c. Démontrer que la probabilité de l événement G est d. Calculer la probabilité qu une personne qui a gagné soit un tricheur.

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1 Exercice 1 : Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenades c 1, c 2, c 3, c 4 et c 5 A Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment l une de l autre, l un des cinq circuits 1 Combien y a-t-il de tirages possibles pour l ensemble des deux familles? 2 Quelle est la probabilité qu elles fassent le même jour, le même circuit? 3 Quelle est la probabilité que pendant n jours consécutifs, elles ne se trouvent jamais sur le même circuit? 4 Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieur à 0,9 B On considère dans cette partie deux jours consécutifs Le deuxième jour, chaque famille élimine le circuit qu elle a fait la veille Il reste donc 4 circuits pour chacune des deux familles On note E l événement «les deux familles font le même circuit le premier jour» et F l événement «les deux familles font le même circuit le deuxième jour» Calculer les probabilités suivantes : p ( E), p ( F), p ( F) puis ( E F) et p E F Déduire p( F) E E p ( ) Exercice 2 : On tire trois boules simultanément et au hasard d une urne contenant trois boules blanches, trois boules noires, trois vertes et trois rouges On suppose l équiprobabilité des tirages Tous les résultats seront donnés sous forme fractions irréductibles 1 X est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues Déterminer la loi de probabilité de X 2 Pour gagner, il faut tirer au moins deux boules blanches, mais on estime qu un joueur sur dix est un tricheur et qu un tricheur gagne avec une probabilité égale à 1 2 On note : T l événement «être un tricheur», T l événement contraire de T, G l événement «gagner au jeu» a Calculer la probabilité de l événement «gagner pour un non-tricheur», c est à dire p ( ) T G En déduire la probabilité de l événement G T b Calculer p(g T) c Démontrer que la probabilité de l événement G est d Calculer la probabilité qu une personne qui a gagné soit un tricheur Les probabilités page 1 sur 1 Sujets

2 Exercice 3 : Les résultats sont données à 10-3 près Une entreprise confie à une société de sondage par téléphonie une enquête sur la qualité de ses produits Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter Lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant soit absent est 0,4 Sachant que le correspondant est présent, la probabilité qu il accepte de répondre au questionnaire est 0,2 1 On note : A 1 l événement : «la personne est absente lors du premier appel» ; R 1 l événement : «la personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel» Quel est la probabilité de R 1? 2 Lorsqu une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité qu elle soit absente est 0,3 Et sachant qu elle est présente lors du second appel, la probabilité qu elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2 Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter On note : A 2 l événement : «la personne est absente lors du second appel» ; R 2 l événement : «la personne accepte de répondre au questionnaire lors du second appel» R l événement : «la personne accepte de répondre au questionnaire» Démontrer que la probabilité de R est 0,176 3 Sachant qu une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle est la probabilité que la réponse ait eu lieu lors du premier appel? 4 On suppose que les sondages auprès des personnes d une même liste sont indépendants Un enquêteur a une liste de vingt personnes à contacter Quelle est la probabilité qu au moins une personne accepte de répondre au questionnaire? Les probabilités page 2 sur 2 Sujets

3 Exercice 5 : Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles Un joueur achète 1 euro un billet permettant de participer à un jeu constitué d un grattage suivi d une loterie Il gratte une case sur le billet Il peut alors gagner 10 euros avec une probabilité de 1 ou bien ne rien gagner 50 G désigne l événement : «le joueur gagne au grattage» Il participe ensuite à la loterie avec le même billet A cette loterie, il peut gagner 10 euros, 20 euros, ou bien ne rien gagner L 1 désigne l événement : «le joueur gagne 10 euros à la loterie» L 2 désigne l événement : «le joueur gagne 20 euros à la loterie» P désigne l événement : «le joueur ne gagne rien à la loterie» Si le joueur n a rien gagné au grattage, la probabilité qu il gagne 10 euros est 1 70 à la 1 loterie et la probabilité qu il gagne 20 euros à la loterie est 490 1a Faites un arbre Indiquer dessus les renseignements qui précèdent b Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu il n a rien gagné au grattage Compléter l arbre obtenu avec cette valeur c Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet 1 On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet 2 La probabilité de l événement «X = 9» est La probabilité de l événement «X = 19» est 250 a Démontrer que la probabilité que le joueur gagne 10 euros à la loterie, sachant qu il a gagné 10 euros au grattage, est égale à 1 10 b Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu il a gagné 10 euros au grattage c Déterminer la loi de probabilité de X Calculer l espérance de X Interpréter Les probabilités page 3 sur 3 Sujets

4 Exercice 6 : a est un nombre réel On considère la suite (u n ) des nombres réels définie pour tout entier naturel n > 0 par la relation de récurrence : 4 3 un+ 1 = un, et par la condition initiale u 1 = a a (v n ) est la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel n > 0 par : v = 13u 4 n n Démontrer que (v n ) est une suite géométrique et déterminer sa raison k Exprimer v n en fonction de n et de a b Prouver que, pour tout entier naturel n > 0 : c Déterminer la limite de la suite (u n ) n un = + a Un professeur oublie fréquemment les clés de sa salle de classe Pour tout entier naturel n > 0, on note E n l événement : «le professeur oublie ses clés le jour n» et E n l événement contraire de E n p n est la probabilité de E n et q n celle de E n On note p 1 la probabilité qu il oublie ses clés le premier jour On suppose en outre que les deux conditions suivantes sont réalisées : Si le jour n, il oublie ses clés, la probabilité qu il les oublie encore le jour suivant n + 1 est 1 10 Si le jour n, il n oublie pas ses clés, la probabilité qu il les oublie le jour suivant n + 1 est a Démontrer que, pour tout n > 0 : pn+ 1 = pn + q n b En déduire l expression de p n+1 en fonction de p n c A l aide des résultats de la question 1, donner l expression de p n en fonction de a et de n La limite de la suite (p n ) dépend-elle de la condition initiale a? Les probabilités page 4 sur 4 Sujets

5 Exercice 6 Alice débute au jeu de fléchettes Elle effectue des lancers successifs d une fléchette Lorsqu elle atteint la cible, la probabilité qu elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 3 1 Lorsqu elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu elle manque la cible au lancer suivant est égale à 5 4 On suppose qu au premier lancer, elle a autant de chance d atteindre la cible que de la manquer Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les événements : A n : «Alice atteint la cible au n-ième coup» BBn : «Alice rate la cible au n-ième coup» On pose p n = p(a n ) Pour les questions 1 et 2 on pourra éventuellement utilisé un arbre pondéré 1 Déterminer p 1 et démontrer que p 2 = Démontrer que, pour tout entier naturel n 2 : p 3 Pour tout entier n 1, on pose u = 3 n pn 13 n = pn Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique Préciser son premier terme u 1 et sa raison q 4 Ecrire u n, puis p n, en fonction de n 5 Déterminer lim pn n Les probabilités page 5 sur 5 Sujets