Utilisation de formules

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1 P.Colantonio R.Oppé Chapitre 1 Bac Pro Utilisation de formules Les apprentissages : Comment utiliser une formule? Comment transformer une formule? Les outils et leurs modes d emploi : ( à consulter chaque fois que nécessaire ) o les puissances de 10 o l écriture scientifique d un nombre o la racine carrée o une fraction, une proportion d une grandeur o les conversions o la calculatrice o les arrondis o une initiation au tableur

2 Approche Un peu de technique : Les 4 temps d un cylindre de moteur : admission compression explosion échappement h D Un peu de vocabulaire : Les caractéristiques d un cylindre : son alésage : diamètre du cylindre sa course : hauteur du cylindre son volume : R Les caractéristiques du moteur : le nombre de cylindres la cylindrée du moteur : le volume total de tous les cylindres V = π R² h h Problème posé : Caractéristiques techniques tirées de la documentation d une moto : Nombre de cylindres : 2 Alésage/course : 56/50,6 mm Faut-il convertir Cylindrée : 250 cm 3 les données? Montrer que la cylindrée est de 250 cm 3 sachant que le volume d un cylindre est donné par la formule : V = π R² h Faut-il appliquer directement la formule? Ou Sachant que la cylindrée est de 250 cm 3, montrer que l alésage est de 56 mm. Formule du volume d un cylindre : V = π R² h ou d abord transformer la formule? D autres questions : Comment arrondir le résultat? Comment utiliser la calculatrice? Les réponses et la correction dans ce chapitre Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 2

3 1. 1 ER OUTIL : LES PUISSANCES DE 10 JEU D ECRITURE ET VOCABULAIRE = 10 9 un facteur le nombre de facteurs ici 9 C est tout simplement un jeu d écriture pour gagner de la place signifiant une suite de multiplications par un même nombre 10 9 se lit 10 à la puissance 9 ou 10 exposant 9 En fait 10 9 est aussi une autre écriture de (un milliard) Cas particuliers : 10 2 se lit 10 au carré et signifie dont le résultat est = se lit 10 au cube et signifie dont le résultat est 10 3 =1000 COMMENT CALCULER AVEC LES PUISSANCES DE 10? Les puissances positives de 10 : 10 0 = = = = = = = = 1000 etc REGLE : écrire 1 et rajouter autant de zéros que l indique l exposant Les puissances négatives de 10 : = 10 = 1 = 0, = 10 = = 0, = 10 = = 0,001 etc REGLE : écrire 1 et déplacer la virgule vers la gauche d autant de rangs que l indique l exposant Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 3

4 Opérations et puissances de 10 : par définition : ( ) ( ) donc 10 5 finalement : = =10 5 le nombre de facteurs = = = finalement : = = 10 2 ( 10 3 ) 2 = ( ) ( ) = 10 6 finalement : ( 10 3 ) 2 = = 10 6 ( 2 3 ) 2 = 6 2 = 36 ou = 4 9 = 36 finalement : ( 2 3 ) 2 = = 2 2 = 4 le nombre de facteurs = 6 ou = 16 4 = 4 finalement : = CAS GENERAL : avec les puissances de m 10 n = 10 m + n 10 m 10 n = 10 m - n ( 10 m ) n = 10 m n 1 10 m = 10 m et les puissances de n importe quel nombre a m a n = a m + n a m a n = a m - n ( a m ) n = a m n 1 a m = a m de plus ( a b ) m = a m b m a b m = a m b m Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 4

5 COMMENT MULTIPLIER UN NOMBRE PAR UNE PUISSANCE DE DIX? par une puissance positive de 10 : = = , = 2,5 100 = 250 une puissance négative de 10 : = = 42 7, = 7,5 10 = 0,75 REGLE : il suffit de déplacer la virgule vers la droite d autant de rangs que l indique l exposant ( si nécessaire rajouter des zéros ) REGLE : il suffit de déplacer la virgule vers la gauche d autant de rangs que l indique l exposant COMMENT DONNER UN NOMBRE EN ECRITURE SCIENTIFIQUE? ou 0, un nombre très grand ou très petit peut s écrire en utilisant les puissances de 10 un nombre très grand : 3200 = ou = 3, = 4, un nombre très petit : 0,043 = ou = 4, ,29 = 2, REGLE : un nombre en écriture scientifique est de la forme : nombre compris entre 1, et 9, a 10 puissance positive ou négative suivant le cas il faut déplacer la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1, et 9,... et compenser par une puissance de 10 comme pour annuler ce déplacement Remarque : vérifier qu en appliquant cette puissance de 10 on retombe bien sur le nombre de départ. Exemple : = 4, ,0057 = 5, Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 5

6 LES CONVERSIONS EN UTILISANT LES PUISSANCES DE 10 PRINCIPE DES MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLES DE L UNITE DE BASE tera giga mega kilo hecto deca base déci centi milli micro nano pico T G M k h da d c m n p QUELQUES UNITES DE BASE : pour la longueur : le mètre m pour l aire d une surface: le mètre carré m 2 pour le volume : le mètre cube m 3 pour le temps : la seconde s pour la puissance : le watt W D AUTRES UNITES POSSIBLES : pour l aire d une surface: l are a pour le temps : l heure, la minute h, min pour le volume : le litre l μ Application à la longueur : m tera giga mega kilo hecto deca déci centi milli micro nano pico T G M km hm dam dm cm mm μm nm pm Exemples : 3200 m en km = 3,2 km 0,25 m en mm 0, = 250 mm Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 6

7 Application à l aire : tera giga mega kilo hecto deca centi m 2 déci milli micro nano pico T G M km 2 hm 2 dam 2 dm 2 cm 2 mm 2 μ n p 2 10 Application au volume : ha a ca tera giga mega kilo hecto deca centi m 3 déci milli micro nano pico T G M k h da dm 3 cm 3 mm 3 μ n p litre dans cm 3 déci centi milli l dl cl ml 10 dm 3 l déci centi milli dl cl ml un cube de 1 dm de coté = 1 dm 3 Exemples : 4200 cm² en m² = 0,42 m² 0,35 cm² en mm² 0, = 35 mm² Exemples : 7800 cm 3 en m m 3 inutile de déplacer la virgule pour éviter les erreurs 2 dl en m = m 3 Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 7

8 Application à la masse : tonne quintal T q Dizaine de kg kilo kg hecto deca hg dag g déci dg centi cg milli mg Exemples : 4300 mg en g = 4,3 g 0,25 T en kg 0, = 250 kg Cas particulier du temps : = heure h minute min s 10 ème de s 100 ème de s milli ms attention: ne pas confondre 2,35 h et 2 h 35 min heure h 10 ème d h 100 ème d h 1000 ème d h 45 min ¾ h ou 0,75 h 15 min ¼ h ou 0,25 h Exemples : 30 min ½ h ou 0,50 h 2 h 35 min en h (système décimal : 2,.. h) 2 h + 35/60 h = 2 + 0,583 h = 2,58 h 3,20 h en h et min 3 h et 0,20 h 60 = 3 h 12 min Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 8

9 2. 2EME OUTIL : LA RACINE CARREE Définition et symbole : S = 9 cm² a = 3 cm Problème : Quel est le coté du carré dont la l aire est 9 cm²? Réponse : 3 cm parce que 3² = 9 cm² Ecriture mathématique : 9 = 3 Quel est le nombre qui élevé au carré donne 9? Réponse : 3 Opérations et racine carrée : 4 9 = 36 = 6 ou 4 9 = 4 9 = 2 3 = 6 finalement : 4 9 = = 4 = 2 ou 16 4 = 16 4 = 4 2 = 2 finalement : 16 4 = = 9 = 3 ( 16 ) 2 = 4 2 = 16 finalement : 3 2 = 3 ou ( 16) 2 = 16 CAS GENERAL : a 2 = a ( a ) 2 = a a b = a b a b = a b Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 9

10 3. ENCADREMENT, VALEUR APPROCHEE ET ARRONDI Un peu de vocabulaire Traduire qu un nombre x est compris entre 2 valeurs a et b peut s écrire de 3 façons différentes : un encadrement : ou un intervalle : ou une droite graduée : a < x < b x ] a ; b [ a x ] [ b Attention aux bornes ou extrémités : sont-elles incluses ou exclues? Exercice : compléter le tableau suivant encadrement : intervalle : droite graduée : 2 < x < 8 donné -5 < x < 9-5 < x < -3 x [ 2 ; 8 [ x ] -5 ; 9 ] donné x [ -5 ; -3 ] x [ [ 2 8 x ] ] -5 9 x [ ] -5-3 donné Arrondir un résultat : fraction puissance de 10 décimal nb de chiffres après la virgule exemple à l unité près aucun 3 au 1/10 ème près à 10-1 près à 0,1 près 1 5,4 8,0 1/100 ème près à 10-2 près à 0,01 près 2 9,52 4,30 etc Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 10

11 Exemple : π = 3,14159 π = 3,14159 à l unité près 3 4 3,1 π 3 à l unité près π = 3,14159 au 1/10 ème près 3,1 3,2 3,14 3,14 3,1 au 1/10 ème près π = 3,14159 au 1/100 ème près 3,14 3,15 3,141 π 3,14 au 1/100 ème près π = 3, /1000 ème près 3,141 3,142 3,1415 π 3,142 1/1000 ème près π = 3,14159 au 1/10000 ème près 3,1415 3, π 3,1416 au 1/10000 ème près 3,14159 Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 11

12 4. L OUTIL «CALCULATRICE» Les principales calculatrices scientifiques Les calculatrices scientifiques graphiques Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 12

13 COMMENT CALCULER UNE PUiSSANCE, UNE RACiNE CARREE, UNE FRACTiON avec la nouvelle CASIO collège Elever un nombre au carré : x 2 EXE 9. 2,7 2 2,7 x 2 EXE 7,29. Elever un nombre au cube : x 3 EXE 8. Elever un nombre à une autre puissance : x 4 EXE 81. Entrer un nombre en écriture scientifique : 2, ,5 10 x 5. 42, ,5 10 x (-) 3. et non -. Calculer la racine carrée d un nombre : 9 schift x 2 9 EXE 3. Calcul avec des fractions : / / 4 EXE 11/12. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 13

14 COMMENT CALCULER UNE PUiSSANCE, UNE RACiNE CARREE, UNE FRACTiON avec l ancienne CASIO collège Elever un nombre au carré : x 2 EXE 9. 2,7 2 2,7 x 2 EXE 7,27. Elever un nombre au cube : x 3 EXE 8. Elever un nombre à une autre puissance : ^ 4 EXE 81. Entrer un nombre en écriture scientifique : 2, ,5 10 x 5. 42, ,5 10 x (-) 3. et non -. Calculer la racine carrée d un nombre : 9 seconde x 2 9 EXE 3. Calcul avec des fractions : d/c d/c 4 EXE 11/12. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 14

15 COMMENT CALCULER UNE PUiSSANCE, UNE RACiNE CARREE, UNE FRACTiON avec la nouvelle TI collège Elever un nombre au carré : x 2 ENTER 9. 2,7 2 2,7 x 2 ENTER 7,29. Elever un nombre au cube : ^ 3 ENTER 8. Elever un nombre à une autre puissance : ^ 4 ENTER 81. Entrer un nombre en écriture scientifique : 2, ,5 10 n 5. 42, ,5 10 n (-) 3. et non -. Calculer la racine carrée d un nombre : 9 2nde x 2 9 EXE 3. Calcul avec des fractions : / / 4 EXE 11/12. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 15

16 COMMENT CALCULER UNE PUiSSANCE, UNE RACiNE CARREE, UNE FRACTiON avec la nouvelle TI collège Elever un nombre au carré : x 2 ENTER 9. 2,7 2 2,7 x 2 ENTER 7,29. Elever un nombre au cube : ^ 3 ENTER 8. Elever un nombre à une autre puissance : ^ 4 ENTER 81. Entrer un nombre en écriture scientifique : 2, ,5 2nde EE 5. 42, ,5 2nde EE (-) 3. et non -. Calculer la racine carrée d un nombre : 9 2nde x 2 9 EXE 3. Calcul avec des fractions : A b/c A b/c 4 EXE 11/12. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 16

17 QUELQUES PIEGES A EVITER La calculatrice connaît la priorité des opérations à savoir REGLE : de priorité : en 1er ( ) puis. : / et enfin + - mais pour 12 un calcul de la forme : 2 3 attention : le dénominateur est un ensemble donc à mettre entre parenthèses 12 / ( 2 3 ) EXE 2. ou 12 / 2 / 3 EXE 2. ou de la forme : ici le numérateur est un ensemble donc à mettre entre parenthèses ( 3 8 ) / 4 EXE 6. pour entrer 10 3 : 2 solutions 10 ^ 3 ou 1 10 n 3.. x x.. x y... 2nde EE. Exemple : n 2 10 ^ n n 3. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 17

18 5. METHODE : COMMENT UTILISER UNE FORMULE? Reprendre le problème de l approche. Caractéristiques techniques tirées de la documentation d une moto : Nombre de cylindres : 2 Alésage/course : 56/50,6 mm Cylindrée : 250 cm 3 Montrer que la cylindrée est de 250 cm 3 sachant que le volume d un cylindre est donné par la formule : V = π R² h METHODE :: Repérer la formule Peut-on l appliquer directement? Rechercher les données de l énoncé. Les unités sont-elles cohérentes ou fautil les convertir? Utiliser la calculatrice. Arrondir le résultat comme demandé ou s inspirer des données. V = π R² h Enoncé : Alésage du piston=diamètre du cylindre D=56 mm donc rayon R=28 mm Course du piston=hauteur du cylindre h=50,6 mm Il faut convertir les dimensions en cm pour obtenir un volume en cm 3 Application : R=2,8 cm h=5,06 cm V = π 2,8 ² 5,06 V = 124,628 cm 3 Valeur de la cylindrée de la moto : cylindrée = 2 124,628 = 249,256 cm 3 La cylindrée est bien de 250 cm 3 Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 18

19 6. METHODE: COMMENT TRANSFORMER UNE FORMULE? Problème posé : une formule de base est connue : exemple : aire d un rectangle A = L l A D 3 cm A? en cm² B 2 cm C Pour calculer l aire A il suffit d appliquer directement la formule A = 3 2 = 6 cm 2 transformer la formule pour pouvoir calculer une des autres grandeurs : A L = 5 cm A = 15 cm² l? B Pour calculer la largeur l connaissant l aire A et la longueur L il faut d abord transformer la formule ici l = 3 car 3 5 = 15 D C en fait 3 = 15 5 d où la formule transformée l = A L = 15 5 = 3 cm LES REGLES A RESPECTER le 1er membre = = 6 le 2ème membre la frontière Comment transposer un élément d un coté à l autre (d un membre dans un autre)? Aide : il faudra tenir compte de l opérateur. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 19

20 2 + 3 = = 2 2 = = = = 3 2 = = (- 2 ) = = remarque : il ne faut pas changer de signe addition. soustraction : rien / multiplication division REGLE : par transposition d un membre dans un autre ( en passant la frontière c est-à-dire «le signe =» ) o l addition devient une soustraction ou inversement o la multiplication devient une division ou inversement. Attention : pour supprimer quelques erreurs possibles, il faut éviter de raisonner «changement de signes» Remarque générale : toutes ces manipulations de transposition réussies avec des nombres restent valables avec des lettres. Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 20

21 1ER EXEMPLE DE TRANSFORMATION : Aire d un rectangle = produit de la longueur par la largeur = longueur largeur : Formule de base : A = L l Dans un énoncé l aire est donnée et la largeur est donnée. Il est demandé de calculer la longueur. Il faut donc transformer la formule pour obtenir L = METHODE :: Isoler la grandeur recherchée dans un des membres en transposant le reste dans l autre membre A = L l A l = L Formule transformée : Ecrire la formule transposée dans le bon ordre L = A l Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 21

22 2EME EXEMPLE DE TRANSFORMATION : La puissance électrique = produit de la tension électrique par l intensité du courant Les symboles : puissance électrique P tension électrique U intensité du courant I Formule de base : P = U I Remarque : l opérateur entre U et I est une multiplication L énoncé demande de calculer l intensité connaissant la puissance et la tension. Transformation de la formule : P = U I P U = I Formule transformée : I = P U 3ème exemple La vitesse d un mobile = quotient de la distance parcourue par le temps du parcours avec v comme vitesse, d comme distance et t comme temps Formule de base : v = d t L énoncé demande de calculer le temps du parcours connaissant la vitesse et la distance. Transformation de la formule de base: v = d t Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 22

23 METHODE :: Si la grandeur recherchée est en position dénominateur il faut d abord transposer cette grandeur Isoler la grandeur recherchée en transposant le reste dans l autre membre v = d t v t = d v t = d t = d v Formule transformée : t = d v 4 EME EXEMPLE L aire d un disque est donné par la formule : A = π R² Dans l énoncé il est demandé de calculer le diamètre du disque. Remarque : pour calculer le diamètre D, il faut d abord calculer le rayon R. Transformation de la formule : A = π R² METHODE :: Si la grandeur recherchée est au carré il faut penser à bloquer l ensemble Isoler l ensemble recherché en transposant le reste dans l autre membre Ecrire la formule dans le bon ordre Pour isoler la grandeur demandée il Faut prendre la racine carrée Si x² = 9 alors x = 3 c'est-à-dire x = 9 A = π R² A π = R² R² = A π Formule transformée : R = A π Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 23

24 DERNIER EXEMPLE : L aire d un trapèze est donnée par la formule : A = ( B + b ) h 2 L énoncé demande de calculer la grande base B b B h Transformation de la formule : A = ( B + b ) h 2 METHODE :: Si la grandeur recherchée fait partie d un ensemble il faut penser à bloquer l ensemble Isoler cet ensemble en transposant le reste dans l autre membre Ecrire la formule dans le bon ordre Pour isoler la grandeur demandée il faut continuer les dernières transpositions A 2 h A = ( B + b ) h 2 = B + b B + b = A 2 h B = A 2 h - b Formule transformée : B = A 2 h - b Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 24

25 Reprendre le problème de l approche. Caractéristiques techniques tirées de la documentation d une moto : Nombre de cylindres : 2 Alésage/course : 56/50,6 mm Cylindrée : 250 cm 3 Sachant que la cylindrée est de 250 cm 3, montrer que l alésage est de 56 mm. Formule du volume d un cylindre : V = π R² h METHODE :: Repérer la formule Peut-on l appliquer directement ou fautil la transformer? Pour trouver l alésage, c'est-à-dire le diamètre du cylindre, il faut d abord calculer le rayon : V = π R² h V π h = R² R² = V π h R = V π h Rechercher les données de l énoncé. Les unités sont-elles cohérentes ou fautil les convertir? Utiliser la calculatrice. Arrondir le résultat comme demandé ou s inspirer des données. Application numérique : V : la moitié de la cylindrée 250/2 = 125 cm 3 h = 50,6 mm = 5,06 cm 125 R = π 5,06 R = 2,80 cm R = 28 mm D = 2 R = 2 28 = 56 mm L alésage est D = 56 mm Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 25

26 7. INITIATION AU TABLEUR EXCEL pour apprendre à : o compléter et insérer un tableau EXCEL dans un document o insérer dans une cellule une formule de calcul automatique o arrondir le résultat d une cellule o mettre le tableau en forme (centrages des écritures, bordures du tableau, coloriage de cellule ) Reprendre : montrer que la cylindrée est de 250 cm 3 sachant que le volume d un cylindre est donné par la formule : V = π R² h Rayon R en cm hauteur h en cm Volume V en cm 3 Cylindrée en cm 3 (2 cylindres) Valeur arrondie Les formules pour les cellules : C2 D2 E2 =PI()*PUISSANCE(A2;2)*B2 =C2*2 =ARRONDI.SUP(D2;0) Reprendre : sachant que la cylindrée est de 250 cm 3, montrer que l alésage est de V 56 mm. Formule transformée du rayon d un cylindre : R = π h Cylindrée en cm 3 Volume hauteur Rayon Diamètre V en cm 3 h en cm R en cm en cm Les formules pour les cellules : Diamètre en mm B2 D2 E2 F2 =A2/2 =RACINE(B2/(PI()*C2)) =D2*2 =E2*10 Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 26

27 Fiche de révision La longueur m tera giga mega kilo hecto deca déci centi milli micro nano pico T G M km hm dam dm cm mm μm nm pm L aire tera giga mega kilo hecto deca centi m 2 déci milli micro nano pico T G M km 2 hm 2 dam 2 dm 2 cm 2 mm 2 μ n p 10 2 ha a ca Le volume tera giga mega kilo hecto deca centi m 3 déci milli micro nano pico T G M k h da dm 3 cm 3 mm 3 n p dm cm 3 l déci centi milli dl cl ml μ une bouteille d 1 litre l déci centi milli dl cl ml un cube de 1 dm 3 Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 27

28 Fiche de révision La masse tonne quintal T q Dizaine de kg kilo kg hecto deca hg dag g déci dg centi cg milli mg = Le temps heure h minute min s 10 ème de s 100 ème de s milli ms heure h 10 ème d h 100 ème d h 1000 ème d h 45 min ¾ h ou 0,75 h 15 min ¼ h ou 0,25 h 30 min ½ h ou 0,50 h Bac Pro Chapitre 1 Utilisation de formule 28

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