Initiation aux Tenseurs. Scalaires, vecteurs et autres sous transformation

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1 1 Perre Amot, 2012 Département de Physque, de Géne physque et d Optque, Unversté Laval, Québec. Intaton aux Tenseurs Scalares, vecteurs et autres sous transformaton Note : Il est consellé de lre d abord le module sur les transformatons de coordonnées ou l équvalent. Il y a une table des matères en page Nomenclature et crtère tensorel La notaton tensorelle est une nomenclature,.e. une façon systématque d appeler les varables et champs d ntérêt physque et mathématque. La notaton tensorelle permet de fare smplement des opératons sur nos équatons de physque mathématque qu autrement seraent beaucoup plus lourdes. Cette notaton n est pas dffcle à apprendre, mas exge qu on apprenne certans termes et concepts. Les tenseurs étudés c sont les varables et champs qu notent et mesurent les proprétés et caractérstques de phénomènes physques, mathématques, chmques, d ngénere comme la poston d un objet, sa vtesse, sa largeur un champ électrque ou magnétque..., la presson d un flude, l énerge, la force agssant sur un objet Nous sommes habtués à une nomenclature où ces quanttés sont appelées scalare, vecteur, dyadque Dans un espace à N dmensons, un scalare a une ou N 0 composante, un vecteur en a N ou N 1, un dyadque en a N 2, etc. Nous verrons que le classement des quanttés en tant que tenseurs sera plus restrctf, mas plus précs. Le tenseur d ordre zéro est un (vra) scalare et a une seule composante, mas ce n est pas suffsant d avor une seule composante,.e. d être un nombre solé pour être un tenseur d ordre zéro. Un tenseur d ordre un est un (vra) vecteur et a N composantes, mas ce n est pas suffsant d avor N composantes pour être un tenseur d ordre N, etc. Un exemple évdent est que la composante d un vecteur n est pas un scalare, ce que certans pensent, mas

2 2 elle est la composante d un vecteur et cela fera toute la dfférence. Imagnez par exemple un segment de drote qu a une longueur et une orentaton mesurée p/r à un système d axes. S vous fates tourner le système d axes, l orentaton du segment de drote n est plus la même mesurée p/r au nouveau système, mas la longueur du segment n a pas changé. Il s agt donc de deux types dfférents de quantté. Le crtère de sélecton pour le classement tensorel est le comportement des quanttés lorsque nous opérons une transformaton affectant les coordonnées qu supportent notre espace, générant une transformaton des composantes des champs représentant nos quanttés physques. Un exemple smple de transformaton est une transformaton de système de coordonnées, par exemple d un système cartésen à un système sphérque. Un autre exemple peut être une rotaton d un système cartésen. Il y a un nombre nfn de transformatons possbles. D une façon générale, nous noterons ces coordonnées x, l ndce étant placé en poston supéreure par pure conventon (pour l nstant), mas une fos cette conventon acceptée, on dot la respecter, parce qu en général, x x, comme nous le verrons. De façon générale, une transformaton affectant les coordonnées sgnfe que nous passerons d un ensemble (ancen) {x =1, 2, 3, N} à un ensemble (nouveau) {x =1, 2, 3, N}. Chaque ensemble compte N nombres, les coordonnées d un même pont. Ce pont peut être strctement le même, par exemple lors d une transformaton dte des coordonnées (cartésennes vers sphérques, par exemple), ou peut résulter d une translaton, d une rotaton, ou auquel cas l y a déplacement où chaque nouveau pont provdent d un seul ancen pont et on peut dre qu l s agt du même pont, ce qu est vra de tout ce qu est transporté avec la transformaton, pour tout somorphsme. Nous drons alors qu l s agt du même pont, qu l y at déplacement ou non. Il exste une lste pratquement nfne d autres transformatons, comme les rotatons d axes de référence, les contractons de ces axes, leur nverson, 2. Transformaton et matrce de Jacob Notaton : Certans auteurs prment les coordonnées et écrvent x, alors que d autres, comme nous fasons c, prment l ndce et écrvent x. Un exemple serat la transformaton des coordonnées de cartésens à sphérques Dans ce cas, s les ancennes coordonnées sont cartésennes, alors les tros coordonnées de la poston d un objet ponctuel seraent x 1 = x

3 3 x 2 = y x 3 = z et s les nouvelles coordonnées,.e. résultant de la transformaton, sont les coordonnées sphérques du même pont, alors nous écrrons x 1 = r x 2 = θ x 3 = ϕ z P r y " x Les {x =1, 2, 3, N}, c {x, y, z} sont les ancennes coordonnées et les {x =1, 2, 3, N}, c { r,," } sont les nouvelles coordonnées du même pont P. Pusque c N = 3, tros coordonnées sont nécessares et suffsantes pour défnr ce pont, l s ensut que seules N de ces coordonnées sont ndépendantes, alors que les N autres ne seront pas lnéarement ndépendantes des N premères. D un autre côté, les deux ensembles de N coordonnées désgnent le même pont. Il dot donc, physquement et géométrquement exster

4 4 des relatons entre N coord. ndépendantes et N coord. dépendantes. S nous chosssons les ancennes comme ndépendantes, alors ces relatons s écrvent comme donnant les nouvelles en foncton des ancennes,.e. x = x (x ),, = 1, 2, 3, N Pusque le pont exste, ndépendamment du chox de coordonnées, ces relatons dovent être réversbles,.e. les relatons nverses dovent exster x = x (x ) On dt des premères relatons qu elles défnssent la transformaton de coordonnées et les deuxèmes défnssent la transformaton nverse. L exstence de cet nverse mplque que la matrce de Jacob de la transformaton est non sngulère. Nous noterons A cette matrce dont les éléments sont défns en utlsant les N relatons défnssant la transformaton A j = "x "x j 2.1. Notaton concernant la matrce de Jacob (seulement) 1. Ic, l ndce supéreur, appelé ndce contravarant, sera par conventon utlsé comme ndce de lgne de la matrce, alors que l ndce nféreur, appelé ndce covarant est l ndce de colonne 2. L algèbre des ndces est smlare à l algèbre des fractons composées a ad bc d cb = exactement comme dans les fractons composées = Ces règles sont très smples et connues. Ce sont celles des fractons composées. À gauche, a est au numérateur (haut) du numérateur, alors que b est au dénomnateur (bas) du même numérateur, alors que c est au numérateur du dénomnateur et d est au dénomnateur du dénomnateur. Plaçant tout cela au même nveau nous donne ad sur bc. On vot que, replacés sur une même lgne, d qu état au bas du bas monte au haut, alors que c qu état au haut du bas reste au bas, alors que b qu état au bas du haut s en va au bas, et que a qu état au haut du haut reste au haut. Ans, on vot que l utlsaton des mêmes règles pour fxer la poston

5 5 des ndces sur A permet d dentfer que état comme a et reste donc en haut, alors que état comme c et reste donc au bas. De façon smlare, nous avons A j = x x j Toujours de la même façon, nous avons auss A = x x Il est mportant de réalser que A A Afn de détermner la dfférence entre ces deux quanttés, débutons avec l expresson de la transformaton x = x (x j ) dont nous calculons la dfférentelle N x dx = dx j " = " A x j j dx j j =1 N j =1 Nous calculons mantenant la dfférentelle de l expresson pour la transformaton nverse x j = x j ( x j ) x j = x j x j N ( ) dx = " Remplaçant la deuxème dans la premère donne dx = N N j =1 j =1 A j A j j dx j j =1 x j N dx j = " A x j j La double somme à drote fat ntervenr tous les dx j, pour j = 1,2,3 N. Mas cette somme ne dot donner qu une seule de ces dfférentelles, parce que nous savons, à gauche, que la somme sur j DOIT se lmter au seul terme correspondant à j = qu est fxé à gauche. La j =1 j dx j seule façon pour que la somme sur j se lmte au seul terme j = est que N A j A j j = " j j =1 = delta de Kronecker, où j = 1 s = j et = 0 s " j (même conventon d ndce c que la matrce A ). De cette façon, nous fermons la boucle, pusqu alors nous garantssons que dx j = dx j. Vu de façon matrcelle, le δ est un élément de la matrce unté. Le produt entre les matrces A c-dessus est donc un produt d une matrce par son nverse, la somme sur j portant sur les colonnes du A de gauche et sur les ndces de lgne du A de drote. C est donc ben un produt

6 6 matrcel qu donne c la matrce unté. Il s agt donc du produt d une matrce par son nverse. On conclut donc que A j est un élément de la matrce de transformaton et j A j est un élément de la matrce nverse. Le produt de la matrce de Jacob par son nverse donne donc la matrce unté, donc l nverse exste, donc la transformaton n est pas (ne peut pas être) sngulère. Pusque nous parlons de notaton et que nous opérons des dérvées (partelles ordnares), dsons qu l exste pluseurs façons de noter cette opératon de dérvée (partelle) V j x k " kv j " V j,k où on note le respect de notre algèbre des ndces. De la même façon, nous aurons V j x k " k V j = V j,k Ces notatons allègent les équatons, tout en restant très clares Nomenclature 101, la valence, co et contra Il est clar que le postonnement des ndces n est pas arbtrare, une fos qu on a accepté la conventon que les coordonnées (et vecteurs) ordnares (entendons physques) sont notées avec un ndce supéreur, ce que nous fasons c. On donne à l ndce supéreur le nom d ndce contravarant et à l ndce nféreur le nom d ndce covarant. On a vu c-dessus que la somme portat sur des termes dentfés par un ndce j répété, une fos covarant (dans le facteur de gauche) et une fos contravarant (dans le facteur de drote). Il en sera toujours de même,.e. un ndce répété covarant-contravarant dans un même terme sera toujours sommé. En fat, un ndce ne sera pas sommé s l apparaît deux fos covarant ou deux fos contravarant dans le même terme. À cause de cette conventon systématque, nous lassons tomber le symbole de somme et nous écrrons smplement A j j A j N " A j j A j j =1 Cela permet d alléger la notaton consdérablement. C est la conventon d Ensten, c systématsée, la vértable conventon d Ensten.

7 Deux exemples Dans le développement qu sut, nous ferons systématquement appel à deux exemples de transformaton pour llustrer les quanttés, les concepts et la nomenclature. Le premer exemple sera la transformaton des coordonnées d un pont P dans un espace euclden E 3, passant des coordonnées cartésennes aux coordonnées sphérques du même pont. Le deuxème exemple est celu d une rotaton d un angle α du plan xoy par rapport à un axe Oz. Ic, nous lmterons parfos l espace est à 2 dmensons pour smplfer l algèbre. Voyons ces deux exemples Cartésen à sphérque Dans le premer exemple, la transformaton ne déplace pas les ponts de l espace, elle les défnt dfféremment par x = { x, y,z = 1,2, 3}, x = r,," = 1,2, 3 { } selon les transformatons (nverses) clarement non lnéares x = r sn cos" # x 1 = x 1 sn x 2 cos x 3 y = r sn sn" # x 2 = x 1 sn x 2 sn x 3 z = r cos # x 3 = x 1 cos x 2 Nous savons que ces transformatons se renversent, pusque chacun des deux systèmes de coordonnées est parfatement capable de défnr tout pont de l espace, où r = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = cos ( "1 z / ( x 2 + y 2 + z 2 ) ) 1/2 ( ) # = tg "1 y / x consttuent les équatons de la transformaton, également non lnéare, qu nous fat passer des cartésens aux sphérques. Le premer outl dont nous avons beson, c est l ensemble des coeffcents A j matrce de Jacob de la transformaton Ans alors que A 1 1 A 2 1 = x1 x " r 1 x = x x 2 + y 2 + z 2 = r y = y x 2 + y 2 + z 2 ( ) 1/2 ( ) 1/2, A 3 1 = r z = z x 2 + y 2 + z 2 ( ) 1/2 de la

8 8 On calcule auss A 1 1 A 2 1 A 1 2 A 2 2 A 3 2 A 1 3 A y 3 A 3 3 = x1 x " r 1 x = x x 2 + y 2 + z 2 = r y = y x 2 + y 2 + z 2 ( ) 1/2 ( ) 1/2, A 3 = # x = xz x 2 + y 2 % x 2 + y 2 + z 2 = # y = yz x 2 + y 2 % x 2 + y 2 + z 2 = # z = ( x 2 + y 2 % x 2 + y 2 + z 2 = ) x = ( y x x 2 + y 2 ( ) = ) y = 1 x 2 + y 2 = ) z = 0 ( ) 1 = r z = z x 2 + y 2 + z 2 (Vous n aurez plus jamas à les calculer de votre ve ). ( ) 1/2 Toutes ces quanttés ont deux ndces et peuvent donc s écrre comme des matrces. Ic, nous utlsons la conventon habtuelle où l ndce contravarant (supéreur) est l ndce de lgne et l ndce covarant (nféreur) est l ndce de colonne. On peut auss calculer la matrce de Jacob de la transformaton nverse A = x x Explctement A = x x A 1 1 = x1 = x = sn" cos# x 1 r A 1 2 = x = r cos" sn# "... A 3 3 = z # = 0 Par produt matrcel ordnare, on vérfe drectement que

9 9 A j j A k = k qu est un élément de la matrce unté, ndquant que les deux matrces sont l nverse l une de l autre. Il est clar que ces calculs peuvent être fastdeux, mas ls ne sont pas technquement dffcles. Nous verrons plus lon des utlsatons plus utles de cette matrce de transformaton et de son nverse. Il faut auss noter qu une fos fat, le calcul n a pas à être refat, l est général Rotaton p/r à Oz dans le plan Oxy Le prochan exemple touche les coordonnées (x, y) dans le plan xoy du pont P et les coordonnées (x, y ) du même pont P dans le référentel Ox y obtenu du premer par une rotaton d un angle α selon Oz des axes Ox et Oy vers les axes Ox et Oy, tel que décrt sur la fgure c-dessous. Nous allons garder le pont fxe et fare tourner les axes (fare tourner le pont dans un système fxe est également possble) y y y P x y x x x Dans notre vocabulare tensorel, nous noterons les coordonnées du pont P

10 10 { } { } x = x, y = 1,2 x = x, y = 1,2 Le pont P étant unque, chacun des deux ensembles de coordonnées est suffsant pour le décrre et l n y a donc que deux coordonnées ndépendantes. Il dot donc être possble d écrre un ensemble en foncton de l autre, ce que la géométre nous ensegne à fare d alleurs et qu donne x = x cos + ysn " x 1 = x 1 cos + x 2 sn y = #xsn + ycos " x 2 = #x 1 sn + x 2 cos et la transformaton nverse x = xcos " ysn # x 1 = x 1 cos " x 2 sn y = xsn + ycos # x 2 = x 1 sn + x 2 cos Ces expressons nous donnent drectement les coeffcents A j et A j. Par exemple A 2 1 = x2 2 = sn", A x 1 1 La matrce d éléments A j # % cos "sn j alors que celle des A # % cos sn sn ( cos, est "sn ( cos = x2 = #sn", etc 1 x est smplement On constate faclement qu elles sont effectvement l nverse l une de l autre et que leur produt donne la matrce unté. Nous reprendrons ces quanttés plus tard pour développer les outls d ntérêt. 3. Tenseurs, défnton sous transformaton Nous allons mantenant défnr ce que nous appelons tenseurs. Le pont de départ est un espace X N sous-tendu par N coordonnées x = 1,2, 3...N { } qu sont les coordonnées d un pont P et nous opérerons une transformaton sur les coordonnées vers un nouvel ensemble { x = 1,2, 3...N}, va des équatons de transformaton x = x ( x )

11 11 alors que la transformaton nverse est défne par x = x ( x ) des équatons qu nous permettent de défnr la matrce de Jacob et son nverse. Il est très mportant de dre c que ces transformatons ne sont pas nécessarement lnéares. Nous sommes habtués à dre qu un scalare est un champ qu n a qu une ou N 0 composante, qu un vecteur a N composantes et notre tenseur d nerte en mécanque du solde a N 2 composantes (souvent écrt sous la forme d une matrce), on peut penser etc. Nous allons reformuler tout cela en dsant qu un tenseur d ordre n aura N n composantes. Par contre, l énoncé nverse ne sera pas vra. Il n est pas suffsant d avor N n composantes pour être un tenseur d ordre n Les champs et leurs transformatons Dans cet espace X N, nous défnrons généralement des champs, parfos scalares, parfos vectorels, parfos qu dépendent des coordonnées, donc qu sont susceptbles de changer de valeur d un pont à l autre. En scences naturelles, ces champs décrvent les quanttés physques d ntérêt, comme la presson, le champ électrque, la température, la densté de charge, Les transformatons de coordonnées vont ndure des transformatons des composantes de ces champs. Le plus smple de ces champs est le champ des coordonnées elles-mêmes qu donne la poston d un pont P dans notre espace. Nous avons prs l habtude (mauvase ) de l appeler vecteur poston. En fat nous avons prs l habtude d appeler systématquement vecteur tout champ qu a N composantes, alors que nous appelons scalare un champ qu n a qu une seule composante. Cette nomenclature smplste n est pas assez précse et la notaton tensorelle cherche à précser tout cela en donnant aux quanttés des proprétés plus systématques. Les transformatons sur les coordonnées dont l est queston c seront, dans un premer temps tout-à-fat générales, non lnéares comme dans la transformaton des coordonnées cartésennes vers les coordonnées sphérques, ou lnéares comme dans le cas de la rotaton p/r à un axe passant par l orgne. Nous allons exger que les composantes des tenseurs se transforment lnéarement entre elles va la matrce de Jacob. Seront tenseurs, les champs qu se transformeront (leurs composantes) de façon lnéare, même s la transformaton de coordonnées n est pas lnéare.

12 Le tenseur d ordre zéro ou (vra) scalare Ce que nous appellerons tenseur d ordre zéro a n = 0 et ce champ n aura qu une seule composante qu se transformera va la matrce de Jacob à la pussance zéro. Ans, le champ scalare vra S x ( ) devent S ( x ) où S ( x ) = S( x ) est nvarant sous la transformaton. La seule composante de ce champ ne change pas de valeur, comme par exemple la dstance entre deux ponts (s nous ne permettons pas les transformatons de contracton ou d extenson d espace) et cette valeur reste la même après une transformaton de coordonnées. La matrce de Jacob n apparaît pas ou on pourrat dre qu elle apparaît à la pussance zéro ( A ) 0 = 1 et écrre S ( x ) = 1x S( x ) ou S ( x ) = ( A ) 0 S( x ) Un tenseur d ordre zéro ou (vra) scalare n a qu une seule composante, mas l n est pas suffsant de n avor qu une seule composante pour être un vra scalare, comme nous l llustrerons plus lon avec le détermnant de certanes matrces, l dot être nvarant sous la transformaton Le tenseur d ordre un contravarant ou (vra) vecteur On pourrat penser que les coordonnées du pont, ou rayon vecteur consttuent les composantes d un tenseur d ordre un ou vecteur. Ces composantes seront c prses comme étant contravarantes, donc notées avec un ndce supéreur. Certanement, ce type de tenseur devra avor N composantes. Cependant, en général, la transformaton relant les ancennes coordonnées et les nouvelles ne sont pas lnéares (d ordre un) dans la matrce de Jacob (agssant une fos) donc x = A x n est pas vra en général, par exemple dans la transformaton des coordonnées cartésennes vers les sphérques, auquel cas, pour cette transformaton, le vecteur poston n est pas un tenseur du premer ordre. On vot en effet par exemple que x = rsn cos" = r # % 5... ( ) 1# " " 4 % 4... ( ) où on vot clarement que la relaton entre x et les varables sphérques est hautement non lnéare, en fat elle fera ntervenr les pussances de et de jusqu à la pussance nfne. Consdérons par contre la dfférentelle dx et sa contreparte transformée dx. Nous savons que notre équaton générale de transformaton s écrt x = x ( x )

13 13 Calculons par les règles habtuelles de somme, la dfférentelle dx = x dx " A x dx (l y a somme sur ) Cette transformaton est clarement lnéare entre les composantes dx et dx et fat apparaître la matrce de Jacob à la pussance un. Nous avons c un tenseur d ordre un d ndce supéreur ou contravarant de composantes dx. Nous avons donc qu en général, les x ne consttuent pas les composantes d un tenseur d ordre un (ne sont pas les composantes d un vra vecteur ), alors que les dx le sont. Chockng, comme draent les Anglas Cela peut sembler nsgnfant de dre que le rayon vecteur d un pont n est pas un vra vecteur, mas cela va changer. Dans un domane comme la mécanque classque, par exemple, où nous avons un paramètre ndépendant comme le temps t, qu reste nchangé par la transformaton des coordonnées, nous pouvons défnr une vtesse x = dx dt x = dx dt où, clarement l est facle de calculer les proprétés de transformaton x = dx dt = x dx x dt = A x ce qu ndque clarement que la vtesse est un tenseur d ordre un, comme la dfférentelle, et ces deux champs sont donc des tenseurs d ordre un, de vras vecteurs. Le champ donnant la poston d un pont, le fameux rayon vecteur n est pas toujours un vra vecteur (tenseur d ordre un), mas le champ de vtesse de ce pont est toujours un vecteur. Notez que les quanttés physques comme la force agssant sur un objet, sont de vras vecteurs (tenseurs d ordre un contravarants). En mécanque, le danger qu nous guette est l accélératon. Notons c que nous avons des tenseurs d ordre un qu ont un ndce contravarant (supéreur) dont la transformaton fat ntervenr la matrce de Jacob d éléments A. En résumé, un objet de composantes Y sera un tenseur contravarant du premer ordre (un vra vecteur) s, sous transformaton générale défnssant la matrce de Jacob, ses composantes se transforment comme Y = A Y

14 Le tenseur d ordre un covarant, une autre sorte de vecteur Ic, débutons avec un champ scalare, vértable tenseur d ordre zéro, le champ S x ( ). S nous calculons les dérvées de ce champ, habtuellement appelées composantes du gradent du champ scalare, nous obtenons les composantes V = S x et leurs correspondantes V = S x. Selon notre conventon des ndces, nous avons c une sorte de vecteur dont nous devons noter les composantes avec un ndce nféreur V = S x " V = S x et nous devons vérfer s l s agt c d un tenseur. Pour ce fare, partons de l expresson pour la dfférentelle du champ scalare S, nous obtenons alors par la règle de somme S = x S S = A x x x " V x = A V Ce résultat très smple à obtenr défnt un très nouveau résultat, où un (vra) vecteur, ou tenseur d ordre un, vot ses composantes se transformer lnéarement et à l ordre un (une matrce de transformaton apparaît une fos), mas va la matrce de Jacob nverse. Comme la matrce nverse est dfférente de la matrce elle-même, cette sorte de vecteur est dfférente de la précédente. Il s agt donc d une toute nouvelle sorte de tenseurs d ordre un ou vras vecteurs. Le gradent défnt une sorte de vecteur covarant qu est dfférent du vecteur de départ, accepté lu comme contravarant, et clarement dfférent d un vecteur contravarant comme la vtesse. Il faudra tenr compte à l avenr de cette dfférence qu tradura des sgnfcatons physques et géométrques dfférentes. Sous forme matrcelle, nous convendrons que le vecteur contravarant est un vecteur colonne et le vecteur covarant un vecteur lgne. Nous savons donc déjà qu l exstat deux sortes de vecteur Par contre, s nous exprmons la force comme le gradent d un potentel, cette force sera covarante et cela rsque d être dangereux, la force étant (naturellement) un vecteur contravarant et le gradent un vecteur covarant Nous verrons plus lon comment s assurer de la cohérence de nos équatons physques Tenseurs d ordre 2 Nous allons procéder à partr de ce que nous savons déjà. Supposons avor deux vecteurs contravarants, de N composantes X et Y j et construsons un objet que nous

15 15 noterons c G et dont les N 2 composantes seront les juxtapostons X Y j (ce type de produt s appelle produt drect). Notre algèbre des ndces nous confrme que cet objet a N 2 composantes défnes, selon notre algèbre des ndces, comme G j = X Y j G j = X Y j Sachant transformer les composantes des vecteurs contravarants, nous écrvons drectement G j = X Y j = A X A j j Y j = A A j j X Y j = A A j j G j La transformaton est lnéare entre les ancennes et les nouvelles composantes et fat apparaître deux fos la matrce de Jacob. Nous drons c que nous avons un tenseur d ordre deux, deux fos contravarant. Cette défnton est plus générale que notre ntroducton. En général, les tenseurs d ordre deux ne sont pas séparables sous la forme d un produt (drect) de deux vecteurs, mas le produt drect de deux vecteurs donne toujours un tenseur d ordre deux. Nous savons qu exstent des vecteurs (vras) covarants possédant N composantes et nous pouvons mantenant défnr un objet de N 2 composantes G j = X Y j G j = X Y j La lo de transformaton est très smple G j = A A j j G j Ic, la transformaton des composantes est lnéare et fat ntervenr deux fos la matrce A nverse. Cec défnt un tenseur d ordre deux, deux fos covarant. Il est dfférent du premer, pusque ses composantes se transforment à l ade de la matrce nverse de Jacob, que nous savons être dfférente de la matrce elle-même. Ic encore, le tenseur n est pas généralement séparable en produt drect de deux vecteurs. Ce n est pas une surprse de constater que nous pouvons défnr le tenseur d ordre deux mxte par ses composantes et leur transformaton G j j G = A j A j j G La transformaton est lnéare entre nouvelles et ancennes composantes et les coeffcents sont les éléments de la matrce de Jacob, c une fos drecte et une fos nverse, donc un tenseur du deuxème ordre, une fos covarant et une fos contravarant, un tenseur mxte. Soulgnons encore que les tenseurs du 2 e ordre sont rarement séparables sous la forme d un produt drect de deux vecteurs. Cette façon de les ntrodure état la plus smple, mas pas la plus générale. Les tenseurs du 2 e ordre sont des objets qu ont N 2 composantes se

16 16 transformant va une double applcaton de la matrce de Jacob pour la transformaton consdérée, que cette matrce sot drecte ou nverse. Ajoutons que les expressons comme G j = A A j j G j ne décrvent pas des produts de matrce, mas une somme sur des composantes qu peuvent être extrates de matrces On ne peut pas écrre G = AAG, où les produts à drote seraent matrcels. Note : À partr des tenseurs du deuxème ordre, l y a un aspect nouveau qu se manfeste. Il est possble que l objet at certanes symétres qu font que nous ne pouvons pas ntervertr les ndces sans qu l y at des conséquences. On peut dentfer au deuxème ordre tros cas G j = +G j G j = G j tenseur symétrque tenseur antsymétrque G j sans relaton avec G j tenseur quelconque Pusque les tenseurs du deuxème ordre ont deux ndces, l est fréquent de les écrre comme des matrces carrées N x N et nous convendrons que le premer ndce est l ndce de lgne et le deuxème l ndce de colonne. Cec ne pose pas de dffculté pour les tenseurs deux fos covarants ou deux fos contravarants. Pour les mxtes (comme c état le cas de la matrce de Jacob, même s elle n est pas un tenseur), l faudra être plus prudents ; nous y revendrons Tenseurs en général À partr d c, la règle est smple à généralser pour défnr un tenseur T, n fos contravarant et m fos covarant dont les composantes sont T n j1 j 2... j m qu se transforment lnéarement comme T n j1 j 2... j m j = A 1 j j1...a m jm A A n n T n j1 j 2... j m Nous avons c un tenseur mxte d ordre n + m, n fos contravarant et m fos covarant Covarant vrament dfférent de contravarant? Nous avons vérfé explctement dans nos deux exemples de départ, que la matrce de Jacob de la transformaton et son nverse sont dfférentes. Les tenseurs contravarants se transforment utlsant l une et les covarants utlsant l autre. Ils consttuent donc deux espèces dfférentes de vecteurs.

17 17 Dans le cas des vecteurs, nous savons déjà qu l peut être nécessare d dentfer deux sortes de vecteurs. En effet, lorsque nous utlsons les matrces pour représenter les vecteurs, nous devons dfférencer entre vecteur colonne et vecteur lgne. Cec est vra dans toutes les opératons que nous fasons avec les vecteurs dans ce formalsme, en partculer dans la défnton du produt scalare. Nous sommes (malheureusement) habtués à écrre que A, B ( ) = A B = A B cos = A x B x + A y B y + A z B z qu lasse supposer que les deux vecteurs sont de même nature. Cette lluson dsparaît lorsque nous écrvons cette opératon en utlsant la notaton matrcelle, où nous devons écrre A, B ( ) = A x A y A z " % # % % "% B x B y B z # = A x B x + A y B y + A z B z Nous voyons c clarement que les deux vecteurs ne sont pas de même nature. En fat ls n appartennent même pas au même espace vectorel, pusqu l n exste aucune combnason lnéare de vecteurs colonnes capables de donner un vecteur lgne et vce-versa Par contre, matrcellement parlant, nous pouvons c obtenr le deuxème en foncton du premer parce que l un est le transposé de l autre. Nous verrons comment obtenr des tenseurs covarants à partr de leur équvalents contravarants et vce-versa Les los physques et les premères opératons Nous allons c ntrodure certanes opératons comme la somme et certans produts.une défnton plus utle du produt tensorel dot attendre la dscusson des tenseurs rréductbles. Nous nous en tendrons au produt drect et au produt scalare et drons un mot du produt vectorel Les los physques Pusqu l nous est mpossble d dentfer un référentel qu serat LE référentel de référence absolu, nous devons nous assurer de savor écrre nos los physques sous une forme qu sot ndépendante du référentel. La seule façon est d écrre toutes nos los physques comme T = 0 où T est un tenseur qu peut être de la forme T = B C, donc la lo peut prendre la forme B = C. Il dot être clar que B et C dovent être des tenseurs du même type. Supposons en effet un tenseur d ordre deux pour servr d exemple, nous aurons alors

18 18 T j = 0, j = 1,2,3 N. Changer de référentel va une transformaton de coordonnées ou de translaton ou de rotaton transformera cette équaton en A j A j T j = T j = 0 où, de façon manfeste, la forme de notre lo physque n a pas changé, B = C devent alors B = C et la lo physque ne change pas de forme. C est ce que nous voulons, parce que s on devat récrre nos los selon le référentel, quel référentel serat le bon? ou plus smplement, l devendrat mpossble d écrre des los physques unverselles. Cette façon d écrre les los physques est appelée manfestement covarante, où c le mot covarant ne réfère pas à un ndce nféreur, smplement l ndque une écrture de la lo physque qu demeure nvarante de forme sous une transformaton quelconque des coordonnées. Désolé pour la légère confuson, mas c est la tradton. Peut-être un contre-exemple adera-t-l à vor le problème. Nous sommes très famlers en mécanque avec les forces dérvant d un potentel et nous écrvons F x = "V "x mas cette expresson n est pas manfestement covarante et c est ce qu rend le passage aux coordonnées sphérques, par exemple, s peu transparent, pusque nous savons que F = " #V # est FAUX (le côté drot n est pas une force). Nous verrons plus lon comment corrger le tr et comment écrre l équaton de Newton de façon manfestement covarante La somme Nous ne pouvons addtonner que des tenseurs de même type, par exemple T j = S j + U j + W j, où toutes ces quanttés sont, c des tenseurs deux fos contravarants. Sous transformaton, cette équaton garde sa forme pour donner T j = S j + U j + W j conservant ans la forme de l équaton.

19 Le produt drect Nous avons déjà utlsé le produt drect sans le dre. Le produt drect entre deux champs ou varables consste à smplement les accoler. Par exemple, le produt drect entre un scalare S et un vecteur de composantes V redonnera smplement un vecteur dont les composantes auront valeur SV. La stuaton se complque un peu dans le produt drect de deux vecteurs de composantes respectves V et U j, le résultat étant un tenseur d ordre deux de composantes T j = V U j Dans le langage plus élémentare des vecteurs, nous écrrons le produt drect à partr de deux vecteurs (utlsant les composantes cartésennes) en 3D (N = 3) V = V x î + V y ĵ + V z ˆk, U = Ux î + U y ĵ + U z ˆk ( )( U x î + U y ĵ + U z ˆk ) " T = V x î + V y ĵ + V z ˆk = V x U x îî + V x U yîĵ + V x U zî ˆk V z U y ˆkĵ + V z U z ˆk ˆk où nous dentfons les neuf composantes (3 2 ) caractérstques. En notaton tensorelle, nous travallons drectement sur les composantes dans un formalsme qu est ndépendant (le même) pour toutes les bases. On dot noter au dessus qu l ne faut pas modfer l ordre des vecteurs untares dans chaque terme, notant que îĵ ĵî parce que les composantes correspondantes ne sont pas égales, par exemple V x U y V y U x mas également, î î ĵ = ĵ, î ĵ î = 0. Dans un produt drect entre deux tenseurs généraux d ordre n et m respectvement, le résultat sera un tenseur d ordre n + m et possèdera N ( n+m) = N n N m composantes Le produt scalare Le produt scalare classque est défn entre deux vecteurs. Reprenons-le avant de le généralser. Le produt scalare entre deux vecteurs dot donner un scalare Nous n avons qu une seule façon d obtenr ce résultat c, dsons entre un vecteur (tenseur d ordre un) de composantes V et un tenseur d ordre un de composantes U j dans l opératon S = V U où la somme sur l ndce fat dsparaître l ndce, ne lassant qu un (vra) scalare. Notons deux choses. D abord cette opératon requert un vecteur contravarant et un vecteur

20 20 covarant. Deuxèmement, on aurat pu procéder par étape en défnssant d abord par produt drect un tenseur du deuxème ordre de composantes S j = V U j pour ensute contracter l ndce dans l opératon de calcul de S = V U = S. La contracton scalare ne pose pas de problème, mas la premère remarque en pose un. En effet, nous sommes habtués à défnr le module carré d un vecteur par le produt scalare du vecteur avec lu-même. Le problème est que le produt scalare tel que défn c mplque deux vecteurs dfférents S les V sont les composantes de V, à quo correspondent les V qu sont nécessares dans le calcul de V 2 = V V C est là le sujet de la prochane secton. Le produt scalare peut être nterne, comme nous l avons vu d alleurs c-dessus ( S ). Pour un tenseur d ordre plus grand ou égal à deux, on peut fare une contracton nterne. Prenons par exemple un tenseur du 3 e ordre que nous noterons T jk. Nous pouvons fare une certane combnason (somme) d un chox partculer de ces composantes dans l opératon T k N " = T k T k une somme sur l ndce répété. Le résultat contracte cet ndce qu est ndce de somme, donc muet, donc qu dsparaît, ne lassant derrère qu un vecteur que nous avons noté T k, ce qu est souvent fat, même s ce T est un vecteur construt par une somme sur un chox partculer des composantes d un tenseur du 3 e ordre auss noté par la lettre T, ce qu est souvent fat dans ce type d opératon. 4. Éléments de géométre : la métrque 4.1. La métrque, co vs contra varant, angle et longueur Il est nécessare de pouvor reler les composantes du tenseur contravarant d ordre un, V de composantes V aux composantes V j de la verson covarante, afn de permettre l évaluaton du produt scalare et du module (carré) de ce vecteur. Elle permet par exemple de reler les dx aux dx j et ans de calculer une longueur nvarante, (un scalare) une quantté fondamentale d une géométre, pusque l élément de longueur carré est nécessarement

21 21 ds 2 = d x d x = dx dx Quant au produt scalare en général entre deux vras vecteurs, l donne V U = V U = V U cos et son exstence permet de défnr et d évaluer les angles. Avec angles et longueurs, nous aurons une géométre. Dans des textes plus avancés sur les tenseurs, on dra que les champs de tenseurs du premer ordre contravarants appartennent à l espace vectorel tangent T N, alors que les tenseurs covarants du premer appartennent à l espace tangent dual T N. Nous cherchons c un somorphsme entre les deux,.e. une relaton un à un entre les éléments des deux espaces. L outl nécessare est le tenseur métrque g, un tenseur du deuxème ordre qu permet, toujours selon l algèbre des ndces, de défnr les composantes covarantes en foncton des composantes contravarantes, établssant un pont entre l espace vectorel T N et son dual T N V = g j V j, où V j T N et V T N et le produt scalare est alors smplement V U = g j V V j alors que l élément de longueur nvarant (scalare) est ds 2 = g j dx dx j = dx dx Quant au module carré du vecteur, l est trvalement V 2 = g j V V j L angle entre deux vecteurs est alors évalué par la formule c-dessus dont on sole le cos g j V U j V U cos = " cos = g nm V n V m g kl U k U l V U Le tenseur métrque content toute l nformaton sur la géométre (défnton de la longueur et de l angle) de notre espace X N, même s cette nformaton n est pas mmédatement évdente, les composantes du tenseur métrque changeant beaucoup dans un changement de coordonnées, sans que les proprétés de notre espace changent. S le tenseur métrque (et sa représentaton matrcelle) est symétrque, g j = g j l espace est dt remannen (ou de Remann).

22 22 Évdemment, le tenseur métrque sert auss à monter et descendre ses propres ndces et on peut défnr sa verson deux fos contravarante qu représente les éléments de la matrce nverse, pusque V = g j V j = g j g jk V k V " g j g jk = # k = matrce unté Prenons par exemple notre espace Euclden E 3 dans lequel l élément nvarant de longueur en cartésens s écrt ds 2 = dxdx + dydy + dzdz = dx 2 + dy 2 + dz 2 = g j dx dx j Il est clar que le tenseur métrque est c g " j # = % % "% # " g j # qu est un cas trval et unque, où les coordonnées covarantes sont dentques aux contravarantes. Cependant, s nos coordonnées pour le même espace sont les coordonnées sphérques x = ( r,," ), = 1,2,3 dx = ( dr, d", d# ) nous savons, par méthode vectorelles drectes et assez smples ou en utlsant les éléments de la matrce de transformaton calculés en dans g j = A A j j g j (où les coordonnées prme sont sphérques) que le même élément de longueur s écrt mantenant (en lassant tomber le prme une fos la transformaton complétée) ds 2 = dr 2 + r 2 d 2 + r 2 sn 2 d" 2 = g j dx dx j qu permet d dentfer drectement la matrce métrque g " j # = 0 r 2 0 " 0 0 r 2 sn 2 % et de calculer son nverse " g j # = " # / r / r 2 sn 2 % ( " g j # # On aurat pu fare cette dentfcaton drectement des équatons de transformaton

23 23 x = r sn cos" # dx = sn cos"dr + r cos cos"d r sn sn"d" y = r sn sn" # dx = sn sn"dr + r cos sn"d + r sn cos"d" z = r cos # dz = cosdr r snd Sachant que ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2, le remplacement drect nous donne faclement l expresson pour ds 2 en coordonnées sphérques, donc nous donne la métrque. Alors que nous avons en cartésen dx 1 = dx 1 = dx, dem pour y et z nous aurons c, débutant avec la verson contravarante (selon notre conventon) dx 1 = dr, dx 2 = d, dx 3 = d" et la verson covarante devendra dx = g j dx j dx 1 = dr, dx 2 = r 2 d", dx 3 = r 2 sn 2 "d# À la smple observaton des composantes du tenseur métrque en cartésens et en sphérques, on ne crorat pas qu l s agt du même espace, c est pourtant le cas. Les deux seuls éléments en commun entre les deux systèmes de coordonnées est le fat que les métrques sont dagonale, ce qu ne fat que refléter le caractère orthogonal des deux systèmes de coordonnées, et le fat qu ls sont symétrque, une caractérstque de l espace, mas laquelle? L nformaton sur notre espace qu est contenue dans la métrque n est pas transparente dans le smple examen de celle-c. Nous verrons plus lon une façon d extrare cette nformaton Denstés tensorelles Il exste des quanttés qu sont presque tensorelles à un certan facteur près, ce facteur étant le Jacoben de la transformaton à une certane pussance. Il est alors possble d utlser ces quanttés et de construre des tenseurs à partr d elles. Nous allons d abord étuder un presque scalare, le détermnant de la métrque. Nous savons que la métrque est un tenseur, donc elle se transforme comme g j = A A j j g j = x x g x x j j S nous consdérons cette équaton comme matrcelle et que nous prenons le détermnant (des deux côtés), nous obtenons g = x 2 x g

24 24 où x x est le détermnant de la matrce nverse de Jacob, auss appelé Jacoben. Il est donc clar que le détermnant de la métrque, qu n a qu une composante, n est pas un scalare, pusqu l n est pas nvarant de forme ( g " g ), parce que le facteur du Jacoben de l nverse au carré à drote brse la covarance manfeste. Nous drons c que le détermnant de la métrque est une densté scalare (tensorelle) de pods -2 (c est l nverse qu apparaît par conventon). Ce résultat nous sera utle pour défnr, à partr de denstés tensorelles, des quanttés qu seront des tenseurs, donc nvarants de forme sous transformaton. Prenons l exemple d une quantté du deuxème ordre (deux ndces) qu n est pas un tenseur, mas qu se transforme comme, dsons T j = x n A A j j T j x Cette quantté est une densté tensorelle à cause du facteur x x n, sans quo ce serat un tenseur. Sachant que le détermnant de la métrque est une densté tensorelle de pods -2, nous pouvons construre la quantté de composantes g n/2 T j qu se transformera comme g n/2 T j = A j A j g n/2 T j où nous voyons clarement que la quantté dont les composantes sont g n/2 T j est un tenseur. Un cas très mportant de densté tensorelle est celu de la mesure d ntégraton volumque qu en cartésen s écrt dv = dxdydz = dx 1 dx 2 dx 3 et n est pas un vra scalare (semble l être en cartésens ), mas une densté scalare, évdent dans tout autre système de coordonnées. On peut construre un élément de volume scalare en défnssant la verson tensorelle de l élément de volume par dv = g dx 1 dx 2...dx N qu est un scalare nvarant de forme et est valable pour tout système de coordonnées.

25 25 5. Dérvées covarantes Nous avons déjà constaté que, face à une transformaton quelconque des coordonnées (par exemple cartésen sphérque), le rayon vecteur entre l orgne et le pont P n est pas un tenseur d ordre un, donc n est pas un vra vecteur. Par contre, la dfférentelle de ces coordonnées est un tenseur, ans que la vtesse qu est la dérvée des coordonnées p/r à un paramètre nvarant, le temps (propre). Cette vtesse a les composantes v = dx dt tenseur " v = dx dt = A v S on tente de défnr l accélératon comme la dérvée de cette vtesse, on calcule dv dt espérant " dv dt = A dv dt Malheureusement, notre espérance est déçue et cette dérvée smple de la vtesse ne redonne pas un tenseur, ce qu est évdent dans le calcul explcte dv dt = d dt " A v dv # = A dt + dv dt d dt A dv = A dt + dv dt Le premer terme est parfat, mas l apparton (névtable) du second gâche la sauce et rend cette défnton de l accélératon nutlsable dans une lo physque écrte de façon manfestement covarante. Dans ma = F, le vecteur F est un vra vecteur qu représente une force physque. Nous avons physquement beson de pouvor défnr une accélératon dont le concept est relatvement facle : le taux de varaton de la vtesse. Il faut donc nous assurer mathématquement que notre calcul de a donnera un vra vecteur. L équaton de Newton, en partculer c, devent donc problématque dans son écrture en coordonnées curvlgnes. Nous devrons réapprendre à dérver de façon à ce que la dérvée d un tenseur redonne un tenseur. Pour écrre l équaton de Newton de façon correcte, on peut procéder par chemnement purement vectorel tradtonnel, mas en fasant très attenton, le chemn est truffé d embûches. Ce que nous proposons c, c est de le fare de façon systématque et manfestement covarante (entendez facle ), en défnssant ce que nous appellerons la dérvée covarante qu a de partculer que, applquée à un tenseur, elle redonne un tenseur. (Encore une nouvelle utlsaton du mot covarant dans dérvée covarante, désolé, mas c l adjectf covarant est accolé à dérvée, ce qu rend toute méprse mpossble). Nous étuderons la dérvée d un champ totale p/r à un paramètre nvarant, comme le temps propre, et les dérvées partelles p/r aux coordonnées. dx j dt %A %x j

26 Dérvée covarante d un scalare Sot un champ scalare x,t les coordonnées s on se place sur une trajectore où x = x ( t), = 1,2, 3...N ( ) où t est un paramètre nvarant dont peuvent dépendre Souvent, le champ scalare ne dépend pas explctement du paramètre nvarant, = ( x ) et x = x ( t) ce que nous consdérerons c. Clarement d = " "x dx # d dt = " "x x qu reste clarement un scalare, pusque d dt = " x = "x " A "x "x "x j x j # A A j " j " x j " = "x j x j = " x "x "x En calculant cette dérvée totale, nous fasons appel au facteur, = " "x qu est la dérvée partelle d un scalare, que nous savons déjà être une composante d un tenseur covarant du premer ordre, le gradent du champ scalare. Notez l utlsaton de la notaton vrgule suve de l ndce qu sgnfe dérvée ordnare (partelle) par rapport à x Dérvée spatale covarante d un vecteur, symboles de Chrstoffel Nous avons déjà noté que la dérvée d un tenseur du premer ordre (vra vecteur) ne donne pas un tenseur, donc, même s elle est dotée de deux ndces, la quantté suvante n est pas un tenseur X j = V x j parce que nous vérfons drectement que X j = V j = A x j j A x j ( V ) = A j j V A A + A j x j j V " A j x j j A X j où clarement le terme en dérvée de A fat que cette quantté n est pas un tenseur. Il est possble de fare un grand détour va la défnton de la géodésque pour dentfer les quanttés requses pour garantr que la dérvée partelle d un tenseur est un tenseur. Ic, nous allons sauter drectement à la concluson ; on se réfère à des tratés plus complets, comme

27 27 celu de la sére Schaum, par exemple. Les quanttés requses sont les symboles de Chrstoffel de deuxème espèce, notés et calculés par l jk "g = g l k + "g j "x j "x # "gjk % k "x ( ) * kj Sous leur apparence rébarbatve, ces quanttés, qu ne sont pas des tenseurs, permettent de défnr des opératons de dérvée de tenseurs qu donnent des tenseurs. En fat ls sont des quanttés qu assurent qu un chox partculer de coordonnées est utlsé d une façon qu respecte la géométre de notre espace. Cec se vérfe drectement, même s, c, ce sera a posteror Pour un tenseur du premer ordre contravarant, sa dérvé covarante p/r à x k est notée ( ;) et calculée par l expresson DV Dx V k ;k = "V "x + # k jk V j (qu content une somme sur j) qu garantt que la quantté obtenue est la composante d un tenseur du 2 e ordre V ;k = A A k k V ;k donc que les ndces demeurent des ndces tensorels. On dot noter que nous obtenons c un tenseur du deuxème ordre. Le calcul de la dérvée totale covarante par rapport au temps de la composante V ( x j ) du tenseur contravarant V est, par l habtuelle règle de somme, où x j = x j ( t), donc sur une trajectore DV Dt = V ;k x k = V, j x j + jk V j x k = dv dt + jk V j x k De façon smlare, nous devons défnr la dérvée covarante d un tenseur du 1 er ordre à composantes covarantes et nous obtenons (vérfez en exercce) V ; j = V, j " k j V k On remarquera c le sgne entre les deux termes. Cette défnton garantt que toute transformaton donnera un vra tenseur V ; j = A A j j V ; j Équaton de Newton, forme générale Nous notons c l ntéressant résultat du calcul de l accélératon covarante où le champ de vecteur est la vtesse et où nous calculons une accélératon manfestement covarante. À partr

28 28 de l expresson c-dessus et prenant V = x = la vtesse, nous obtenons une défnton covarante de l accélératon Dx Dt = dx dt + jk x j x k = d 2 x dt 2 + jk x j x k ce qu nous permettra d écrre l équaton de Newton sous une forme manfestement covarante (c sa composante contravarante) " m d 2 x # dt 2 + jk % x j x k = F S la force dérve d un potentel Φ, alors nous avons F j = "# "# F = g j F "x j j = g j "x j et l équaton de Newton devent alors " m d 2 x # dt 2 + jk % x j x k = )* (gj )x j Vous pouvez mantenant utlser le système de coordonnées que vous voudrez, l équaton de Newton aura toujours cette forme En cartésen tous les k j " 0, mas dans aucun autre système Exemple : équaton de Newton en coordonnées sphérques Suvons la recette esqussée c-dessus et explquons les résultats plus tard. Nous pouvons calculer les symboles de Chrstoffel pour les coordonnées sphérques et nous constatons que les seuls qu soent non nuls sont (et vous n aurez plus à les recalculer de votre ve) = "r, 33 = "r sn 2 # 2 12 = 1 r = , 33 = "sn# cos# 3 13 = 1 r = , 23 = cot# = 32 On peut alors construre les équatons de mouvement, ce qu donne m % r r " 2 rsn 2 " # 2 = () (r m " + 1 r r " + 1 " r sn" cos" # 2 % * r + = m 2 " + r r " sn" cos" # 2 % * + = 1 () r 2 (" m # + 2 r r # + 2cot" " # % * + = 1 () r 2 sn 2 " (#

29 29 En suvant la forme hértée des équatons cartésennes, on aurat attendu, pour la premère équaton, l équaton de mouvement pour la varable r m r = F r = "# "r, une équaton clarement fausse, même physquement. La rason de cette dfférence de forme entre cartésens et sphérques ne vent pas d un changement dans la structure/géométre de notre espace, c est clarement le même espace. La rason vent de la dfférence dans la façon dont ces dfférentes coordonnées décrvent la géométre de notre espace. Prenons la premère équaton et notons que nous pouvons l écrre comme m r = mr 2 + mr sn 2 " 2 + F r Le derner terme à drote est l habtuelle force physque due à des agents extéreurs et agssant radalement sur l objet ponctuel de masse m. Les deux premers termes à drote ont des dmensons de force et décrvent un effet équvalent à des forces sur notre objet, sans que ces forces provennent d agents extéreurs, mas leur effet est ben réel, prenez un vrage en voture pour vous en convancre, ce sont eux qu vous collent contre la portère. Ces termes, de la nature de force dans l équaton décrvent l effet centrfuge ben connu. Il n est pas possble de fare tourner un objet au bout d une corde sans trer sur cette corde, afn de contrebalancer cet effet centrfuge qu est de la nature d une force. Le premer terme est drect et mmédat, le bras de rotaton selon étant r, alors que dans le deuxème terme, le bras a clarement longueur r snθ pour une rotaton selon, ce qu est géométrquement évdent ; s θ est nul, l objet est sur l axe Oz et une rotaton en ϕ n a clarement aucun effet dynamque sur un objet ponctuel. On entend souvent l expresson force centrfuge, ce à quo s opposent un certan nombre de physcens, parce que cette force ne provent pas d agents agssant sur le système, c est smplement un terme qu dot apparaître pour tenr compte de la façon dont le système chos de coordonnées décrt la géométre du système. Évdemment, s nous fasons évoluer le système selon une rotaton, nous aurons cet effet, ressent comme une force. Le lecteur peut se référer au module sur les transformatons de coordonnées pour vor comment, par méthode vectorelle/tradtonnelle, on peut retrouver la bonne équaton de Newton pour la varable r, ans que pour les autres varables. Ce que font pour nous les coeffcents de Chrstoffel, c est de tenr compte de la façon dont un système donné de coordonnées décrt la géométre de notre espace et de nous donner les outls nécessares pour procéder, nous fournssant ans une forme unverselle pour notre

30 30 équaton/lo physque,.e. une forme nvarante sous transformaton quelconque des coordonnées. 6. Les opérateurs dfférentels Nous sommes habtués aux opérateurs dfférentels à caractère vectorel que sont le gradent, la dvergence, le rotatonnel et le laplacen qu sont tous basés sur l opérateur nabla, généralement noté et ces opératons sont le gradent d un scalare qu donne un vecteur, la dvergence d un vecteur qu donne un scalare, le laplacen qu est la dvergence du gradent d un scalare et donne donc un scalare. Le rotatonnel est un peu plus mystéreux et nous ne ferons c qu effleurer le problème. Le rotatonnel d un vecteur dot donner un vecteur, mas ce vecteur est souvent appelé pseudo-vecteur, afn de soulgner certans trats partculers Le gradent d un scalare est d abord obtenu par ses composantes qu apparassent naturellement comme celles d un vecteur covarant B = " composantes ##### B = %" = ", %x = % " toutes ces notatons étant standard et auto-explcatves et nous avons déjà vu que le gradent arrve naturellement comme un vecteur covarant. Les composantes contravarantes du gradent sont obtenues grâce au tenseur métrque B = g j B j 9.3. La dvergence d un vecteur donne un scalare et dot donc être l opératon suvante B tensorel """# B ; qu est la contracton nterne suvant une dérvée covarante du vecteur, la seule façon de générer un scalare à partr des dérvées spatales d un vecteur. Suvons ces opératons systématquement selon nos outls tensorels. Nous devons d abord dérver de façon covarante les composantes d un vra vecteur, cela donne un tenseur du 2 e ordre B ; j = B + " x j jk B k qu est c ntalement mxte, co-contravarant. La dvergence est alors obtenue de la contracton nterne des ndces co et contravarants de ce tenseur, résultant en un vra scalare, un tenseur d ordre zéro noté S