Synthèse de cours PanaMaths Fonctions dérivables convexes

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1 Synthèse de cours PanaMaths Définitions et eemples fondamentau Définitions à un point Soit C sa courbe représentative dans un repère tel que l ae des ordonnées est orienté du bas vers le haut La fonction f est dite «convee sur l intervalle I» (respectivement «concave sur l intervalle I») si pour tout point M de C, la courbe représentative C de la fonction f est située au-dessus (respectivement en dessous) de la tangente passant par M Cas d une fonction convee : PanaMaths [1-7] Juillet 2012

2 wwwpanamathsnet Cas d une fonction concave Remarques : Etudier la conveité d une fonction sur un intervalle donné c est déterminer si la fonction considérée est convee ou concave sur l intervalle considéré Dans la mesure où elle peut n être ni convee, ni concave, on pourra être amené à préciser des sous-intervalles de l intervalle considéré sur lesquels la fonction est convee ou concave Par eemple, en étudiant la conveité de la fonction est : concave sur ; convee sur 3 sur, on conclut que celle-ci Les seules fonctions à la fois convees et concaves sur un intervalle donné sont les fonctions affines PanaMaths [2-7] Juillet 2012

3 Quelques eemples fondamentau wwwpanamathsnet Fonctions convees n Toute fonction de la forme où n est un entier naturel non nul est convee sur l intervalle (et même sur lorsque n est pair) La fonction inverse est convee sur l intervalle Plus généralement, toute fonction 1 de la forme n où n est un entier naturel non nul est convee sur l intervalle La fonction eponentielle est convee sur Fonctions concaves La fonction racine carrée est concave sur l intervalle La fonction inverse est concave sur l intervalle La fonction logarithme népérien est concave sur l intervalle Remarque : ce qui précède n est pas à apprendre par cœur! La connaissance des fonctions de référence, en particulier la forme de leurs courbes représentatives doit permettre de retrouver rapidement leur conveité sur tel ou tel intervalle Deu cas particuliers Avec la fonction eponentielle L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction eponentielle au point d abscisse 0 est : y = 1 La fonction eponentielle étant convee sur, on en déduit l inégalité fondamentale :, e 1 Mais comme 1 >, on a :, e > Avec la fonction logarithme népérien L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d abscisse 1 est : y = 1 La fonction logarithme népérien étant concave sur, on en déduit l inégalité fondamentale :,ln 1 Mais comme 1 <, on a :,ln< PanaMaths [3-7] Juillet 2012

4 wwwpanamathsnet Interprétation graphique Dans un repère dont l ae des ordonnées est orienté vers le haut, la courbe représentative de la fonction eponentielle est située au-dessus de la courbe représentative de la fonction identité ( ), elle-même située au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien : Caractérisations à l aide de la dérivée Théorème à un point La fonction f est convee (respectivement concave) sur l intervalle I si, et seulement si, la fonction f ' est croissante (respectivement décroissante) sur I PanaMaths [4-7] Juillet 2012

5 wwwpanamathsnet Cas où la fonction est deu fois dérivable Définition à un point On dit que «la fonction f est deu fois dérivable sur l intervalle I» si la fonction dérivée est dérivable sur I f ' Lorsqu elle eiste, la fonction dérivée de la fonction f ' est notée «f ''» ou «( 2) f» Théorème Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et deu fois dérivable sur un intervalle I non réduit à un point La fonction f est convee (respectivement concave) sur l intervalle I si, et seulement si, la fonction f '' est positive (respectivement négative) sur I Point d infleion Définition à un point Soit C sa courbe représentative dans un repère On dit que «la fonction f admet un point d infleion en un point M de C» si la courbe C traverse sa tangente en M Remarque : la conveité de la fonction s inverse au «passage par ce point» (cf la courbe ci-après) PanaMaths [5-7] Juillet 2012

6 wwwpanamathsnet Sur cet eemple, la fonction f est concave à gauche de M et convee à droite Eemple fondamental 3 La fonction admet un point d infleion à l origine Elle est concave sur et convee sur Caractérisations à l aide de la dérivée Théorème à un point La fonction f admet un point d infleion en M ( ; ( )) dérivée f ' de la fonction f admet un etremum pour = a a f a si, et seulement si, la fonction PanaMaths [6-7] Juillet 2012

7 wwwpanamathsnet Cas d une fonction deu fois dérivable Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie et deu fois dérivable sur un intervalle I non réduit à un point La fonction f admet un point d infleion en M ( ; ( )) dérivée seconde a f a si, et seulement si, la fonction f '' de la fonction f s annule en changeant de signe pour = a PanaMaths [7-7] Juillet 2012