T/2. T e jtω s(t u)e jωu du, ω R. l=0 = r=1

Transcription

1 Quelques errata Théorie et Analyse du Signal (Alain Yger Page 0, ligne -3 : la sommation principale est à prendre entre et m et non entre et m +. Page 7, ligne 8: lire:... ce qui montre que les réels µ j représentent... Page 8, ligne 5: lire.894 au lieu de.55. Page 8, légende de la figure.7: il faut lire ω 0 = 5, s = ξ λ, λ [.894, ] Page 34. Contrairement à ce qui est dit à la ligne, B n est pas un sousespace fermé, mais seulement une partie fermée. Il faut donc lire à partir de cette ligne, et jusqu à la ligne 7: (la limite, et non seulement la limite supérieure, existe est une partie fermée de B, que nous noterons B (on invite le lecteur à faire ici l exercice. Parmi les signaux qui appartiennent à cette partie B, on trouve les combinaisons linéaires finies de signaux du type t e jωt, ω R. D autre part, si s et s sont deux signaux dans un sous-espace de B,... Page 37, ligne 3: il faut lire a ω (s;t := lim B T Page 66 : lire la formule : T/ T e jtω s(t ue jωu du, ω R T/ L (;, [ ] s, s;n 0 (W l l= l=0, (W l l= m l=0 = r= a n0 ; r δ( r, Page 68: il y a quelques confusions d indices; à partir de la ligne 3, il faut lire: Ce que l on peut aussi écrire en écrivant que m r= { 0 si < e r, (W l l= l=0 >,..., = m si est égal à l un des r, r =,...,m Ce sont les pics de la fonction m r= < e r, (W l l= l=0 > qui permettent donc dans ce cas exactement...

2 Page 70: quelques erreurs se sont glissées dans la figure, qu il faut voir : comme ci-dessous : x(0 x( x(4 x( -4 x( - FFT X(0 X( X( X( - X( - x( x(3 x(5 x( -3 x( - FFT 0 x W x W x W xw xw /- /- X( X( + X( + X( - X( - Figure : Algorithme de Cooley Tucey / = = Page 88, à partir de la ligne -3: il faut lire, jusquà la fin de la page: ous nous donnons donc un signal θ de classe C, de support dans [ /3, 4/3], identiquement égal à sur [/3, /3], de graphe symétrique par rapport à l axe vertical {t = /}, tel enfin que θ(t + θ( + t, t [ /3, /3]. Si l on pose ψ 0 (t = θ(t/t, on voit que le signal ψ 0 régit une partition localement finie de l unité + = ψ 0 (t T. On a donc, pour tout signal test ϕ D(R, + = = Z (ψ 0 s(t T,ϕ = Z < ϕ(t + Ts(t,ψ 0 (t >= ϕ(t = ϕ(ts(t, + = < ψ 0 (ts(t,ϕ(t + T >= Z s(t + T,ψ 0 (t ψ 0 (t T =< s,ϕ >. Ceci achève bien la preuve de la formule (3.43 avec ψ = sψ 0. Le calcul de spectre est alors immédiat comme conséquence de la proposition 3..

3 Page 9, ligne -: il faut lire ici, à la place de la formule écrite : t ( π δ(t j VP( π t. Page 6, ligne 0: dans la définition de R T,Ω : R T,Ω s : t π T T s(u sin Ω(t u du. t u Page 7, énoncé du théorème 3.5: il faut lire l algorithme itératif S = ŝ, S = S χ [ Ω,Ω] s = S, s = s + (s s χ [ T,T] Page, ligne -5: il faut dire dω et non dt. Même remarque aux lignes 9 et 7: lire dx dans les intégrales des membres de droite au lieu de dt. Page 38, théorème 4.: il faut lire...filtre discret stationnaire causal... (ligne 4 et filtre continu stationnaire causal... (ligne 9. Page 70, ligne 7 : lire ĥ(ωc,m (ω = Page 80, légende de la figure 4.: lire ǫ = 0.06 Page 8, ligne 0: lire Page 8, ligne 3. Lire R d (X = b d( + b d (X + + b d (mx (m + a d (X + + a d (m + X m. Q + (X = α, Q (X α,0 Q (X Page 8, lignes 4,5,6: enlever les étoiles affectant les Q j. Page 9, ligne 4 (fin de la preuve de la proposition 4.6: il faut lire la formule comme suit : f(ωξ = f(xe j<x,ωξ> dx R d ( = f(xe jω<x,ξ> dµ r,ξ dr = R[f](r,ξe jrω dr, <ξ,x>=r 3

4 Page 9, formule (4.70, ligne -9 : il faut lire la formule comme suit : f(x = ( X R(y,ξ(ue j<y x,u> dy du, (4.70 (π d R d ξ(u où ξ(u désigne un vecteur arbitraire de S d orthogonal à u. Page 03: ligne 3 : L[X + B] = l Z h(l(x l + B l. Page 03: formule (5.0 : [( E X l= Page, ligne 6: lire ] h opt (l(x l + B l (X ν + B ν = 0, ν Z, Z. F(z = b( + b(z + b(mz m+ + a(z + + a(m + z m Page 5: Dans la chaîne d inclusions de la définition 6., il faut lire V V V V 0 V Page 8: ligne 7: ϕ,l (t = / ϕ( t l Page 0: ligne 5, une parenthèse est trop grande ; lire: ( p F[( c ( l l ](ω = m [p] 0 (ω q=0 m [p] 0 ( πq ω + p F[(c ( l l ] ( ω + πq p, Page : ligne 8: ψ,l (t = / ψ( t l Page 4: ligne 5:... au signal discret fourni par... Page 3: Il faut lire la formule (6.0 comme : a WT ψ [s](a,b = ŝ(ω ψ(aωe jbω dω = a F [ŝ ψ(a( ](b (6.0 π R 4

5 Page 37: ligne 3 :... voisin de 0 et β ]0,m] si et seulement si... Page 40: ligne 5:...au niveau j différente de celle... Page 4: Le signal s (t est le signal τ s ( t τ ( τ s t +. Ligne -3 Il faut lire: Lorsque /α est assez grand... Page 4: Il faut inverser dt et dω dans la formule (6.33. Ligne, les crochets sont mal placés; il faut lire t F [Θ(t, ](τ. Dans la définition de la transformée de Wigner-Ville, il faut lire C[s](t,ω =... = s ( t τ ( τ s t + e jωτ dτ. π R Page 44 : formule (6.36, proposition 6.7 : < s,s > L (R = π WV[s,s ;, ], WV[s,s ;, ]. (6.36 L (R Page 44 : ligne 3 (fin de calcul : = s (ts (tdt. π Page 45: dans la définition de s (ligne 0, figurait sin(45πt et non sin(45t. Page 48: ligne -5 ; il faut lire b au lieu de a. Page 49: dernière ligne: lire θ + θ + σ,+,l. Page 50: ligne 4: L (R = ( < 0 W W0, 0 + ( > 0 + W. 5