Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011

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1 Corrction du baccalauréat S (obligatoir Polynési 0 juin 0 Exrcic Commun à tous ls candidats points Méthod : L dssin suggèr d considérr la rotation d cntr A t d angl π Son écritur complx st : z z A = i (z z A z +i= O i (z +i L imag B du point B dans ctt rotation a - donc pour affix : z B +i=i(7 i +i -4 z B = i+ i = 0 L imag d B dans la rotation d cntr A t d angl π -6 st l point O Cci démontr qu l triangl ABO st isocèl t rctangl n A Méthod : OA = z A = + = 9 ; AB = z B z A = 7 i +i = +i = +4=9 ; OB = z B = 7 i = 7 + = 49+9=8 A 4 6 D un part AO = AB AO=AB ABO st isocèl n A ; D autr part 9+9 = 8 AO + Ab = OB ABO st rctangl n A d après la réciproqu du théorèm d Pythagor Méthod : Soit Z = z O z A = +i = i(i+ z B z A +i i+ = i On a Z = AO AB D plus arg(z = =, soit AO = AB ; ( AB, AO = π c qui montr qu l angl BAO st droit L triangl ABO st donc rctangl isocèl n A Méthod 4 : z O z A = z O z A = i signifi qu O st l imag d B dans la rotation d cntr z B z A z B z A A t d angl π Soint A t B ls points d affixs rspctivs i t i On a z i = z + i AM = BM M médiatric d [AB] mais comm A t B appartinnnt à l ax ds ordonnés, la médiatric d [AB] (d équation y = st parallèl à l ax ds abscisss La proposition st vrai z = +i, donc z = 9+= = ( z = On put n facorisant c modul écrir : z = ( + i = ( cos π 6 + i sin π 6 = i π 6 ( Donc, pour n N, z n = i π n ( n 6 = i nπ 6 = ( n i nπ Or i nπ st égal à i,, i ou suivant ls valurs d n t la puissanc n st donc un nombr imaginair qu pour n impair La proposition st fauss B

2 Corrction du baccalauréat S A P M E P 4 Soit z un nombr complx non nul d argumnt π On put donc écrir z = ρi avc ρ rél positif non nul Donc i+z =+ z i+ρi =+ ρi i(+ρ =+ ρi +ρ= +ρ qui st bin vrai La proposition 4 st vrai Soit z un nombr complx non nul Si l modul d z st égal à alors z s écrit z = iθ, avc θ R Donc z + z = iθ + iθ = iθ + iθ = cos θ+ i sin θ+ cosθ i sin θ = cos θ qui st un rél Exrcic Ensignmnt obligatoir points On a l arbr pondéré suivant : 0,8 G 0, G 0, G 0,9 G 0,6 G 0,4 On a p = p (G G + p (G G = p (G p G (G + p (G p (G (G = 0, 0,8+0,9 0,6 = 0,08+0,4= 0,6 ( p (G G Il faut trouvr p G G = = 0,4 p (G 0,6 = 7 4 La probabilité qu l jouur n gagn aucun ds trois partis st égal à 0, 9 0,4 0,4= 0,44 La probabilité qu il gagn au moins un parti st donc égal à 0,44= 0,86 À la parti n, on a l arbr suivant : G 0,8 G n+ p n G n 0, G n+ On a donc p n+ = p (G n G n+ +p 0,6 G n+ p n G n G n+ 0,4 (G n G n+ = p (G n p Gn (G n+ +p (G n p Gn (G n+ = p n 0,8+ ( p n 0,6 = 0,8pn + 0,6 0,6p n = 0,p n + 0,6 = p n+ Polynési 0 juin 0

3 Corrction du baccalauréat S A P M E P 6 Initialisation On a bin 4 4 Hérédité ( = 4 0 = = 0 0 = 0 = 0,= p ( a Supposons qu il xist a N, a> tl qu p a = 4 4 D après la formul démontré à la qustion 4 : p a+ = p a + = [ 4 ( a ] + 4 = 4 + ( a+ = ( a+ = 4 4 ( a+ La propriété st vrai au rang a+ 4 On a donc démontré par récurrnc qu pour n N, u n = 4 ( n 4 7 Comm < ( n <, on a lim = 0, donc lim n + u n = n + 4 = 0,7 8 On a : 4 p n < 0 7 ( 4 4 ( n < 0 7 ( n < 0 7 ( 4 4 n < (par croissanc d la fonction logarithm népérin ( ( ( ln n ln < ln n> ( ln ( ln Or ( 0,7 ln Donc u approch la limit 4 à moins d 0 7 Exrcic points Ensignmnt d spécialité u = 0u 0 + or u 0 = donc u = 0 += ; u = 0u + =0 += ; u = 0u + =0 += a Initialisation = 0 7 = = = u 0 donc on a bin la propriété vrai au rang 0 Hérédité : Supposons qu pour un ntir naturl n, u n = 0 n+ 7 alors u n+ = (0u n +=0 (u n +6=0(0 n+ 7+6=0 (n =0 (n++ 7 La propriété st donc bin héréditair La propriété st vrai au rang 0 t ll st héréditair, ll st donc vrai pour tout naturl n : u n = 0 n+ 7 b Pour tout naturl n, 0n+ = k=n 0 k donc u n = k=n 9 0 k 6 = 0 k=0 k=0 k=n 9 0 k +0 6= k=n 9 0 k +=999 t donc u n = k=n 0 k += k= k= }{{} avc n chiffrs n chiffrs u = avc 8, or n st divisibl ni par ; ; ; 7 ; ; ; 7 : ls nombrs prmirs infériurs ou égaux à 8 u st donc prmir k= Polynési 0 juin 0

4 Corrction du baccalauréat S A P M E P 4 D après a, pour tout naturl n, u n = avc n chiffrs L chiffr ds unités d u n st, impair, donc n divis pas u n La somm d ss chiffrs st ++++ (modulo donc n divis pas u n L chiffr ds unités d u n st, différnt d 0 t, donc n divis pas u n a 0= + t 7=4 donc 0 t 7 4 (modulo, donc u n = 0 n+ 7 ( n+ + 4 ( ( n ( n (modulo b Si u n était divisibl par alors u n l srait a fortiori, or pour n pair u n 4 (modulo t pour n impair u n 4 ( (modulo donc n divis pas u n a 7 st un nombr prmir qui n divis pas 6 donc d après l ptit théorèm d Frmat, 0 6 (modulo 7 b Pour tout naturl k, u 6k+8 = 0 6k+9 7= ( 0 6 k k (modulo 7 Or 6 7=0 donc 0 (modulo 7 donc 0 9 = 0 ( 0 4 0( ( 0 t donc u 6k (modulo 7 donc 7 divis u 6k+8 Or 7 st prmir avc t d après l théorèm d Gauss, 7 divis u 6k+8 Exrcic Ensignmnt obligatoir points Parti A : Rstitution organisé d connaissancs On supposra connus ls résultats suivants : Démonstration classiqu basé sur l intégral d la fonction continu (uv = u v+ uv Parti B a lim x + x =+ t lim ln x =+ ntraînnt lim f (x=+ x + x + b f produit d fonctions dérivabls sur ]0 ; + [ st dérivabl sur ct intrvall t f (x=x ln x+ x = x ln x+ x = x(ln x+ x Or x > 0, donc l sign d f (x st clui d ln x+ t : ln x+>0 ln x > (par croissanc d la fonction xponntill x > Donc f st croissant sur ] [ ; + D mêm ln x+< 0 ln x < (par croissanc d la fonction xponntill x < Donc f st décroissant sur Rm On put écrir = ] [ 0 ; = Un équation d la tangnt (T x0 à (C n un point d coordonnés ( x 0 ; x0 ln x 0 st : M(X ; Y (T x0 Y ( x 0 ln x 0 = f (x 0 (X x 0 En particulir O(0 ; 0 (T x0 0 ( x0 ln x 0 = x0 (ln x 0 + (0 x 0 x0 ln x 0 = x0 ln x 0 x0 x 0 + x 0 ln x 0 = 0 x0 (+ln x 0 = 0 +ln x 0 = 0, car la solution x 0 = 0 n st pas possibl Polynési 4 0 juin 0

5 Corrction du baccalauréat S A P M E P Finalmnt : +ln x 0 = 0 ln x 0 = x 0 = = Il xist donc un tangnt uniqu (T à la courb (C passant par O Un d ss équations st : M(x ; y (T Y = X a Soit g la fonction défini sur ]0 ; + [ par g (x= x (ln x Ctt fonction produit d fonctions dérivabls sur ]0 ; + [ st dérivabl t sur ct intrvall : g (x= x4 x (ln x + x = x4 ln x x4 + x4 = x4 ln x Conclusion la fonction g st un primitiv d la fonction x x 4 ln x sur ]0 ; + [ b On a V = π[x ln x] dx = { u (x = x 4 ln x Soint v(x = ln x πx 4 ln x ln x dx d où u(x v (x = x (ln x = x On a donc n intégrant par partis puisqu touts ls fonctions u(x,u (x, v(x t v (x sont continus sur ]0 ; + [ : [ x ] x V = π (ln x ln x π (ln x x dx= π [ x (ln x ln x ] π [ x [ ( 6 0 ] π x4 ln x dx+ π π (ln x x = 6π π [ (ln ] [ (ln π 7π = π ( 7 ] x 4 dx= ] = 6π π [ ( 7 ] = Exrcic 4 points Ensignmnt obligatoir Parti A Comm + 0, K xist t st défini par KD + KF = 0 KD + DF = 0 DK = DF DK = DF Comm D(0 ; 0 ; 0 t F( ; ;, l égalité précédnt donn : x K = (= y K = (= z K = (= ( Donc K ; ; Polynési 0 juin 0

6 Corrction du baccalauréat S A P M E P E( ; 0 ; donc ( EK ; ; t DF ( ; ; Donc EK DF = + = 0 Ls vcturs sont orthogonaux donc ls droits (EK t (DF sont orthogonals On a EK = EK = EK EK = = 6 9 EK= 6 Parti B Qul qu soit l point M, la bas EMF du tétraèdr EMFD st inclus dans la fac supériur du cub EFGH qui st st prpndiculair à l arêt [DH] qui st donc un hautur du tétraèdr rlativ à la bas EMF Qull qu soit la position du point M, l air d la bas st l air d un triangl d bas t d hautur [EH] dont la longuur st aussi On a donc : A (EMH= = D où l volum chrché : V (EMFD= = 6 Par définition d M, M, F t D n sont pas alignés : ils définissnt donc un plan uniqu On a M(0 ; m ; ; donc M(0 ; m ; MFD ( +m 0+m m =0 qui st vrai F( ; ; ; donc E( ; 0 ; MFD ( +m + m =0 qui st vrai Enfin D(0 ; 0 ; 0 MFD ( +m 0+0 m 0= 0 qui st vrai Conclusion : ( + mx + y mz = 0 st bin un équation du plan (MFD a On sait qu d m = d(e ; (MFD= ( +mx E+ y E mz E ( +m + + m = ( +m+ 0 m +m m+ = m m+ b La distanc maximal corrspond à la valur minimal d m m+ c st-à-dir du trinôm m m+ Or m m+= ( m m+ [ (m [ (m = 4 ]= + ] + 4 La valur minimal d ctt somm d dux carrés st obtnu quand l prmir carré st nul, soit quand m= (valur possibl puisqu 0 m t l minimum vaut alors La distanc minimal st donc égal à = c Or = = 6 =EK D autr part on sait qu l barycntr K appartint à la droit (DF donc au plan (MFD Lorsqu la distanc du point K au plan (MFD st maximal, soit quand M st l miliu d [HG], l point K st l projté orthogonal du point E sur l plan (MFD Polynési 6 0 juin 0

7 Corrction du baccalauréat S A P M E P H M G E F K D C A B Polynési 7 0 juin 0

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