I=II A B C 0,1 0,2 D 2,2 0,1

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1 Université de Paris I Licence d Economie, Troisième année Cours de Microéconomie Année universitaire Exercices du chapitre 1 (Théorie des jeux) L équilibre de Nash en stratégie pure Exercice 1 A. Déterminer tous les équilibres de Nash éventuels des deux jeux suivants: C 6,0 0,6 D 3,2 6,0 C 0,1 0,2 D 2,2 0,1 B. Félix et Oscar doivent déterminer le nombre d heures que chacun d eux consacre au ménage dans leur appartement commun. Chacun peut choisir de consacrer 3, 6 ou 9 heures. La propreté de l appartement dépend du nombre total d heures de ménage: l appartement reste sale si le nombre d heures de ménage est strictement inférieur à 9. Il est "habitable" si le nombre d heures est égal à 9 et il est propre si le nombre d heures est supérieur ou égal à 12 heures. Un appartement habitable assure un "gain" de 2 aux deux joueurs. Un appartement propre rapporte un gain de 10 à Félix mais de 4 à Oscar. Un appartement sale assure un gain de 10 à Félix et 5 à Oscar. Par ailleurs une heure de ménage est un gain de 1 pour chaque joueur. Déterminer la solution de ce jeu en procédant par élimination itérée des stratégies strictement dominées. Exercice 2 Quatre joueurs doivent se rendre du point A au point B (voir graphique ci-joint). Deux itinéraires sont possibles: l itinéraire "est" ou l itinéraire "ouest". Chaque itinéraire comprend deux segments. Les temps de trajet pour chaque segment dépendent du nombre de joueurs qui utilisent le segment et sont égaux aux valeurs suivantes (le premier terme de la parenthèse correspond au temps de trajet pour un joueur si un seul joueur utilise le segment, le deuxième terme au temps de trajet pour un joueur si deux joueurs utilisent le segment etc.): Segment E1 : (4; 5; 8; 20) Segment E2 : (1; 2; 4; 8) Segment O1 : (1; 2; 4; 8) Segment O2 : (4; 5; 8; 20) Chaque joueur choisit simultanément son itinéraire. L objectif d un joueur est de minimiser le temps de trajet. 1. Déterminer l équilibre de Nash de ce jeu. Un pont est construit et permet a priori de raccourcir le temps de trajet. Les temps de trajet sur le pont sont nuls. Le pont est à sens unique et permet donc un nouvel itinéraire: O1 pont E2: 1

2 2. Déterminer le nouvel équilibre de Nash. Que peut-on dire des temps de trajet après construction du pont? Commenter. Exercice 3 Deux candidats se présentent à une élection. Un nombre m d électeurs préfèrent B à A et un nombre k d électeurs préfèrent A à B: Le nombre total d électeurs est à égal à m + k = n: Si un électeur vote, le gain en fonction du résultat de l élection est le suivant: 2 c si son candidat gagne, c si le candidat adverse gagne et 1 c en cas d égalité (avec 0 < c < 1). Si l électeur s abstient, le gain est respectivement égal à 2; 0 et 1: 1. Quel est l équilibre de Nash si m = k = 1? 2. Si k = m; (i) existe-t-il un équilibre où tous les électeurs votent? (ii) existe-t-il un équilibre où les deux candidats sont à égalité et où tous les électeurs ne votent pas? (iii) existe-t-il un équilibre où un candidat gagne avec une voix d écart? (iv) existe-t-il un équilibre où un candidat gagne avec deux voix ou plus d écart? 3. Quel est l équilibre de Nash si k < m? Exercice 4 Deux entreprises sont en concurrence. Chaque rme i (i = 1; 2) choisit la quantité, q i ; qu elle va produire. Le prix unitaire de vente dépend de la quantité totale vendue. On suppose que ce prix unitaire est égal à Max( q 1 q 2 ; 0): Le coût unitaire de production est nul mais chaque rme supporte un coût xe égal à f > 0: Déterminez l équilibre de Nash de ce jeu. Exercice 5 Deux entreprises investissent pour tenter d emporter un marché dont la valeur est estimée à K euros. Le montant, en euros, de l investissement de la rme i (i = 1; 2) est noté a i 0: La rme qui investit le plus remporte le marché. En cas d égalité chaque rme remporte la moitié du marché (d une valeur de K euros). Les rmes choisissent 2 simultanément les montants investis. Montrer qu il n existe pas d équilibre en stratégie pure. 2

3 "ouest": O1 O2 "est: E1 E2 Exercice 6 On considére le modèle de concurrence électorale avec deux candidats développé en cours. Le pays est divisé en deux états. On suppose un mode d élection indirect de type Nord-Américain dans lequel les électeurs élisent les grands électeurs qui votent ensuite pour l un ou l autre des candidats. L état 1 est plus peuplé que l état 2 et dispose donc de plus de grands électeurs. Par ailleurs un candidat vainqueur dans un état remporte tous les grands électeurs (en cas d égalité chacun obtient la moitié). En n, la position médiane des électeurs (m i ) est telle que m 1 < m 2 : Déterminer les localisations d équilibre de chacun des deux candidats. 3

4 Les stratégies mixtes Exercice 1 Les feux d un carrefour sont en panne. N individus passent au carrefour au même moment et constatent la panne. Chaque individu peut alors soit téléphoner au service de voirie soit passer et ne pas téléphoner. Téléphoner a un coût c > 0 pour l individu qui téléphone. Si les feux sont réparés, le béné ce retiré par chaque individu est égal à B > c: 1. Montrer qu il existe un équilibre en stratégie pure. 2. Déterminer un équilibre en stratégie mixte dans lequel chaque individu téléphone avec une probabilité : 3. Calculer la probabilité, à l équilibre en stratégie mixte, que les services de voirie ne soient pas informés de la panne. Comment varie cette probabilité si N augmente? Exercice 2 Déterminer tous les équilibres de Nash des deux jeux suivants: C 6,0 0,6 D 3,2 6,0 C 0,1 0,2 D 2,2 0,1 Exercice 3 Un général A a pour objectif de défendre son territoire protégé par des montagnes. Il dispose de trois divisions. Un général B souhaite attaquer le territoire du général A. Il dispose pour cela de deux divisions. Deux cols permettent de pénétrer dans le territoire de A: Le général A gagne une bataille à un col s il aligne au moins autant de division que B et il parvient à défendre son territoire s il gagne aux deux cols. 1. Expliciter le jeu sous forme stratégique. 2. Montrer que le général B met une seule division à un col avec probabilité zéro. 3. En déduire que la stratégie d équilibre de B consiste à concentrer les divisions à un col avec équi-probabilité. 4. Conclure en déterminant un équilibre de Nash. Exercice 4 On considère le jeu suivant (les points désignent les gains non spéci és). C A.,2 3,3 1,1 B.,. 0,. 2,. C.,4 5,1 0,7 Montrer que les deux stratégies mixtes suivantes constituent un équilibre de Nash: Joueur I: ( 3 4 ; 0; 1 4 ) et Joueur II : (0; 1 3 ; 2 3 ): 4

5 Exercice 5 Deux athlètes, A1 et A2; participent à une épreuve sportive. Deux actions sont possibles: se doper (d) ou ne pas se doper (n): Si un seul athlète se dope, l athlète dopé est certain de gagner l épreuve et gagne 1 alors que l athlète non dopé perd et gagne 1. Si les deux athlètes se dopent ou si aucun athlète se dope, un athlète n est pas sur de gagner et le gain de chaque athlète est de Déterminer l équilibre de Nash de ce jeu. Une agence est en charge du contrôle anti-dopage mais ne peut contrôler qu un seul athlète. Si elle contrôle un athlète positif, elle gagne en réputation et son gain est de 1. Si elle contrôle un athlète négatif, son gain est de 0. Un athlète contrôlé positif perd l épreuve et son gain est donc de (1 + b) avec b > Déterminer les stratégies d équilibre des joueurs si l agence joue une stratégie pure en contrôlant avec probabilité 1 l athlète Ai avec i = 1; L agence décide d adopter une stratégie mixte en contrôlant un athlète avec probabilité 1 et l autre athlète avec probabilité 1 : Montrer que les deux athlètes jouent 2 2 la stratégie n: Montrer que la stratégie mixte de l agence est une meilleure réponse aux stratégies des athlètes. Conclure. Exercice 6 Il s agit de la suite de l exercice 3 de la partie 1. On suppose m k: 1. Montrer qu il existe un équilibre de Nash avec les stratégies suivantes: Les partisans de A votent avec probabilité p. k partisans de B votent avec probabilité 1 et m k s abstiennent. 2. Quel est l e et d une baisse de k ou d une hausse de c sur la probabilité p de voter? Expliquer. 5

6 Les jeux dynamiques et l équilibre parfait en sous-jeux Exercice 1 L armée 1 doit décider d attaquer l armée 2 qui occupe une île. En cas d attaque, l armée 2 doit décider de se retirer sans combattre en empruntant un pont ou de combattre. Une armée préfère occuper l île sans combattre à se retirer et préfère se retirer à combattre. 1. Représenter le jeu sous forme dynamique et en déduire l équilibre parfait en sous-jeux. 2. Au tout début du jeu l armée 2 la possibilité de détruire le pont qui lui permet de se retirer. Ce choix vous semble-t-il judicieux? Exercice 2 Deux individus doivent choisir quelle politique publique commune mener. Trois politiques sont possibles: X; Y et Z: Les préférences de 1 sont les suivantes: X Y Z: Les préférences de 2 sont les suivantes: Z Y X: Le processus de décision se déroule de la manière suivante: 1 met son véto sur une politique. S il reste plus d une politique, 2 met son véto sur une politique. S il reste plus d une politique, 1 met son véto sur une politique. Ainsi de suite jusqu à ce qu une seule politique subsiste. Déterminer le ou les équilibres de Nash ainsi que l équilibre sous-jeux parfait. Exercice 3 Un groupe très hiérarchisé de n lions se disputent une proie. Le premier lion a deux actions possibles: il mange la proie ou il ne mange pas la proie. S il ne mange pas la proie, elle est perdue pour tous les lions et le jeu s arrête. S il mange la proie il devient si gros qu il devient sans défense. Dans ce dernier cas, le deuxième lion a deux actions possibles: soit il mange le premier lion soit il ne le mange pas. S il mange le premier lion, il devient lui-même gros et sans défense et peut être alors mangé par le troisième lion. S il ne mange pas le premier lion le jeu s arrête et ainsi de suite. Un lion préfère manger que ne pas manger mais préfère ne pas manger qu être mangé. Déterminer le ou les équilibres parfaits en sous-jeux de ce jeu. Exercice 4 Deux projets de loi X et Y sont en concurrence. Le projet qui obtient la majorité de K (K impair) députés est adopté. Deux groupes de pression s opposent. Le groupe X soutient le projet de loi X: Le groupe Y soutient le projet Y. Le groupe de pression X peut verser une somme x i au député i et le groupe Y une somme y i : Un député vote pour le projet qui lui promet le plus (en cas d égalité, il vote pour Y ). Le surplus du groupe de pression X est égal à X P K i=1 x P i si le projet X est adopté et K i=1 x i sinon où le paramètre X (X > 0) représente le surplus brut du groupe X si le projet X est adopté. De P la même façon, le surplus du groupe Y en cas d adoption du projet Y est égal à Y K i=1 y P i et K i=1 y i sinon. L objectif de chacun des deux groupes est de maximiser le surplus obtenu. Le jeu se déroule séquentiellement. Le groupe X fait des o res aux K députés. Le groupe Y observe ces o res et fait, à son tour, des o res aux K députés. En n, dans une troisième étape les députés votent. 6

7 1. Pour quels niveaux des x i ; Y parvient-il à faire adopter le projet Y? 2. Quels sont les paiements e ectués par X qui permettent au projet X d être adopté? 3. En déduire l équilibre parfait en sous jeux selon les valeurs de X et Y: 4. Combien dépense Y? Le projet le mieux valorisé est-il toujours adopté? 7