Partie I (sur copies vertes)

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promoton 2004 CONTRÔLE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES Recherche opératonnelle : aspects mathématques et applcatons Vendred 08 Décembre 2006 Durée : 3 heures Sujet proposé par F. Bonnans et S. Gaubert Avertssement. Rédger la parte I sur copes vertes, et la parte II sur copes jaunes. Chaque parte comporte deux problèmes. Ces quatre sujets sont ndépendants. À l'ntéreur de chacun d'eux, les questons peuvent souvent être abordées de manère ndépendante. Documents autorsés : polycopé, feulles et recuel d'exercces et notes personnelles du cours. Parte I (sur copes vertes) I.A : Sac à dos en varables entères On étude un problème de sac à dos en varables entères, postves, pas nécessarement {0, 1}, de la forme N N u z ; z b; p z M, (I.1) Max z N N où les u N représente l'utlté des objets de type, p > 0 leur pods, b la quantté dsponble, (b N {+ }), M le pods maxmum admssble du sac-à-dos, et N le nombre de types d'objets consdérés. Le relâché contnu est dén comme Max z R N + N u z ; z b; N p z M Queston 1. Montrer qu'on peut changer b en mn(b, M/p ) pour tout, sans changer la soluton du problème (I.1). On appelera cette opératon la mse à jour des quanttés dsponbles. Queston 2. On suppose sans perte de généralté les ratos u /p décrossants. Montrer qu'on peut calculer smplement la soluton du relâché contnu. On se contentera d'une preuve dans le cas où les ratos u /p sont strctement décrossants. Queston 3. On consdère le cas partculer (avec donc c b = + pour tout ) : (I.2) Max 4z 1 + 5z 2 + 2z 3 ; 4z 1 + 7z 2 + 3z (I.3) z N 3 + a) Eectuer la mse à jour des quanttés dsponbles, b) Explcter la soluton du relâché contnu (avec les nouvelles bornes). c) Calculer la valeur assocée. Queston 4. On ntrodut la varable d'écart z 4 N telle que 4z 1 + 7z 2 + 3z 3 + z 4 = 19, et la varable d'écart à la borne supéreure z 1 = b 1 z 1 = 4 z 1. Vérer que 4 z 1 + 7z 2 + 3z 3 + z 4 = 3. Applquer la technque de coupe de Gomory à l'égalté précédente pour obtenr une relaton satsfate par les ponts enters admssbles pour le problème (I.1), et qu élmne la soluton du relaxé contnu. (I.4) (I.5)

2 Queston 5. On consdère le problème (P R ) obtenu en ajoutant au problème relâché contnu la coupe de Gomory. Montrer que cette dernère contrante est actve en toute soluton de (P R ), et calculer la valeur et les solutons de (P R ). Que peut-on en conclure? Queston 6. Comment aurat-on pu résoudre le problème de sac à dos par une approche de séparaton et évaluaton. On étudera les cas de mnorantes obtenues en résolvant le problème relâché contnu, avec branchement sur les valeurs fractonnares. I.B : Formulaton alternatve pour le problème de la p médane Soent N clents et M stes possbles d'entrepôts. Posons I = {1,..., N}, J = {1,..., M}, et notons d j > 0 la dstance entre le clent et l'entrepôt j. On cherche à mnmser la somme des dstances des clents à au plus p entrepôt. Cec s'exprmer habtuellement par le PLNE (programme lnéare en nombres enters) suvant : Mn x,y d j x j ; I j J (I.6) x j {0, 1}, y j {0, 1}, pour tout I, j J, (I.7) y j p, (I.8) j J x j = 1, pour tout I, (I.9) j J x j y j, pour tout I, j J. (I.10) La varable x j vaudra donc 1 s le clent est desserv par l'entrepôt j, 0 snon. On ntrodut mantenant un pont de vue alternatf. Notons K le cardnal de {d j, j J} : c'est le nombre de valeurs dstnctes des dstances du clent aux entrepôts possbles, et donc K M. Notons D 1 < D2 < < DK ces dstances. Pour k = 1 à K, appelons kème vosnage du clent l'ensemble des entrepôts de dstance au plus D k : V k := {j J; d j D k }. (I.11) Introdusons mantenant (c'est le pont-clé) la varable bnare z k, pour I et 1 k K, valant 1 ss tous les entrepôts dans V k sont fermés. Queston 7. Montrer que, s (x, y) est soluton de (I.6), alors z 1 + y j 1, pour tout I. (I.12) j:d j =D 1 Queston 8. Montrer que, sous la même hypothèse, on a auss, z k + y j z k, pour tout I, k = 2,..., K. (I.13) j:d j =D k Queston 9. On note que z K = 0, pour tout I. (I.14) Montrer que (x, y) est un pont réalsable de (I.6), alors la varable z se dédut des formules z 1 = 1 x j, pour tout I. (I.15) j:d j =D 1 z k = 1 j:d j D k x j, pour tout I, k = 2,..., K. (I.16) 2

3 Queston 10. Inversement, soent y j, j J, et z k, I, 1 k K, des varables bnares satsfasant (I.8), et (I.12)-(I.14). Montrer que, pour chaque I, on peut calculer x tel que (x, y) est soluton bnare de (I.15)-(I.16), et satsfat (I.9)-(I.10), de la manère suvante. Le vecteur r {0, 1} M dén par r j = x j, pour tout j J, est soluton des relatons r j = 1 z 1 ; r j y j, pour tout j tel que d j = D 1, (I.17) j:d j =D 1 et pour k = 2 à K : r j = z k z k ; r j y j, pour tout j tel que d j = D k. (I.18) j:d j =D k Queston 11. On consdère le crtère F (z) := I ( D 1 + K k=1 (D k+1 D k )z k ) (I.19) Montrer que, s (x, y) satsfat les contrantes (I.7) à (I.10), et z est la varable bnare assocée (soluton de (I.15)-(I.16)), alors F (z) = d j x j. (I.20) I j J Queston 12. Montrer que, pour calculer une telle varable z assocée à une localsaton optmale des entrepôts, l sut de résoudre le problème Mn y,z F (z); soums à (I.8), (I.15), (I.16); z K = 0, pour tout I. (I.21) Queston 13. Quel est l'avantage de résoudre cette formulaton alternatve, en terme de nombre de varoables et d'équatons? Dans quels cas le gan sera-t-l mportant? Parte II (sur copes jaunes) II.A : Approche SDP du colorage de graphe Sot G = (V, E) un graphe non-orenté. On rappelle que V désgne l'ensemble des sommets, et que E désgne l'ensemble des arêtes. Sot C un ensemble dont les éléments seront nterprétés comme des couleurs. Une C-coloraton de G est une applcaton φ qu à chaque sommet V assoce une couleur φ() C de sorte que deux sommets adjacents aent des couleurs dérentes : {, j} E = φ() φ(j). Le nombre chromatque de G, noté χ(g), est par dénton le plus pett cardnal d'un ensemble C tel qu'l exste une C-coloraton de G. Queston 1. Pour chacun des cnq graphes représentés c-dessous, donner le nombre chromatque ans qu'une coloraton optmale : G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 3

4 Queston 2. Consdérons le PLNE : Mn k V y k ; x = (x k ) {0, 1} V V y = (y k ) {0, 1} V V, x k = 1 k V {, j} E, k V, x k + x jk 1, k V, x k y k. Juster le fat que la valeur de ce PLNE fournt le nombre chromatque de G (on donnera l'nterprétaton de x k et de y k ). Montrer que la relâché contnu admet toujours une soluton admssble de valeur 1. Qu'en dédusez vous? Pour parvenr à une formulaton SDP, nous allons établr quelques résultats relatfs aux famlles de vecteurs de R n fasant entre eux des angles obtus. Queston 3. Montrer que s'l exste k vecteurs untares de R n u 1,..., u k tels que j = u u j λ, avec λ R, alors 1 k 1 λ. Indcaton. On pourra développer u u k 2. Queston 4. En dédure que s u 1,..., u n sont des vecteurs untares de R n tels que, pour tout j, on at u u j = 1 k 1 ou u u j = 1, alors, l y a au plus k vecteurs dstncts parm u 1,..., u n. Dans la sute, on note n le nombre d'éléments de V, et l'on dente V à {1,..., n}. On note E := {(, j) {1,..., n} 2 j, {, j} E}. On rappelle que S n désgne l'ensemble des matrces symétrques réelles n n, et que l'on note M 0 s M est une matrce postve non-nécessarement déne. Pour tout k 2, on note M k l'ensemble des matrces M = (M j ) S n vérant les contrantes suvantes : M 0 {1,..., n}, M = 1 (, j) E, M j = 1 k 1, (, j) E, M j { 1 k 1, 1}. (II.1) (II.2) (II.3) (II.4) S M est une matrce symétrque postve n n, on rappelle qu'on peut écrre M = UU T, avec U matrce réelle de talle n n. On notera que s u désgne la -ème lgne de U, on a M j = u u j. (La matrce M est appelée Grammenne de la famlle u 1,..., u n.) Queston 5. Supposons que M k, et sot M M k Dédure de la queston précédente que s l'on factorse M sous la forme M = UU T, avec U matrce réelle n n, alors la matrce U a au plus k lgnes dstnctes. Conclure que l'applcaton qu a V assoce la -ème lgne de U dént une coloraton de G avec au plus k couleurs. 4

5 Queston 6. Montrer que la matrce A de talle k k, telle que A = 1 et A j = /(k 1) pour j est postve non-déne. En dédure qu'elle peut se factorser sous la forme A = UU T, où U est une matrce réelle de talle k (k 1). Queston 7. Dédure de la queston précédente que pour n k 1, l exste k vecteurs untares de R n, u 1,..., u k, tels que u u j = /(k 1) pour j. Queston 8. On suppose que V = {1,..., n}, et que E est non-vde. Conclure que le nombre chromatque du graphe G est donné par la valeur du problème d'optmsaton suvant : Mn k; k N, k 2, M k. Queston 9. Dédure de ce qu précède que le nombre chromatque de G est mnoré par 1 1/λ, où λ est la valeur du problème d'optmsaton suvant : Montrer que ce problème est de type SDP. Mn λ λ R λ 0 M = (M j ) S n M 0 {1,..., n}, M = 1 (, j) E, M j = λ (, j) E, M j [λ, 1] II.B : Planfcaton à court terme d'untés de producton électrque On étude un modèle smplé de plancaton de la producton de centrales électrques de nature thermque. On note I le nombre de centrales. On souhate planer la producton éléctrque entre les nstants t = 0 et t = T, le temps prenant des valeurs entères. La demande totale D t devant être serve à l'nstant t est supposée connue (et détermnste). Une centrale peut être allumée ou étente. On note x t l'état de la centrale à l'nstant t, avec la conventon x t = 1 pour allumé, et xt = 0 pour étent. À chaque nstant, on peut décder d'allumer ou d'étendre la centrale, mas cette décson ne sera prse en compte qu'à l'nstant suvant. En notant u t {0, 1} la décson prse à l'nstant t, concernant la centrale, on peut ans décrre l'état du système par la relaton : On note g t x t+1 = u t. (II.5) le nveau de producton de la centrale à l'nstant t. Il dot satsfare x t = 0 = g t = 0, x t = 1 = g g t g, (II.6) (II.7) où g et g sont des données, représentant respectvement le nveau mnmal et le nveau maxmal de producton possble lorsque la centrale est allumée. La décson de plancaton consste à se donner pour chaque centrale les décsons de marche/arrêt u 0,..., ut, ans que les nveaux de producton g 0,..., gt. On note u := (u t ) 1, 0 t T, et 5

6 g := (g t ) 1, 0 t T. Le coût total de producton est supposé être de la forme : J(u, g) = T I (C (g) t + S (x t, u t )). La foncton y C (y) donne le coût nstantanné de producton, s le nveau de producton est y. On suppose que C (0) = 0 et que C est ane sur l'ntervalle [g, g ]. La foncton (y, v) S (y, v) représente le coût de commutaton, lorsque l'état courant est y et que la décson de marche/arrêt est v. On a naturellement S(0, 0) = S(1, 1) = 0. On dot satsfare à chaque nstant t = 0,..., T 1 la contrante de demande I g t D t. (II.8) Il s'agt de mnmser la foncton J(u, g), sur l'ensemble des vecteurs booleens u et des vecteurs réels g tels que les contrantes (II.6), (II.7), et (II.8) soent satsfates, l'état des centrales obéssant à la dynamque (II.5). L'état ntal x 0 est supposé connu, quel que sot. Ce problème sera qualé de prmal. Dans la sute, on supposera toujours qu'l exste au mons une soluton admssble, c'est-à-dre qu'en allumant toutes les centrales et en xant le nveau de producton au maxmum, on arrve à satsfare (II.8). On note λ t le multplcateur de Lagrange assocé à la contrante (II.8), on pose λ := (λ t ) 0 t T, et l'on forme le Lagrangen : ) T I L(u, g; λ) := J(u, g) + λ (D t t. On note la foncton duale. Queston 10. Juster brèvement le fat que : où q(λ) = nf L(u, g; λ) u,g T q(λ) = λ t D t + I q (λ) T q (λ) = nf (C (g t u,g ) + S (x t, u t ) λ t g) t, (II.9) l'nmum étant prs sur tous les vecteurs booleens u = (u 0,..., ut ) et sur tous vecteurs réels g = (g 0,..., gt ) satsfasant (II.6) et (II.7), pour des x t obéssant toujours à (II.5). Queston 11. Formuler un algorthme de programmaton dynamque permettant de calculer la foncton q (λ). Dédure de l'équaton de programmaton dynamque et du fat que la foncton C est ane sur [g, g ] la proprété suvante, dte bang-bang : le mnmum dans (II.9) est attent en un pont (u, g ) tel que g t {0, g, g }, pour tout t. Queston 12. Montrer qu'un sur-gradent de q au pont λ peut se calculer très smplement. En dédure une méthode de résoluton du problème dual : Max λ 0 q(λ). 6 g t (II.10)

7 Observons qu'l n'y a qu'un nombre n de sutes (u t, gt ) 0 t T telles que u t {0, 1} et gt {0, g, g }, pour tout 0 t T. Sot W l'ensemble de ces sutes. Pour tout w = (u t, gt ) 0 t T W, on pose T C w := C (g) t + S(x t, u t ) où x t est toujours obtenu à partr de la dynamque (II.5). On pose auss : g t w := g t. On consdère le problème : I Mn p w C w ; w W {1,..., I}, p w = 1 w W {1,..., I}, w W, p w 0 I t {0,..., T 1}, p w gw t D t. w W (II.11) Queston 13. Montrer, en utlsant la proprété d'optmalté des solutons bang-bang énoncée dans la Queston 11, que le problème dual (II.10) peut se formuler comme un problème de programmaton lnéare. Montrer que le problème (II.11) est le problème dual du problème dual (II.10), et qu'l a même valeur que celu-c. On suppose désormas que I > T. Queston 14. Montrer que le problème (II.11) admet une soluton optmale p telle qu'l exste au plus I + T valeurs de (, w) pour lesquelles p w > 0. En dédure qu'l exste au mons I T ndces pour lesquelles l exste un (unque) w W tel que p w = 1. Queston 15. Montrer que s p est une soluton optmale du problème (II.11) vérant la proprété de la queston précédente, l est possble, en modant au plus T parm les I vecteurs (p w ) w W, = 1,..., I, d'obtenr une soluton admssble du problème prmal. Conclure que s l'on a I centrales toutes dentques, le saut de dualté peut être majorée par une foncton ndépendante de I, quand I tend vers l'nn. 7

8 ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promoton 2004 CORRIGÉ DU CONTRÔLE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES Recherche opératonnelle : aspects mathématques et applcatons Vendred 08 Décembre 2006 Durée : 3 heures Sujet proposé par F. Bonnans et S. Gaubert Corrgé de la Parte I I.A : Sac à dos en varables entères Réponse à la Queston 1. La contante de capacté du sac mplque z M/p, et donc z mn(b, M/p ). On conclut en observant que z est entère. Réponse à la Queston 2. Une soluton z est fourne en prenant z 1 = mn(b 1, M/p 1 ), et par récurrence, pour tout > 1, z = mn(b, m /p ), où m = M k=1 p k z k est la capacté restante après avor ms les objets 1 à 1. L'argument est smlare à celu du cas de varables {0, 1}. On peut supposer les ratos u /p décrossants. S z satsfat les contrantes, et s est le plus pett ndce pour lequel z < b, et s z j > 0 pour un certan j > tel que u /p u j /p j, pour ε > 0 pett, ajoutant ε/p à z et retranchant ε/p j à z j, on obtent un chargement admssble de valeur supéreure (strctement supéreure s u /p > u j /p j ). Chosssant ε le plus grand possble, on sature sot la borne supéreure de z, sot la borne nféreure pour z j. Opérant ans pour toutes les combnasons possbles de tels couples (, j), on obtent un pont admssble de valeur supéreure ou égale, obtenu en saturant d'abord la premère coordonnée, pus la seconde, etc. sot le pont z décrt au début de cette réponse. La valeur en z étant supéreure à celle de tout pont admssble, le pont z est optmal. Réponse à la Queston 3. a) Le relâché contnu est Max z R N N u z ; z b; N p z M, (1) On a b = ( 19/4, 19/7, 19/3 ) = (4, 2, 6). b) La soluton (unque pusque les ratos u /p sont strctement décrossants) est z = (4, 3/7, 0). c) La valeur obtenue est /7 = /7. Réponse à la Queston 4. Notons z 1 = b 1 z 1 = 4 z 1. Substtuant 4 z 1 à z 1 dans l'équaton (I.4), l vent 4 z 1 + 7z 2 + 3z 3 + z 4 = = 3, (2) pus dvsant par 7, quand z est enter, 3 7 z z z 4 = 3 7 modulo 1. (3) Comme z et z 1 sont postfs, on en dédut que 3 7 z z z (4) Multplant par 7 cette négalté, on obtent 3 z 1 + 3z 3 + z 4 3, sot 3z 1 + 3z 3 + z 4 9. (5)

9 Soutrayant cette relaton de la contrante de capacté, l vent 7z 1 + 7z = 28, sot Réponse à la Queston 5. Il faut résoudre le problème z 1 + z 2 4. (6) Max 4z 1 + 5z 2 + 2z 3 ; 4z 1 + 7z 2 + 3z 3 19; z 1 + z 2 4. (7) z R 3 + Comme l'unque optmum du premer relâché contnu ne satsfat pas la dernère contrante, la valeur du problème change, et donc cette dernère contrante dot nécessarement être actve. Substtuant z 1 = 4 z 2, on obtent le problème équvalent (qu prend en compte la contrante 0 z 1 = 4 z 2 4) Max z 2,z z 2 + 2z 3 ; z 2 2; z 3 6; 3z 2 + 3z 3 3. (8) Le rato de z 3 est plus élevé. La soluton est donc z 2 = 0, z 3 = 1, et donc z 1 = 4. Cette soluton étant entère, est celle du problème (I.1). La valeur de (I.1) est donc = 18. Réponse à la Queston 6. La soluton du relâché contnu condut à brancher sur la valeur de la varable fractonnare z 2 = 3/7, en dstnguant les cas z 2 = 0 et z 2 1. Dans le premer cas la soluton du relâché contnu est z = (4, 0, 1) (valeur 18). Dans le second cas l faut résoudre Max 4z 1 + 5z 2 + 2z 3 ; z (4, 2, 6); z 2 1; 4z 1 + 7z 2 + 3z (9) z R 3 + Posant z 1 = z 1, z 2 = z 2 1, et z 3 = z 3, on se ramène au format usuel : Max z z 1 + 5z 2 + 2z 3; z (4, 1, 6); 4z 1 + 7z 2 + 3z (10) Ce problème a la soluton entère z = (3, 0, 0), sot z = (3, 1, 0), de valeur assocée 17. C'est donc la premère soluton qu est optmale. I.B : Formulaton alternatve pour le problème de la p médane Réponse à la Queston 7. Comme z 1 = 1 s tous les entrepôts à dstance D 1 sont fermés, la relaton (I.12) est satsfate. Réponse à la Queston 8. S z k = 0, alors (I.13) est toujours satsfate, snon cela veut dre que tous les entrpôts à dstance strctement nféreure à D k sont fermés. Alors z k = 1 ss tous les entrepôts à dstance D k sont fermés, d'où (I.13). Réponse à la Queston 9. La relaton (I.15) tradut l'alternatve sot un entrepôt à dstance D 1 exste, sot z 1 = 0 qu dént z1. De même pour (I.16). Réponse à la Queston 10. Les r j sont des varables bnares, dont la somme sur {j J; d j = D 1} vaut 1 ss z 1 vaut 0, d'où (I.17), et dont la somme sur {j J; d j = D k } vaut 1 ss zk = 1 (pas d'entrepôts plus proches) et z k = 0 (l y a un entrepôt à dstance D k ), d'où (I.18). On a alors j J x j = 1 z K = 1, d'où (I.9), et (I.10) se dédut de (I.18). Réponse à la Queston 11. Notons δ la dstance du clent à l'entrepôt ouvert le plus proche. Alors z k = 1 ss k < D δ, et donc F (z) := I Dδ. De plus Dδ = j J d jx j pour tout, d'où la concluson. Réponse à la Queston 12. Les ponts admssbles des deux formulatons se correspondent et les crtères ont une valeur dentques, d'où la concluson. 9

10 Réponse à la Queston 13. Dans le cas où les K sont petts par rapport à M, la formulaton en (y, z) permet une réducton mportante du nombre de varables et de contrantes, ce qu permet une accélératon de la résoluton numérque. Plus précsément, la formulaton en (y, z) a M(N + 1) varables et N(M +1)+1 contrantes. Posons K = K 1 + +K N. La formulaton en (y, z) a N +K varables et 1+N +K contrantes. Dans le pre cas, K = MN et on ne gagne ren, et dans le meller cas K = 2 pour tout, donc K = 2N et on gagne donc un facteur M. Les résultats de ce problème sont trés d'un artcle de S. Elloum, Alternatve Formulaton for the p-medan Problem", prépublé sur OptmzatonOnlne. Corrgé de la Parte II II.A : Approche SDP du colorage de graphe Réponse à la Queston 1. Les nombres chromatques, avec des coloratons optmales, sont donnés c-dessous : G 1 G 2 G 3 G 4 G Justons les valeurs de χ : pour un graphe complet à n sommets, le nombre chromatque vaut n. Ans, χ(g 1 ) = 2 et χ(g 2 ) = 3. Comme G 1 est un sous-graphe de G 3, on a χ(g 3 ) χ(g 1 ) = 2. Mas G 3 admet la 2-coloraton exhbée sur le graphe, donc χ(g 3 ) = 2. Comme G 2 est un sous graphe de G 4, on montre de même que χ(g 4 ) = 3. Enn, on note qu'un cycle ne peut admettre de 2-coloraton que s'l est de longueur pare. On a donc χ(g 5 ) = 3. Réponse à la Queston 2. L'ensemble V représente l'ensemble des couleurs potentelles. On pose y k = 1 s la couleur k V est eectvement utlsée, et y k = 0. On pose ensute x k = 1 s le sommet est coloré dans la couleur k, et x k = 0 snon. La premère contrante exprme que tout sommet est coloré, la seconde que deux sommets et j adjacents n'ont pas la même couleur, la dernère l'utlsaton de la couleur k. Le crtère compte le nombre de couleurs eectvement utlsées. Comme le graphe peut toujours être coloré avec V couleurs, l est lcte d'avor utlsé V comme ensemble de couleurs potentelles. La valeur du PLNE est donc égale au nombre chromatque. Observons que x k = y k = 1/ V fournt une soluton admssble du relâché contnu, de valeur 1. La valeur du relâché contnu est donc nféreure à un (elle est en fat égale à un, mas cela n'état pas demandé). La borne obtenue par relaxaton contnue est donc sans ntérêt : elle montre qu'l faut au mons une couleur pour colorer un graphe. Réponse à la Queston 3. S l'négalté est vérée, on a 0 u u k 2 = u 2 + j u u j k + k(k 1)λ, et donc 1 k 1 λ. Réponse à la Queston 4. Supposons u 1,..., u l tous dstncts. S u u j, avec 1, j l, on a nécessarement u u j < 1 (le produt scalare de deux vecteurs untares dstncts est strctement nféreur à 1), et donc u u j = /(k 1). En applquant le résultat de la queston 3 à u 1,..., u l et λ = /(k 1), l vent : 1 l 1 1 k 1, et donc l k. 10

11 Réponse à la Queston 5. Sot M M k. Comme M 0, on peut écrre M = UU T où U est une matrce réelle n n. Sot u la -ème lgne de M. On a M j = u u j. En partculer, M = 1 = u 2, ce qu montre que u est untare. Comme M j {/(k 1), 1}, d'après la Queston 4, l y a au plus k vecteurs dstncts parm u 1,..., u n. Comme M j = u u j = /(k 1) pour {, j} E, on a u u pour {, j} E, et donc u est une coloraton du graphe avec au plus k couleurs. Réponse à la Queston 6. On a A = (1 + 1/(k 1))I J/(k 1), où J = ee T, en notant e le vecteur unté (de sorte que J est la matrce dont tous les coecents valent 1). Notons encore J l'applcaton x Jx. On a ker J = e, et m J = Re, avec J(e) = ke. La matrce J a donc 0 pour valeur propre de multplcté k 1, et k pour valeur propre de multplcté 1. Il s'ensut que A = (1 + 1/(k 1))I J/(k 1) a 1 + 1/(k 1) pour valeur propre de multplcté k 1, et 1 + 1/(k 1) k/(k 1) = 0 pour valeur propre de multplcté 1. La matrce A, qu est symétrque, est donc postve non-déne. Sot v 1,..., v k une base orthonomale dans laquelle A dagonalse, et notons λ la valeur propre assocée à v. L'une des valeurs propres de A est nulle, dsons λ k = 0. Il vent A = 1 k λ v (v ) T = 1 k λ v (v ) T. En notant U la matrce de talle k (k 1) ayant λ v pour -ème colonne, l vent A = UU T. Réponse à la Queston 7. Supposons tout d'abord que n = k 1. Sot A = UU T, avec U de talle k (k 1). Prenons pour u la -ème lgne de la matrce U. Il vent : u u j = A j, donc u u j = /(k 1) pour j, et u u = 1 (u est untare). S n > k 1, l sut de compléter les vecteurs u 1,..., u k de dmenson k 1 par des 0 pour obtenr des vecteurs de dmenson n, qu ont mêmes produts scalares. Réponse à la Queston 8. Le résultat de la queston 5 montre que s'l exste M M k, alors, le nombre chromatque de G est au plus k, la valeur du problème d'optmsaton consdéré majore donc le nombre chromatque. Récproquement, supposons qu'l exste une coloraton de G avec k couleurs. Comme E est nonvde, on a forcément k 2. D'autre part, k V = n, et a fortor, n k. D'après la queston 7, l exste des vecteurs untares u 1,..., u k tels que u u j = /(k 1) pour j. Cette dernère condton mplque que ces vecteurs sont tous dstncts. On peut donc les utlser pour colorer le graphe, sot donc φ : V {u 1,..., u k } une coloraton. La matrce M telle que M j := φ() φ(j) vére M j {/(k 1), 1} pour tous, j, M = 1 pour tout, et comme φ est une coloraton, on a M j = /(k 1) pour {, j} E. Rappelons enn qu'une matrce M du type M j = φ() φ(j), c'est à dre une matrce Grammenne, est toujours postve (en eet, on a M = UU T, où U est la matrce de lgne égale à φ(), et donc x T Mx = U T x 2 0). on a donc ben M 0. Ans, M k. La valeur de ce problème d'optmsaton consdéré mnore donc le nombre chromatque de G. Réponse à la Queston 9. Il sut de fare le changement de varable crossant λ = /(k 1), de sorte que k = 1 1/λ, et de relâcher les contrantes M j {/(k 1), 1}, pour, j E en M j [λ, 1], dans le problème précédent. Pour vor qu'l s'agt d'un problème SDP, ramenons-nous par exemple à un SDP par blocs sous forme standard. Pour {, j} E, les contrantes d'ntervalles M j [λ, 1] peuvent s'écrre λ M j 1, sot en ntrodusant des varables d'écart µ + j 0, µ j 0, λ + µ j = M j = 1 µ + j. On a donc un SDP par blocs, dans laquelle la varable matrcelle X est la matrce bloc dagonale ayant un bloc de talle n n représentant la matrce M, et 2 E + 1 blocs de dmenson 1, correspondant d'une 11

12 part à chacune des varables µ ±,j, pour {, j} E et d'autre part à la varable λ. L'ensemble des contrantes négaltés peuvent s'écrre X 0. Les autres contrantes du problème s'écrvent comme des égaltés anes en foncton de la varable matrcelle X, et le crtère est ben une foncton lnéare de X, ce qu conclut la preuve. II.B : Planfcaton à court terme d'untés de producton électrque Réponse à la Queston 10. La seule contrante couplante entre les centrales état la contrante de demande, que l'on a dualsé. Le Lagrangen s'écrt donc sous la forme : T I L(u, q; λ) = λ t D t + L (u, g ; λ), où T L (u, g ; λ) = (C (g) t + S (x t, u t ) λ t g) t ne dépend pas des varables de décson u j, g j pour j. Le calcul de la foncton duale se décompose donc en I sous-problèmes de mnmsaton. Réponse à la Queston 11. Pour 0 s T 1, et pour un état ntal y {0, 1}, posons T J s (y) = nf (C (g) t + S (x t, u t ) λ t g) t, u,g t=s l'nmum étant prs sur tous les vecteurs booleens u = (us,..., ut ) et sur tous vecteurs réels g = (gs,..., gt ) satsfasant (II.6) et (II.7), pour des x t obéssant toujours à (II.5), avec xs = y. On a J s (1) = mn g h g, v {0,1} (C (h) + S (1, v) λ s h + J s+1 (v)) (1) et J s (0) = mn S (0, v) + J s+1 (v) v {0,1} (s la centrale est étente à l'nstant s, le seul nveau de producton possble est g s = 0). On ntalse les calculs par J T (y) = 0, pour y = 0, 1, et l'on calcule successvement J T,..., J 0 à l'ade de ces relatons. S l'état à l'nstant s est x s = 1, on obtent un nveau de producton optmal gs et une décson de marche/arrêt optmale u s en chosssant respectvement le réel h et le booleen v qu réalsent le mnmum dans (1). L'expresson à mnmser étant ane en h, le mnmum est attent en h {g, g }. S x s = 0, on a déjà observé que gs = 0 est la seule décson admssble. Cec montre que le mnmum de la foncton q est attent pour un (u, g ) tels que g s {0, g, g }, pour tout 0 s T 1. Réponse à la Queston 12. La méthode de programmaton dynamque fournt des vecteurs u et g, = 1,..., I mnmsant la foncton q(λ). Un sur-gradent de la foncton duale au pont λ est un vecteur z = (z t ) 0 t T, l s'obtent en évaluant le second membre des contrantes en ces u, g, sot : I z t = D t g t. Il reste à mettre en uvre un algorthme d'optmsaton non-dérentable, par exemple l'algorthme de sur-gradent décrt dans le polycopé, pour maxmser la foncton q. Un pas de sur-gradent est de la forme λ k+1 = max(λ k + α k z t / z t, 0), 12

13 la sute α k > 0 tendant vers 0 et vérant k α k = +. Cette méthode est un exemple de décomposton par les prx : le multplcateur (prx de l'énerge) λ étant xé, on optmse ndépendamment au nveau de chaque centrale (calcul de q (λ)), pus on ajuste le multplcateur λ par un pas de sur-gradent (cherchant à satsfare la contrante de demande). Réponse à la Queston 13. D'après la proprété bang-bang, on peut écrre q(λ) comme le mnmum d'un nombre n de termes : ) I T I q(λ) = mn C w + λ (D t t g,w t w 1 W 1,...,w I W. (2) I En ntrodusant une varable auxlare γ R, on peut écrre le problème dual sous la forme : Max γ ; γ R, λ 0, w 1 W 1,..., w I W I, γ I T C w + λ (D t t ) I g,w t Comme l n'y a qu'un nombre n de contrantes, anes en (γ, λ), et que le crtère est lnéare en (γ, λ), l s'agt ben d'un programme lnéare. Notons que ce PL admet un pont admssble (prendre λ quelconque, et γ = q(λ)). Il a donc même valeur que son problème dual (lequel est donc le bdual du problème ntal). Le fat que le dual du problème dual (II.10) s'écrt sous la forme (II.11) est précsément le théorème de Georon déjà corrgé dans le recuel d'exercces. On notera qu'un vecteur p tel que pour tout, l exste un unque w tel que p w = 1 correspond à une soluton admssble du problème prmal, obtenue en applquant les décsons prescrtes par w, pour = 1,..., I. Réponse à la Queston 14. En ntrodusant des varables d'écart η t 0, t = 0,..., T 1, de sorte que I t {0,..., T 1}, p w gw t = D t + η t (3) w W le PL (II.11) s'écrre sous forme standard, avec I + T contrantes égaltés, dont T ssues de (3), et I ssues de {1,..., I}, p w = 1 (4) w W Notons que la valeur du (II.11) est ne (l'ensemble admssble est borné non-vde), l'optmum est donc attent par une soluton basque p laquelle a au plus I +T coordonnées non-nulles. D'après (4), pour tout {1,..., I}, l y a au mons une valeur w W telle que p w > 0. Il ne reste donc qu'au plus T coordonnées supplémentares de p non-nulles. On en dédut qu'l ne peut y avor plus de T valeurs de pour lesquelles {w W p w > 0} at au mons deux éléments. Il exste donc au mons I T valeurs de pour lesquelles on a un unque w W tel que p w = 1. Réponse à la Queston 15. Il sut de moder le vecteur p pour parvenr à un vecteur p tel que pour tout, l exste un unque w W tel que p w = 1 (ce qu fournt une soluton du problème prmal). D'après la queston précédente, cette proprété est déjà vérée par p, pour au mons I T valeurs de I. Il sut donc de chosr, pour chacune des valeurs restantes de (l y en a au plus T ), w W, et de poser p w = 0 s w w, et p w = 1. Les coûts de p et de p dérent d'une quantté qu peut être majorée par T max,w C w. S les centrales sont toutes dentques, on peut majorer chaque C w par un terme de la forme A + T B, avec A et B ndépendants de. La dérence entre le coût de p et celu de p est donc majorée par une foncton dépendant seulement de T (d'ordre de grandeur T 2 quand T ). 13

14 Comme p est enter, nous avons déjà remarqué que p correspond à une soluton admssble du prmal, en outre, le coût ce cette soluton coïncde avec le coût de p pour le bdual (II.11). On en dédut que la dérence entre la valeur du prmal et la valeur du bdual (II.11) par une foncton dépendant seulement de T. Comme on a déjà vu que la valeur du dual (II.10) et du bdual (II.11) coïncdent, cec montre que le saut de dualté (dérence entre la valeur du prmal et du dual) est majorée par une foncton ndépendante de I. On peut montrer en fat que le saut de dualté tend vers 0 en valeur relatve, quand I tend vers l'nn. Les résultats de ce problème sont trés d'un artcle de D.P. Bertsekas, G.S. Lauer, N.R. Sandell, et T.A. Posbergh, Optmal sort-term schedulng of large-scale power systems, IEEE Trans. Aut. Control, vol 28, n. 1,