Feuille d exercices de Théorie des Jeux. Alexandre Marino
|
|
- Jacques Ménard
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Feuille d exercices de Théorie des Jeux Alexandre Marino 1
2 1 Equilibre de Nash Exercice 1. Etudier les équilibres purs des jeux matriciels suivants : ( ) 2, 1 0, 0 1. Bach ou Stravinsky : 0, 0 1, 2 ( ) 2, 2 0, 0 2. Mozart ou Mahler : 0, 0 1, 1 ( ) 1, 1 0, 4 3. Le dilemme du prisonnier : 4, 0 3, 3 ( ) 3, 3 1, , 1 0, 0 ( ) 1, 1 1, 1 5. Matching pennies : 1, 1 1, 1 Exercice 2. Deux joueurs se disputent un objet. Chacun des joueurs i {1, 2} attribue une valeur v i > 0 à l objet. Le mécanisme de transaction suivant peut être appelé jeu d arrêt : Chaque joueur décide quand il concède l objet. En d autres termes : Le joueur J 1 (resp J 2 ) fixe une date t 1 N (resp t 2 N). Si t 1 < t 2 : J 1 concède l objet à J 2 à la date t 1. Si t 2 < t 1 : J 2 concède l objet à J 1 à la date t 2. Si ils arrêtent en même temps t 2 = t 1, ils reçoivent : v i 2 ( i = 1, 2). Avant l arrêt du jeu, chaque joueur perd une unité de valeur par unité de temps écoulée. Ecrire le jeu précédent sous forme stratégique et montrer que si (t 1, t 2 ) est un équilibre de Nash, alors t 1 = 0 ou t 2 = 0. Exercice 3. Un groupe de touristes passe ses vacances sur une station balnéaire dotée de deux plages A et B. Chaque touriste doit choisir de se rendre à A ou à B. On adopte les notations suivantes : N = {1,..., n} est l ensemble de joueurs (touristes). X i = {A, B} (x i = A si le joueur décide d aller à A). De plus, l utilité tirée par un joueur de sa présence en A (esp B) est une fonction décroissante du nombre a (resp b) de joueurs ayant choisi A (resp B). Cette utilité est représentée par la fonction f A (resp f B ). 1. Montrer l équivalence (a) (b) : (a) Il existe un équilibre de Nash où a joueurs choisissent A et b joueurs choisissent B, a + b = n. (b) f B (b + 1) f A (a ) et f A (a + 1) f B (b ), a + b = n 2
3 2. Vérifier que, pour qu un tel équilibre existe, il suffit d avoir : a + b = n, f A (a ) = f B (b ) 3. Etudier le ou les équilibres du cas suivant : n = 100, f A (a) = [max(100 a, 0)] 2, f B (b) = 5max(100 b, 0). Exercice 4. Calculer les équilibres des Nash en stratégies pures du jeu : G := (S 1, S 2, g 1, g 2 ) où S 1 = S 2 = R +, et pour tout couple (s 1, s 2 ) S 1 S 2 : g i (s 1, s 2 ) = max(0, s 2 i + 2α i s i s j + 2s i ) i, j = 1, 2 ; i j α 1 > 0 et α 2 > 0 étant des paramètres. (Indications : calculer la correspondance de meilleure réponse et chercher un point fixe). Exercice 5. Chasse au cerf et au lapin. Une société de chasseurs est composée de n menbres n 2. Chaque individu dispose d une unité de temps qu il répartit entre la chasse au cerf et la chasse au lapin. La chasse au cerf nécessite une coopération entre les chasseurs mais pas la chasse au lapin. La productivité de la chasse au cerf est a, celle de la chasse au lapin est b. Formellement, on considère le jeu suivant : N = {1,..., n}, X 1 = X 2 =... = X n = [0, 1]. La stratégie x i du joueur i est la portion de temps qu il consacre à la chasse au cerf, sa fonction de paiement est : g i (x 1,..., x n ) = a[ min h=1,...,n x h] + b(1 x i ) où a et b sont des paramètres > On suppose a < b. Déterminer les fonctions de meilleures réponse et les équilibres de Nash. 2. Même question en supposant a > b. Exercice 6. Deux marchands de glace proposent leur produits sur une plage. La densité des consommateurs le long de la plage est homogène et un consommateur préfère se rendre chez le marchand le plus proche. Où doivent se positionner les marchands? Formellement on représent la plage comme un intervalle [0, 1] et le nombre de consommateur comme la mesure de Lebesgue. On considère le jeu G = 3
4 (X, Y, U 1, U 2 ) où : X = Y = [0, 1] et (x, y) X Y : U 1 (x, y) = x + 1 (y x) si x < y 2 = 1 si x = y 2 = (1 y) + 1 (x y) si y < x 2 U 2 (x, y) = 1 U 1 (x, y) (x, y) X Y 1. Interpréter le modèle : stratégies, paiements. 2. Calculer la correspondance de meilleure réponse et les équilibres de Nash du jeu. Exercice 7. On considère deux firmes produisant un même bien homogène. Les firmes se font concurrence en quantités et prennent leur décision simultanément. Quand la quantité totale est Q := q 1 + q 2 (q i 0 étant la quantité produite par la firme i), le prix est donné par : p = f(q) = Q Chaque firme i {1, 2} a un coût total linéaire C i (q i ) = cq i où 0 < c < Ecrire les fonctions de paiement des deux firmes et le jeu sous forme stratégique ainsi défini. 2. Représenter graphiquement le paiement du joueur 1 en fonction de q 1, q 2 étant fixé. 3. Déterminer les correspondances (fonctions) de meilleures réponse. 4. Calculer le ( ou les ) équilibres de Nash du jeu ( stratégies pures). Discuter selon la valeur de c. Exercice 8. On considère un oligopole N = {1, 2,..., n}. Chaque joueur i N produit la quantité x i [O, [= X i au coût c i (x i ). Le prix s établit alors à p( n x i ) et le profit de chaque producteur i est : i=1 u i (x 1,..., x n ) = x i p( n x i ) c i (x i ) ; x i [0, [, i = 1,..., n i=1 1. On suppose que les conditions suivantes sont satisfaites : p(0) > 0, p est concave décroissante non constante. Montrer qu il existe s > 0, tel que p(s) = 0, p(y) < 0 pour y < s. 2. On suppose de plus que c est convexe croissante. Montrer alors que les fonctions x i u i (x i, x i ) sont concaves et que 4
5 l on peut réduire les espaces de stratégies à [0, s] = X i. En déduire que le jeu G = (X i, u i, i N) admet un équilibre de Nash. (c est l équilibre de Cournot de l oligopole). Exercice 9. Calcul des équilibres de Nash des jeux suivants : G = (X 1, X 2, g 1, g 2 ) où X 1 = X 2 = [0, 1]. { g1 (x 1. 1, x 2 ) = 5x 1 x 2 x 1 x g 2 (x 1, x 2 ) = 5x 1 x 2 3x 1 3x { g1 (x 1, x 2 ) = 4x 1 x 2 2x x 2 2 g 2 (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 1) 2 { g1 (x 1, x 2 ) = 4x 1 x 2 2x x 2 2 g 2 (x 1, x 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 Exercice 10. On considère le jeu G = (X i, u i, i N) où X i = {0, 1} pour tout i dans N. a 0 ( n x i ), si x i = 0 i=1 u i (x i, x i ) = a 1 ( n x i ), si x i = 1 i=1 où a o est croissante, a 1 décroissante, et {t entier a 0 (t) = a 1 (t)} est réduit à un singleton. L interprétation est la suivante : N est l ensemble de populations (voyageurs) d une ville qui ont le choix entre x i = 0 (prendre la voiture), x 1 = 1 (prendre le transport en commun). 1. Montrer qu il existe un équilibre de Nash (x 1,..., x n ). 2. Quelle est la population à l équilibre qui prend le transport en commun? Exercice 11. (Enchères) Une enchère est organisé pour la vente d un bien indivisible. Un commissaire priseur fixe un prix de reserve r > 0. Le mécanisme de l enchère est le suivant : Chaque enchérisseur (joueur) i {1,..., n} annonce sous pli cacheté un prix x i [r, [= X. Le bien est accordé à celui qui annonce le prix le plus élevé et plus généralement si S {1,..., n} est l ensemble des joueurs ayant annoncé le prix le plus élevé le bien revient à θ(s) où θ : P (N)\{ } S tel que θ(s) S. Si x = (x 1,..., x n ) est le vecteur des annonces, on notera w(x) le gagnant de l enchère et t(x) le montant du transfert de w(x) vers le commissaire priseur. 5
6 Le mécanisme est alors défini comme l application X n associe Π(x) = (w(x), t(x)) où : N R qui à x w(x) = θ({i x i = max j=1,...,n x j}), x X n On suppose que l enchérisseur i évalue le bien à a i si bien que sa fonction d utilité sur N R est définie par : { ai t si j = i u i (j, t) = 0 si j i Nous allons distinguer deux mécanismes qui différent par le prix payé par le gagnant de l enchère. 1. Enchères au premier prix. On suppose que le prix payé par le gagnant est le prix maximum annoncé. Ecrire le jeu (X 1,..., X n ; g 1,..., g n ) où X i = [r, [( i = 1,..., n) et déterminer l ensemble des stratégies non dominées de chaque joueur. 2. Enchères au second prix (Vickrey). Les règles sont les mêmes que dans le cas précédent sauf sur un point : le prix payé par le gagnant de l enchère w(x) est t(x) = min x j. Montrer que pour le joueur i une j w(x) stratégie dominante est x i = max(r, a i ). 6
7 2 Existence d un equilibre de Nash Rappel : Théorème de Kakutani Soit X un sous-ensemble convexe compact de R n et f : X X une correspondance telle que : Pour tout x X, l ensemble f(x) est non vide et convexe ; Le graphe de f est fermé.( i.e Soient x n, y n tels que y n f(x n ) pour tout n, x n x, et y n y alors y f(x)) Alors il existe x dans X, tel que x f(x). Exercice 12. Montrer que les hypothèses du théorème de Kakutani sont nécessaires. Exercice 13. (Jeu Symétrique) On considère un jeu symétrique, c est à dire un jeu à 2 joueurs : G := (S 1, S 2, g 1, g 2 ) où S 1 = S 2 = X. et g 1 (x 1, x 2 ) = g 2 (x 2, x 1 ) x 1, x 2 X On fait les hypothèses suivantes : X est un ensemble convexe compact non vide de R n g 1 est continue sur X X Pour tout x 2 X, x 1 g 1 (x 1, x 2 ) est concave, continue. Montrer qu il existe x X tel que ( x, x) est un équilibre de Nash du jeu G. Indications : Appliquer le théorème de Kakutani. 7
8 3 Jeux a deux joueurs à Somme nulle : équilibres purs Rappel de cours : Théorème : Soit G := ({1, 2}; A 1, A 2 ; u) un jeu à somme nulle. 1. Si (x, y ) est un équilibre de Nash de G alors x (resp y ) est une stratégie optimale pour le joueur 1 (resp joueur 2). 2. Si (x, y ) est un équilibre de Nash de G alors max x min y u(x, y) = min y max x u(x, y) = u(x, y ), et donc les équilibres de Nash engendre tous la même valeur, appelée valeur de G et notée v(g). 3. Si max x min y u(x, y) = min y max x u(x, y), x est une stratégie optimale pour le joueur 1, y est une stratégie optimale pour le joueur 2 alors (x, y ) est un équilibre de Nash de G. Remarque : Connaître les notions : Garantir, stratégies optimales Exercice 14. Soit A une matrice réelle à m lignes et n colonnes : A = (a i,j ) i=1,...,m;j=1,...,n. On considère le jeu à 2 joueurs suivant : Le joueur 1 choisit une ligne dans {1,..., m}, soit i. connaissant le choix de 1, le joueur 2 choisit une colonne dans {1,..., n}, soit j. Le paiement du joueur 1 est alors a i,j celui du joueur 2 est a i,j. Réduire ce jeu à la forme stratégique. Préciser notamment les ensembles de stratégies des joueurs. Montrer que le jeu a une valeur ; laquelle? Que se passe-t-il si on fait jouer le joueur 2 en premier? Exercice 15. Calculer le supinf, le infsup et déterminer si il y a lieu la valeur des jeux suivants : 1. S = T = R, g(s, t) = st 2. S = T = [ 1, 1], g(s, t) = st 3. S = T =] 1, 1[, g(s, t) = st 4. S = T = R, g(s, t) = s + t 5. S = T = [ 1, 1], g(s, t) = s + t 6. S = T =] 1, 1[, g(s, t) = s + t 7. S = T = R, g(s, t) = s t 8. S = T = [ 1, 1], g(s, t) = s t 9. S = T =] 1, 1[, g(s, t) = s t 8
9 Exercice 16. Montrer que l ensemble S des équilibres de Nash d un jeu à deux joueurs à somme nulle G = (X 1, X 2, g) vérifie la propriété suivante : (x 1, x 2 ) S, (y 1, y 2 ) S (x 1, y 2 ) S, (y 1, x 2 ) S En déduire que S s écrit sous la forme d un produit S = S 1 S 2. 9
10 4 Strategies mixtes Exercice 17. (x, y) est un EN du jeu matriciel A si et seulement si : i I : x i > 0 e i Ay = max e i i Ay I j J : y j > 0 xaf j = max xaj j j J Applications : ( ) 1 1 A := 1 1 Faire le graphe des meilleures réponses. Exercice 18. On considère le jeu bimatriciel : ( a1, a 2 b 1, b 2 ) c 1, c 2 d 1, d 2 1. Supposons que (1, q) (q ]0, 1[) est un équilibre de Nash. Vérifier que nécessairement a 2 = b 2 et que (1, 1) ou (1, 0) est un équilibre de Nash. 2. Supposons qu il existe un équilibre de Nash sur la frontière du carré [0, 1] [0, 1]. Montrer qu il existe un équilibre de Nash pur. 3. En déduire que si le jeu n admet pas d équilibre pur alors il a un équilibre unique qui est complètement mixte. Calculer les équilibres de Nash des jeux : ( 2, 3 0, 0 0, 0 3, 2 ), ( 1, 1 1, 0 2, 1 0, 3 ), ( 1, 1 0, 1 0, x 1, y Exercice 19. Montrer que dans tout équilibre de Nash, une action pure strictement dominée ( par une action mixte) a un poids nul. En déduire les équilibres de Nash du jeu bimatriciel : 3, 0 0, 5 4, 2 0, 5 3, 0 4, 2 1, 3 1, 3 1, 5 Exercice 20. Calculer la valeur (mixte) du jeu matriciels : a 0 a a n 1 a n 1 a 0 a 1... a n 2 a n 2 a n 1 a 0... a 1. a 1 a 2 a 3... a 0 10 )
11 On pourra remarquer l existence d un x (avec i x i = 1) tel que Ax = λj, où J est le vecteur colonne contenant des 1. Exercice 21. On considère l espace M(m, n) des matrices réelles à m lignes et n colonnes. On note v(m) la valeur du jeu matriciel M. Avec = max i,j m i,j, montrer que pour tous A M(m, n) et B M(m, n) on a : v(a) v(b) A B En déduire que v est continue sur M(m, n). Exercice 22. Soit A une matrice carrée antisymétrique représentant un jeu matriciel à somme nulle. Montrer que x n, t xax = 0 En déduire que si (x, y) est un EN, alors : t xay = 0, Ax 0, Ay = 0 Exercice 23. Soit A une matrice réelle antisymétrique d ordre n (i.e. a ij = a ji ) et soit I la matrice identité d ordre n. 1. Montrer que la valeur du jeu matriciel A + 1 est strictement positive (raisonner par l absurde). 2. En déduire qu il existe un vecteur x R n + tel que (A+I)x >> 0 (toutes les composantes sont strictement positives). 11
CHAPITRE 5. Stratégies Mixtes
CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailThéorèmes de Point Fixe et Applications 1
Théorèmes de Point Fixe et Applications 1 Victor Ginsburgh Université Libre de Bruxelles et CORE, Louvain-la-Neuve Janvier 1999 Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailEconomie de l Incertain et des Incitations
Economie de l Incertain et des Incitations CHAPITRE 2 Eléments de théorie des jeux en information symétrique et asymétrique Equilibres Bayesiens - Université de Tours - M1 AGE - Arnold Chassagnon - Automne
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSimulation centrée individus
Simulation centrée individus Théorie des jeux Bruno BEAUFILS Université de Lille Année 4/5 Ce document est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailJoueur B Pierre Feuille Ciseaux Pierre (0,0) (-1,1) (1,-1) Feuille (1,-1) (0,0) (-1,1) Ciseaux (-1,1) (1,-1) (0.0)
CORRECTION D EXAMEN CONTROLE CONTINU n 1 Question de cours Question 1 : Les équilibres de Cournot et de Stackelberg sont des équilibres de situation de duopole sur un marché non coopératif d un bien homogène.
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailLes équations différentielles
Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailJeux sous forme extensive (Jeux dynamiques)
(Jeux dynamiques) Plan du chapitre ( juillet 008) / éfinitions, exemples et équivalences Arbres de jeux, information et mémoire tratégies et réduction en forme normale Équilibre de Nash parfait en sous-jeux
Plus en détailFeuille 1 : représentation d interactions stratégiques, connaissance commune
Université Paris-Dauphine, Departement MIDO. Théorie des jeux, L3, 2009/2010. Feuille 1 : représentation d interactions stratégiques, connaissance commune Exercice 1 ( Il y a deux joueurs. A la période
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailDeuxième partie es jeux non-coopératifs avec information complète 3. É quilibre de Nash (1951) 4. D ynamique et rétroduction 5.
Deuxième partie Les jeux non-coopératifs avec information complète 3. Équilibre de Nash (1951) 35 4. Dynamique et rétroduction 61 5. Jeux répétés 85 3. Équilibre de Nash (1951) John Nash a généralisé
Plus en détailThéorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / Modélisation
IFIPS S7 - informatique Université Paris-Sud 11 1er semestre 2009/2010 Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / 1 Forêts et arbres II Théorème 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain
Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailCommunications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes
Loris MARCHAL Laboratoire de l Informatique du Parallélisme Équipe Graal Communications collectives et ordonnancement en régime permanent pour plates-formes hétérogènes Thèse réalisée sous la direction
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES. EXEMPLE DE SUJET n 2
Exemple de sujet n 2 Page 1/7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES EXEMPLE DE SUJET n 2 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailLagrange, où λ 1 est pour la contrainte sur µ p ).
Chapitre 1 Exercice 1 : Portefeuilles financiers Considérons trois types d actions qui sont négociées à la bourse et dont les rentabilités r 1, r 2 et r 3 sont des variables aléatoires d espérances µ i
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailPrudence, Epargne et Risques de Soins de Santé Christophe Courbage
Prudence, Epargne et Rique de Soin de Santé Chritophe Courbage ASSOCIATION DE GENÈVE Introduction Le compte d épargne anté (MSA), une nouvelle forme d intrument pour couvrir le dépene de anté en ca de
Plus en détailModèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques
Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailProcessus aléatoires avec application en finance
Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailChapitre 5. Équilibre concurrentiel et bien-être
Chapitre 5 Équilibre concurrentiel et bien-être Microéconomie III 5 1 5.1 Qu est-ce qu un équilibre souhaitable socialement? E cacité versus équité Que nous permet de dire la science économique sur l e
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailConcurrence imparfaite
Concurrence imparfaite 1. Le monopole 2. Concurrence monopolistique 3. Hotelling et Salop 4. Concurrence à la Cournot 5. Concurrence à la Bertrand 6. Concurrence à la Stackelberg Monopole Un monopole,
Plus en détailFIMA, 7 juillet 2005
F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détail3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailOrganisation Industrielle
Organisation Industrielle Chapitre 1 : Introduction Master 1 Université Lyon 2 Laurent Granier - Année 2011/2012 - Définition de l économie industrielle «Etude de la structure des entreprises et des marchés,
Plus en détailSujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours
Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détail