UV Théorie de l Information. Quantification scalaire UNIFORME

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1 Cours n 7 : UV Théorie de l Information Compression de l information Codage de source avec distorsion : Quantification scalaire Quantification vectorielle Prediction linéaire 1 Quantification scalaire UNIFORME Appelée aussi Conversion Analogique/Numérique : Pas de quantification CONSTANT ( = Dynamique MAX de l échantillon / Nb de niveaux de quantification ) Seuils et Niveaux de quantification (codés par des mots binaires) EQUIDISTANTS 2

2 Quantification scalaire UNIFORME Réalisation de la quantification Valeur MIN de x Seuils de quantification Niveaux de quantification x Valeur MAX de x Processus de codage (d un signal à temps discret son décodage i QS QS 1 ) et 3 Quantification scalaire UNIFORME Objectif : Pour un taux de compression Q donné : Minimiser le Bruit de quantification ( = différence entre la «vrai valeur» d un échantillon et le niveau de quantification le plus proche) Minimiser l Erreur Quadratique Moyenne EQM (ou le RSBC pour l image) : Augmenter le Nb de niveaux de quantification => Diminution du Taux de compression Répartition non uniforme des niveaux de quantification 4

3 Quantification scalaire NON UNIFORME Objectif : Pour une erreur de reconstitution (ieeqm) donnée Minimiser le Nb de niveaux de quantification Pas de quantification (intervalle de quantification)variable Niveaux de quantification milieux des l intervalles de quantification 5 Quantification scalaire NON UNIFORME EX : Densité de probabilité des niveaux de gris d une base de données d images sous exposées p(x) : densité de probabilité de x Valeur MIN de x Niveaux de quantification 6 Valeur MAX de x

4 Quantification scalaire NON UNIFORME Quantificateur OPTIMAL => une partition (ensemble des seuils de quantification S i ) & les représentants (valeurs des niveaux des x i quantification ) minimisant l EQM : EQM M i 1 x S i x x i 2 p x dx Connaissant les représentants x 1 x M meilleure partition S 1 S M, calculer la Connaissant la partition, déduire les meilleurs représentants 7 Quantification scalaire NON UNIFORME Quantificateurs sous OPTIMAUX : 8 Algorithme de Lloyd Max [Moreau, 1995] (algorithme itératif vérifiant successivement les 2 conditions d optimalité sous contrainte ) log 2 M R Ex : pour une source continue, gaussienne et sans mémoire, variance de l erreur de quantification 4,35 db au dessus de la limite théorique Algorithme de quantification avec contrainte entropique [Moreau, 1995] (minimisation sous contrainte entropique, cad mots code de longueur variable : ) H X log 2 M R Ex : pour une source continue, gaussienne et sans mémoire, variance de l erreur de quantification 1,53 db au dessus de la limite théorique

5 Quantification scalaire NON UNIFORME Processus de codage (d un signal à temps discret ) et de décodage : Recherche de l indice i du plus ressemblant signe x i du dictionnaire x 1 x M Transmission à travers le canal i Remplacement du mot code i par le signe correspondant : x i dans le dictionnaire x 1 x M Codage 9 Décodage Remarques sur la Quantification Scalaire Méthode pertinente seulement si la densité de probabilité p x de la variable x à quantifier franchement non uniforme et facile à formuler Mise en oeuvre matérielle seulement de la QS uniforme (raisons d universalité) 10

6 QS non uniforme adaptée au signal Signal quantifié uniformément après avoir subi une transformation non linéaire : QS uniforme x y F x y F x QS uniforme z Q y w F 1 z w F 1 z x z p x p y p z p w x y z z QS non uniforme 11 Principe : Quantification Vectorielle Quantification par groupes de signes (ie vecteurs d échantillons de parole, blocs de pixels) Remarques : QV n est pas qu une simple généralisation de la QS Permet de prendre directement en compte la corrélation existante entre les signes successifs d un signal 12

7 Exemple de Quantification Vectorielle Codage d une image par QV après découpage de l image en blocs de taille 4x4 (2x2 ou 8x8) : Recherche de l indice i Bloc original du plus ressemblant bloc B i du dictionnaire Transmission à travers le canal i Remplacement du mot code i par le bloc correspondant : Bloc rendu B i dans le dictionnaire 1 M 1 M Codage 13 Décodage Quantification Vectorielle d une image 14 Taux de compression pour le codage d une image par QV au moyen d un dictionnaire de M blocs (après découpage de l image en blocs de k pixels, chaque pixel étant codé par n bits) kn Q kn R log 2 M Pour des mots code de longueur constante Propriété : Le taux de compression Q augmente avec le rétrécissement de la taille M du dictionnaire au prix d une augmentation (assez régulière mais pas linéaire) de la distorsion

8 15 Détermination du dictionnaire pour une QV Sur une base d apprentissage de manière à : Augmenter la qualité (ou minimiser la distorsion) : Initialisation au moyen de l algorithme de Linde, Buzo et Gray [Moreau, 1995] Plusieurs itérations au moyen de l algorithme de Lloyd Max généralisé au cas vectoriel Augmenter la rapidité du codage Rangement des blocs dans le dictionnaire dans une structure arborescente Augmenter l adaptabilité du dictionnaire à la statistique locale du signal (non stationnarité du signal oblige) Modification du dictionnaire en temps réel Remarques sur la QV + Bonne qualité de restitution pour un taux de compression donnée + Simplicité du décodage Temps de calcul au codage trop important Non adaptée au codage des images animées en temps réel 16

9 Prédiction linéaire Adaptée au codage et décodage en temps réel, en raison de sa simplicité Norme G721 pour les signaux téléphoniques : Modulation par Impulsions Codées Différentielles Adaptatives (1984) Peut être aussi adaptée pour la compression des images animées (prédiction non linéaire ou compensation de mouvement) [Guillois, 1998] 17 Prédiction linéaire 18 Propriété : Décorréler le signal avant de le quantifier Principe : Considérer la corrélation entre les signes (échantillons) voisins Prédire la valeur du n ème signe à partir des valeurs : 1, 2,, l des l signes précédents Objectif : Minimiser l erreur de prédiction (différence entre la valeur «vrai valeur» ) prédite et la Valeur faible de nécessitant moins de bits pour son codage que la valeur directe de

10 , $ Prédiction linéaire Valeur de la prédiction du n ème signe obtenue par combinaison linéaire des l signes précédents : a 1! 1 " a 2! 2 " " a l! l 19 Choix d un jeux de coefficients a 1, a 2,, a l assurant en # 2 moyenne, sur un signal donné, une erreur quadratique minimale Coeff issus du filtre numérique de Wiener [Moreau, 1995] Choix de l étant un compromis entre la qualité de la prédiction et le temps de calcul : l 5 l 3 Généralement, voire même pour les images, assurent des valeurs de suffisamment petites Prédiction linéaire Codage utilisation d un filtre numérique d analyse ayant pour fonction de transfert: 1% A z & 1' a 1 z( 1 ' ' a l z( l Décodage connaissance des coefficients a i utilisés par le codeur et des valeurs i des l premiers signes, afin de calculer : v n )! * i+ 1 l A z a i! i + QS v n 20 i Boucle ouverte QS 1 -, + +

11 / Exemple de Prédiction linéaire : le MICDA Modulation par Impulsions Codées Différentielles Adaptatives (l=1) 1 & $ 1 Niveau de n 1 n Temps discret 21 Prédiction linéaire Codage de l erreur de prédiction Fondé sur l utilisation de sa densité de probabilité : (gausienne à écart type d autant plus faible que la prédiction est meilleure) Réquantification Codes à Longueurs Variables => codage sans perte possible (norme JPEG sans perte actuelle) 0 22

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