Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c est un carré. Si un losange a ses diagonales de même longueur, alors c est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un carré. Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un carré. 152

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