Concours Fesic Puissance mai 2016

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1 Concours Fesic Puissance mai 0 Calculatrice interdite ; traiter exercices sur les en h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. + si bonne réponse, si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE LECTURE-INTERPRÉTATION ÉNONCÉ y 5 Soit f une fonction définie, dérivable et ne s annulant pas sur l intervalle I = [0 ; ]. On pose C f la courbe représentative de f dans le repère orthonormé O, ı, ) j et g la fonction définie sur [0 ; ] par g x)= f x). La tangente T A au point A ; ) passe par le point B ; 0). 0 C f T A + + B 0 5 A x a. f )=. b. f )= f ). c. Une équation de T A est y = x+. d. g )=. EXERCICE LOGIQUE Soit x un réel donné. a. Si x= alors x =. b. La réciproque du a. est toujours vraie. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I = [ ; 7]. c. Si,pour tout x I, f x)>0 et f )= alors pour tout x I, f x)>0. d. Si une suite est croissante et admet une limite finie alors ee est nécessairement bornée. EXERCICE PROBABILITÉS CONDITIONNELLES On joue avec deux dés dont les faces sont numérotées de à. Le premier dé, D, est un dé «honnête» c est-à-dire pour lequel la sortie de chacune des faces est équiprobable. Le deuxième dé, D, est truqué de façon que : la face numérotée et la face numérotée ont une chance sur douze de sortir ; la face numérotée a une chance sur quatre de sortir.

2 Concours Fesic Puissance mai 0 A. P. M. E. P. a. On lance le dé n o, la probabilité de l évènement «on a obtenu la face numérotée» est égale à 7. Dans toute la suite, on lance un dé pris au hasard. b. La probabilité d obtenir l évènement «on a obtenu la face numérotée» est égale à 9. c. Les évènements «on a obtenu un numéro pair» et «on a utilisé le dé D» sont indépendants. d. Sachant qu on a obtenu la face numérotée, la probabilité qu on ait utilisé le dé D est égale à. Ω D D EXERCICE LIEN ENTRE TABLEAU ET ARBRE DE PROBABILITÉS Dans un lycée, les 00 élèves de Terminale se répartissent suivant les activités : sport S), théâtre T) et dessin D). On donne les informations suivantes : 0 garçons choisissent le théâtre et garçons choisissent le dessin. 8 filles choisissent le sport et 7 filles choisissent le dessin. Le nombre total de garçons représente 0 % de J effectif total. Le sport est choisi par 0 % des garçons et par 0 % des filles. On pose x le nombre total de filles. On note G l évènement «l élève est un garçon», F l évènement «l élève est une fille», S l évènement «l élève fait du sport», T l évènement «l élève fait du théâtre» et D l événement «l élève fait du dessin». On rassemble les informations précédentes dans le tableau et l arbre ci-dessous. Garçons G) Filles F) Total Sport S) 8 Théâtre T) 0 Dessin D) 7 Total x 00 a. La probabilité qu un garçon fasse du sport est égale à 0,. b. x= 0. c. La probabilité qu un élève fasse du théâtre est égale à 0,. d. P T F )= 5. Ω 0, D D 0, S T D S T D EXERCICE 5 CALCUL DU NOMBRE D ABONNÉS D UNE SOCIÉTÉ Le service commercial d une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l évolution du nombre d abonnés était définie de la manière suivante : chaque année, la société accueille 00 nouveaux abonnés ; chaque année, 0 % des abonnements de l année précédente ne sont pas renouvelés. Terminale S

3 Concours Fesic Puissance mai 0 A. P. M. E. P. En 00 cette société comptait 500 abonnés. La suite a n ) modélise le nombre d abonnés pour l année 00+n. On définit la suite v n ) par v n = a n 000. a. a = 00. b. a n+ = a n c. La suite v n ) est une suite géométrique de raison q =. d. a"=500 n EXERCICE CALCULS DE LIMITES a. lim x x x+ 7=. b. Si, pour tout x R, x n + c. lim n + n + =. n d. lim n + n+ ) n =. f x) 0, alors lim x + f x)=0. EXERCICE 7 NOTIONS DE BASE SUR LES COMPLEXES a. i) =. b. La forme trigonométrique de [ i est c. Soit z, z C, z = z z = z. d. arg +i) = 7π i [π]. π ) cos π )] + isin. EXERCICE 8 a. x dx=. x b. 0 x + dx=. π sin x ln c. dx = π cos x. x d. dx =. x+ CALCULS D INTÉGRALES EXERCICE 9 On considère la fonction f définie sur ] ; [ par f x)= x. On note C f sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, ı, ) j fig. ci-contre). 5 ÉTUDE DE FONCTION C f,0 0,5 a. La dérivée de f est définie sur ] ; [ par f x)= x x ). 0,5,0 Terminale S

4 Concours Fesic Puissance mai 0 A. P. M. E. P. b. La tangente à la courbe C f au point A d abscisse x = 0,5 est parallèle à la droite D) d équation x 9y 7= 0. c. La fonction F définie sur ] ; [ par F X )= ) x ln est une primitive de f. + x d. L aire du domaine hachuré sur la figure) compris entre les droites d équations x =, x =, l axe des abscisses et la courbe C f vaut, en unités d aires du repère, ln). EXERCICE 0 PROBLÈME AUTOUR DE LA FONCTION EXPONENTIELLE On considère la fonction f définie sur R par f x)=e x e x + 5x+. On définit f la dérivée de f et f la dérivée de f. a. f x)=e x e x + 5 et f x)=e x e x ). b. e x >0 x < ln. c. La fonction f est croissante sur [0 ; + [. d. f est décroissante sur [0 ; + [. EXERCICE PROBLÈME AUTOUR DE LA FONCTION LN On considère la fonction f définie sur I =]5 ; + [ par f x)=lnx+ ) lnx 5)+5. On note C f sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, ı, ) j. a. f x+ x)= x+ )5 x). b. C f admet la droite d équation x= 5 comme asymptote verticale. [ e 5 ] x+ ) c. f x)=ln x 5). d. C f admet la droite d équation y = 5 comme asymptote horizontale en+. EXERCICE UTILISATION DES ALGORITHMES DANS UNE SUITE Terminale S

5 Concours Fesic Puissance mai 0 A. P. M. E. P. Soit N un entier naturel. On considère l algorithme ALGO n o cicontre : Par exemple, si on saisit la valeur pour N, l algorithme affiche le nombre 9 comme valeur de U. Variables N I U Initialisation Boucle pour 9 On considère la suite u n ) définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n, u n+ = u n + n+. a. L algorithme ALGO n o permet d afficher la valeur de u N connaissant N. b. u =. c. L algorithme ALGO n o permet d afficher la valeur de u N connaissant N. d. Pour tout entier naturel n, u n = n+ ). ALGO n o Début programme Lire N U prend la valeur Pour I allant de à N Début Pour U prend la valeur U + I + Fin Pour Afficher U Fin du programme ALGO n o Début programme Lire N U prend la valeur I prend la valeur 0 Tant que I < N Faire Début Tant que U prend la valeur U + I + I prend la valeur I + Fin Tant que Afficher U Fin du programme EXERCICE PROBABILITÉS CONTINUES La durée de vie exprimée en années) d un appareil électroménager avant la première panne est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ> 0. a. Pour tout réel t strictement positif, px t)= e λt. b. Si la probabilité ) d avoir une panne la première année est égale à, alors 5 λ= ln. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N 0 ; σ ) avec σ>0. Pour tout u R, on pose Πu)=PY u). Πu) représente l aire de la surface hachurée ci-contre. Πu) c. P0 Y σ)>. d. Π σ) 0. EXERCICE Dans l espace muni d un repère orthonormé O, ı, j, k 0 u GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ), on donne les plans P) et Q) d équations cartésiennes respectives P) : x+y+ z = et Q) : y+ z =. x = 5t+ D) est la droite dont une représentation paramétrique est y = t pour z = t tout t réel. a. Le plan Q) est orthogonal à l axe des abscisses. b. Les plans P) et Q) sont sécants suivant une droite. c. Une équation cartésienne de est x + 5z = 5. d. D est parallèle à. EXERCICE 5 UTILISATION DES COMPLEXES EN GÉOMÉTRIE Terminale S 5

6 Concours Fesic Puissance mai 0 A. P. M. E. P. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O, u, ) v. On désigne par A, B, C et D les points d affixes respectives : z A = i, z B = i, z C = i et z D = +5i. z B z A a. = i. z C z A b. Le triangle ABC est équilatéral. x et y désignent deux nombres réels, on note f la fonction qui, à tout point M d affixe z = x+ iy distinct de i, associe le point M d affixe z iz +i) =. z i c. La partie imaginaire de z est x x+y + y x + y ). d. L ensemble γ des points M d affixe z tels que z soit un réel est une droite. EXERCICE UTILISATION DES ALGORITHMES EN GÉOMÉTRIE,0 On effectue le programme de construction ci-dessous : Étape : C On divise chaque côté d un triangle équilatéral de côté en segments de même longueur C C B par exemple les segments : [A ; C ], [C ; C ] et B [C ; C]). Sur chacun des côtés du triangle, on construit, à l extérieur du triangle, un triangle équilatéral C B ayant pour base le second segment par exemple le triangle C C C ayant pour base le segment A A A B [C ; C ] pour le côté [A ; C]). Étapes suivantes :,0 Sur chaque triangle obtenu à l étape précédente, on construit deux nouveaux triangles équilatéraux selon le même procédé de construction que celui de l étape. Terminale S

7 Concours Fesic Puissance mai 0 A. P. M. E. P.,0,0,0,0 Étape 0 Étape,0,0,0,0 Étape Étape Pour tout entier naturel n, on pose : u n le nombre de triangles construits à l étape n, l n la longueur du côté du triangle équilatéral construit à l étape n, h n la hauteur du triangle équilatéral construit à l étape n, s n la surface que l on colore à l étape n. a. h =. b. La suite l n ) n 0 est une suite géométrique de raison q =. c. h n = n. ) n 9 d. Si n, alors s n =. 8 Terminale S 7

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