I - Programmation linéaire

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2 Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent

3 Formulation Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Soit f : R n R une application linéaire (ou affine).

4 Formulation Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Soit f : R n R une application linéaire (ou affine). Soient ϕ 1,..., ϕ p : R n R, p applications linéaires,

5 Formulation Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Soit f : R n R une application linéaire (ou affine). Soient ϕ 1,..., ϕ p : R n R, p applications linéaires, (b 1,..., b p ) R p, x = (x 1,..., x n ) R n.

6 Formulation Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Soit f : R n R une application linéaire (ou affine). Soient ϕ 1,..., ϕ p : R n R, p applications linéaires, (b 1,..., b p ) R p, x = (x 1,..., x n ) R n. Un problème de programmation linéaire s écrit : min f (x) max soumis aux contraintes inégalitaires (on se dispensera ici de contraintes égalitaires) : ϕ 1 (x 1,..., x n ) b 1 ϕ 2 (x 1,..., x n ) b 2 x. ϕ p (x 1,..., x n ) b p

7 En utilisant le produit scalaire f, ϕ 1,..., ϕ p sont des formes linéaires sur R n. Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation

8 En utilisant le produit scalaire Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f, ϕ 1,..., ϕ p sont des formes linéaires sur R n. = c = (c 1,..., c n ) R n, x = (x 1,..., x n ) R n : f (x) = n c i x i = c, x, i=1 où.,. désigne le produit scalaire usuel de R n.

9 En utilisant le produit scalaire Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f, ϕ 1,..., ϕ p sont des formes linéaires sur R n. = c = (c 1,..., c n ) R n, x = (x 1,..., x n ) R n : f (x) = n c i x i = c, x, i=1 où.,. désigne le produit scalaire usuel de R n. i = 1,..., p, a i = (a i1,..., a in ) R n, ϕ i (x) = n a ij x j = a i, x. j=1

10 Notation matricielle Préliminaires Matrice et vecteur des contraintes : Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation

11 Notation matricielle Préliminaires Matrice et vecteur des contraintes : a 11 a 1n A = (a ij ) i=1 p =.. j=1 n a p1 a pn Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation p n

12 Notation matricielle Préliminaires Matrice et vecteur des contraintes : a 11 a 1n A = (a ij ) i=1 p =.. j=1 n a p1 a pn Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation p n ; b = b 1. b p R p.

13 Notation matricielle Préliminaires Matrice et vecteur des contraintes : a 11 a 1n A = (a ij ) i=1 p =.. j=1 n a p1 a pn Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation p n ; b = b 1. b p R p. Le problème d optimisation s écrit alors sous forme matricielle : min max x Ax b c, x = c x

14 Notation matricielle Préliminaires Matrice et vecteur des contraintes : a 11 a 1n A = (a ij ) i=1 p =.. j=1 n a p1 a pn Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation p n ; b = b 1. b p R p. Le problème d optimisation s écrit alors sous forme matricielle : min max x Ax b c, x = c x Si de plus x 1,..., x n 0, on note x 0.

15 Notation matricielle Préliminaires Matrice et vecteur des contraintes : a 11 a 1n A = (a ij ) i=1 p =.. j=1 n a p1 a pn Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation p n ; b = b 1. b p R p. Le problème d optimisation s écrit alors sous forme matricielle : min max x Ax b c, x = c x Si de plus x 1,..., x n 0, on note x 0. Attention : ne représente qu une inégalité terme à terme.

16 Forme canonique Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Un problème de programmation linéaire est sous forme canonique s il s écrit : max c, x x Ax b x 0

17 Forme canonique Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Un problème de programmation linéaire est sous forme canonique s il s écrit : max c, x x Ax b x 0 Tout problème linéaire peut s écrire sous forme canonique :

18 Forme canonique Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Un problème de programmation linéaire est sous forme canonique s il s écrit : max c, x x Ax b x 0 Tout problème linéaire peut s écrire sous forme canonique : Changer min en max : min c, x max c, x.

19 Forme canonique Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Un problème de programmation linéaire est sous forme canonique s il s écrit : max c, x x Ax b x 0 Tout problème linéaire peut s écrire sous forme canonique : Changer min en max : min c, x max c, x. Contraintes de signe : si x i 0, poser x i = x + i x i avec x + i, x i 0.

20 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Exemple de problème de programmation linéaire. Un société fabrique deux types de produits A et B (par exemple deux types de système audio), dont la vente lui rapporte un bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450 u.m..

21 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Exemple de problème de programmation linéaire. Un société fabrique deux types de produits A et B (par exemple deux types de système audio), dont la vente lui rapporte un bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450 u.m..sa production est limitée respectivement à 120 et 70 unités.

22 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Exemple de problème de programmation linéaire. Un société fabrique deux types de produits A et B (par exemple deux types de système audio), dont la vente lui rapporte un bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450 u.m..sa production est limitée respectivement à 120 et 70 unités. Une même pièce P (par exemple un lecteur CD) rentre dans la fabrication d une unité de A, ainsi que dans la fabrication d une unité de B.

23 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Exemple de problème de programmation linéaire. Un société fabrique deux types de produits A et B (par exemple deux types de système audio), dont la vente lui rapporte un bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450 u.m..sa production est limitée respectivement à 120 et 70 unités. Une même pièce P (par exemple un lecteur CD) rentre dans la fabrication d une unité de A, ainsi que dans la fabrication d une unité de B. Une même pièce Q (par exemple un haut-parleur) rentre dans la fabrication d une unité de A, tandis que deux pièces Q sont nécessaires à la fabrication d une pièce B.

24 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Exemple de problème de programmation linéaire. Un société fabrique deux types de produits A et B (par exemple deux types de système audio), dont la vente lui rapporte un bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450 u.m..sa production est limitée respectivement à 120 et 70 unités. Une même pièce P (par exemple un lecteur CD) rentre dans la fabrication d une unité de A, ainsi que dans la fabrication d une unité de B. Une même pièce Q (par exemple un haut-parleur) rentre dans la fabrication d une unité de A, tandis que deux pièces Q sont nécessaires à la fabrication d une pièce B. Elle dispose d un stock de 140 pièces P et de 180 pièces Q.

25 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Exemple de problème de programmation linéaire. Un société fabrique deux types de produits A et B (par exemple deux types de système audio), dont la vente lui rapporte un bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450 u.m..sa production est limitée respectivement à 120 et 70 unités. Une même pièce P (par exemple un lecteur CD) rentre dans la fabrication d une unité de A, ainsi que dans la fabrication d une unité de B. Une même pièce Q (par exemple un haut-parleur) rentre dans la fabrication d une unité de A, tandis que deux pièces Q sont nécessaires à la fabrication d une pièce B. Elle dispose d un stock de 140 pièces P et de 180 pièces Q. Comment gérer au mieux sa production en produits A, B pour en retirer le bénéfice maximal?

26 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation

27 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y)

28 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y) Le problème d optimisation se formalise alors :

29 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y) Le problème d optimisation se formalise alors : Problème de max : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y)

30 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y) Le problème d optimisation se formalise alors : Problème de max : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y) Limites de production : x 120 y 70

31 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y) Le problème d optimisation se formalise alors : Problème de max : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y) Limites de production : x 120 y 70 Stocks disponibles : x + y 140 x + 2y 180

32 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y) Le problème d optimisation se formalise alors : Problème de max : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y) Limites de production : x 120 y 70 Stocks disponibles : x + y 140 x + 2y 180 Contraintes de signe : x, y 0 (S)

33 Formulation Préliminaires Notons : x la quantité de produits A fabriqués, y la quantité de produits B fabriqués, Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation f (x, y) = 150x + 450y la fonction économique qui donne le bénéfice brut pour une production (x, y) Le problème d optimisation se formalise alors : Problème de max : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y) Limites de production : x 120 y 70 Stocks disponibles : x + y 140 x + 2y 180 Contraintes de signe : x, y 0 (S)

34 x + 2y = 180 Le domaine admissible D x + y = 140 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation y = 70 x = 120 Le domaine admissible est le polygone convexe de R 2 : D = {(x, y) R 2 0 x 120, 0 y 70, x+y 140, x+2y 180}

35 k 450 Préliminaires x + 2y = 180 Le domaine admissible D x + y = 140 Ligne de niveau k Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation y = 70 x = 120 La ligne de niveau k est la droite 150x + 450y = k ; les lignes de niveau forment un faisceau de droites parallèles, de pente 1/3.

36 k 450 Préliminaires x + 2y = 180 (40, 70) Le domaine admissible D x + y = 140 Ligne de niveau k Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation y = 70 Ligne de niveau f max x = 120 Le maximum est atteint sur l un des sommets de l hexagone :

37 k 450 Préliminaires x + 2y = 180 (40, 70) Le domaine admissible D x + y = 140 Ligne de niveau k Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation y = 70 Ligne de niveau f max x = 120 Le maximum est atteint sur l un des sommets de l hexagone : il faut produire 40 pièces A et 70 pièces B pour une bénéfice de u.m..

38 y z Préliminaires (40, 70, f max ) {(x, y, f (x, y)) R 3 (x, y) D} Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation D R 2 La nappe représentative de f au dessus de D. x

39 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation

40 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n.

41 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces.

42 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces. C est un polytope convexe, ayant un nombre fini de sommets.

43 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces. C est un polytope convexe, ayant un nombre fini de sommets. Il peut être borné, ou non borné : borné non borné

44 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces. C est un polytope convexe, ayant un nombre fini de sommets. Il peut être borné, ou non borné : borné lorsqu il est borné, c est un compact non borné

45 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces. C est un polytope convexe, ayant un nombre fini de sommets. Il peut être borné, ou non borné : borné non borné lorsqu il est borné, c est un compact = f y admet un maximum.

46 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces. C est un polytope convexe, ayant un nombre fini de sommets. Il peut être borné, ou non borné : borné non borné lorsqu il est borné, c est un compact = f y admet un maximum. Les hypersurfaces de niveau forment un faisceau d hyperplans parallèles

47 En dimension n Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Chaque contrainte inégalitaire est l équation d un demi-espace. Sa frontière est un hyperplan affine de R n. Le domaine admissible est l intersection d un nombre fini de demi-espaces. C est un polytope convexe, ayant un nombre fini de sommets. Il peut être borné, ou non borné : borné non borné lorsqu il est borné, c est un compact = f y admet un maximum. Les hypersurfaces de niveau forment un faisceau d hyperplans parallèles = lorsqu un max existe, il est atteint sur l un des sommets.

48 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Théorème fondamental de la Programmation linéaire

49 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Théorème fondamental de la Programmation linéaire On a obtenu : Théorème (Programmation linéaire) En programmation linéaire, le domaine admissible, s il est ni vide ni tout R n, est un polytope convexe ayant un nombre fini de sommets, qui peut être borné ou non borné.

50 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Théorème fondamental de la Programmation linéaire On a obtenu : Théorème (Programmation linéaire) En programmation linéaire, le domaine admissible, s il est ni vide ni tout R n, est un polytope convexe ayant un nombre fini de sommets, qui peut être borné ou non borné. Si un extremum existe alors il est atteint sur l un des sommets du polytope. Un point dans l intérieur du domaine n est jamais extremal si f 0.

51 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Théorème fondamental de la Programmation linéaire On a obtenu : Théorème (Programmation linéaire) En programmation linéaire, le domaine admissible, s il est ni vide ni tout R n, est un polytope convexe ayant un nombre fini de sommets, qui peut être borné ou non borné. Si un extremum existe alors il est atteint sur l un des sommets du polytope. Un point dans l intérieur du domaine n est jamais extremal si f 0. Lorsque le polytope est borné, f y prend un minimum ainsi qu un maximum.

52 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Théorème fondamental de la Programmation linéaire On a obtenu : Théorème (Programmation linéaire) En programmation linéaire, le domaine admissible, s il est ni vide ni tout R n, est un polytope convexe ayant un nombre fini de sommets, qui peut être borné ou non borné. Si un extremum existe alors il est atteint sur l un des sommets du polytope. Un point dans l intérieur du domaine n est jamais extremal si f 0. Lorsque le polytope est borné, f y prend un minimum ainsi qu un maximum. = Fournit en particulier une méthode de résolution géométrique.

53 Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Théorème fondamental de la Programmation linéaire On a obtenu : Théorème (Programmation linéaire) En programmation linéaire, le domaine admissible, s il est ni vide ni tout R n, est un polytope convexe ayant un nombre fini de sommets, qui peut être borné ou non borné. Si un extremum existe alors il est atteint sur l un des sommets du polytope. Un point dans l intérieur du domaine n est jamais extremal si f 0. Lorsque le polytope est borné, f y prend un minimum ainsi qu un maximum. = Fournit en particulier une méthode de résolution géométrique. Méthode à proscrire! on emploiera plutôt la méthode du simplexe.

54 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en 1947.

55 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire.

56 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées.

57 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine).

58 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine). Une itération consiste en un saut sur un sommet voisin qui accroît la valeur de la fonction.

59 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine). Une itération consiste en un saut sur un sommet voisin qui accroît la valeur de la fonction. Lorsque ce n est plus possible on se trouve sur un maximum local.

60 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine). Une itération consiste en un saut sur un sommet voisin qui accroît la valeur de la fonction. Lorsque ce n est plus possible on se trouve sur un maximum local. La linéarité -plus encore la convexité- assure que c est un maximum global.

61 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine). Une itération consiste en un saut sur un sommet voisin qui accroît la valeur de la fonction. Lorsque ce n est plus possible on se trouve sur un maximum local. La linéarité -plus encore la convexité- assure que c est un maximum global. Lorsqu il n y a pas de maximum la méthode le signale.

62 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine). Une itération consiste en un saut sur un sommet voisin qui accroît la valeur de la fonction. Lorsque ce n est plus possible on se trouve sur un maximum local. La linéarité -plus encore la convexité- assure que c est un maximum global. Lorsqu il n y a pas de maximum la méthode le signale. En théorie un phénomène retors de cyclage peut apparaître ;

63 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Méthode inventée par le mathématicien américain Georges Dantzig en Il travaille alors comme conseiller pour l US air force, sur la mécanisation de la planification militaire. C est une méthode très efficace. Une des plus utilisées de toute l histoire des mathématiques appliquées. Elle met à profit ces constations géométriques. On part d un sommet initial (en général l origine). Une itération consiste en un saut sur un sommet voisin qui accroît la valeur de la fonction. Lorsque ce n est plus possible on se trouve sur un maximum local. La linéarité -plus encore la convexité- assure que c est un maximum global. Lorsqu il n y a pas de maximum la méthode le signale. En théorie un phénomène retors de cyclage peut apparaître ; mais il n apparaît presque jamais en pratique.

64 Forme normale Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Un problème de programmation linéaire est sous forme normale, lorsqu il s écrit :

65 Forme normale Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Un problème de programmation linéaire est sous forme normale, lorsqu il s écrit : max c, x x Ax b forme canonique x 0 (S) } b 0 conditions de positivité c 0

66 Forme normale Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Un problème de programmation linéaire est sous forme normale, lorsqu il s écrit : max c, x x Ax b forme canonique x 0 (S) } b 0 conditions de positivité c 0 c est à dire lorsqu en plus d être sous forme canonique il vérifie les deux conditions de positivité.

67 Forme normale Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Un problème de programmation linéaire est sous forme normale, lorsqu il s écrit : max c, x x Ax b forme canonique x 0 (S) } b 0 conditions de positivité c 0 c est à dire lorsqu en plus d être sous forme canonique il vérifie les deux conditions de positivité. On n appliquera la méthode du simplexe qu à des problèmes sous forme normale.

68 Forme normale Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Un problème de programmation linéaire est sous forme normale, lorsqu il s écrit : max c, x x Ax b forme canonique x 0 (S) } b 0 conditions de positivité c 0 c est à dire lorsqu en plus d être sous forme canonique il vérifie les deux conditions de positivité. On n appliquera la méthode du simplexe qu à des problèmes sous forme normale. On verra comment écrire tout problème de programmation linéaire sous forme normale.

69 I : préparation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers

70 I : préparation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers a. On change chaque contrainte inégalitaire ϕ i (x) b i en contrainte égalitaire en introduisant une variable d écart s i :

71 I : préparation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers a. On change chaque contrainte inégalitaire ϕ i (x) b i en contrainte égalitaire en introduisant une variable d écart s i : { ai, x + s a i, x b i i = b i s i 0

72 I : préparation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers a. On change chaque contrainte inégalitaire ϕ i (x) b i en contrainte égalitaire en introduisant une variable d écart s i : { ai, x + s a i, x b i i = b i s i 0 b. On constitue un tableau sur lequel on travaillera :

73 I : préparation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers a. On change chaque contrainte inégalitaire ϕ i (x) b i en contrainte égalitaire en introduisant une variable d écart s i : { ai, x + s a i, x b i i = b i s i 0 b. On constitue un tableau sur lequel on travaillera : x 1 x n s 1 s p b a 11 a 1n. A. a p1 a pn b 1. b p c 1 c n 0 0 f 0 }{{} c } partie centrale } ligne résultat

74 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : Implémentation Boucle principale de l algorithme.

75 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : Implémentation Boucle principale de l algorithme. Tant que la ligne résultat contient un terme > 0 à gauche. Fin tant que.

76 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : Implémentation Boucle principale de l algorithme. Tant que la ligne résultat contient un terme > 0 à gauche. Le plus grand de ces éléments détermine la colonne pivot j. Fin tant que.

77 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : Implémentation Boucle principale de l algorithme. Tant que la ligne résultat contient un terme > 0 à gauche. Le plus grand de ces éléments détermine la colonne pivot j. Choisir un pivot dans la colonne pivot : C est l élément α ij de la partie centrale choisi tel que b i /α ij soit 0 et minimal. Il détermine la ligne pivot (L). Fin tant que.

78 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : Implémentation Boucle principale de l algorithme. Tant que la ligne résultat contient un terme > 0 à gauche. Le plus grand de ces éléments détermine la colonne pivot j. Choisir un pivot dans la colonne pivot : C est l élément α ij de la partie centrale choisi tel que b i /α ij soit 0 et minimal. Il détermine la ligne pivot (L). Si on ne peut pas trouver de pivot : pas de solution. Fin tant que.

79 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : Implémentation Boucle principale de l algorithme. Tant que la ligne résultat contient un terme > 0 à gauche. Le plus grand de ces éléments détermine la colonne pivot j. Choisir un pivot dans la colonne pivot : C est l élément α ij de la partie centrale choisi tel que b i /α ij soit 0 et minimal. Il détermine la ligne pivot (L). Si on ne peut pas trouver de pivot : pas de solution. Sinon ajouter α.(l) à chaque autre ligne jusqu à annuler tous les termes de la colonne pivot autres que le pivot. Fin tant que.

80 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation a 1j. a ij. a pj c max > 0 Colonne pivot b j. b i. b p f R Le plus grand élément de la ligne résultat (à gauche), détermine la colonne pivot

81 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation (L) : a 1j. a ij. a pj c max > 0 Colonne pivot b j. b i. b p f R b i /a ij minimal Le pivot est l élément a ij de la colonne pivot (en haut) tel que b i /a ij soit 0 et minimal. Il détermine la ligne pivot (L).

82 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation (L) : a 1j. a ij. a pj c max > 0 Colonne pivot b j. b i. b p f R a 1j /a ij (L) a pj /a ij (L) c/aij (L) On utilise la ligne pivot pour annuler tous les termes de la colonne pivot, autres que le pivot.

83 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation 0 b j a 1j b i /a ij. a ij.. 0 b p a pj b i /a ij 0 f R c j b i /a ij C est le saut sur un sommet voisin. La valeur de la fonction, qui était R, s est accrue de c j b i /a ij 0.. b i

84 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation Lorsqu il n y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat :

85 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation Lorsqu il n y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat : Barrer les colonnes à la verticale d éléments 0 de la ligne résultat gauche. 0 0 r i < r j < f f max

86 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation Lorsqu il n y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat : Barrer les colonnes à la verticale d éléments 0 de la ligne résultat gauche.chaque variable correspondante est = r i < r j < f f max x i = 0 s j = 0

87 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation Lorsqu il n y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat : Barrer les colonnes à la verticale d éléments 0 de la ligne résultat gauche.chaque variable correspondante est = 0. Déterminer les autres variables en résolvant le système linéaire (S). 0 0 r i < r j < f f max x i = 0 s j = 0 } (S)

88 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation Lorsqu il n y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat : Barrer les colonnes à la verticale d éléments 0 de la ligne résultat gauche.chaque variable correspondante est = 0. Déterminer les autres variables en résolvant le système linéaire (S). 0 0 r i < r j < f f max x i = 0 s j = 0 = On obtient le maximum (x 1, x 2,..., x n ) } (S)

89 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers II : implémentation Lorsqu il n y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat : Barrer les colonnes à la verticale d éléments 0 de la ligne résultat gauche.chaque variable correspondante est = 0. Déterminer les autres variables en résolvant le système linéaire (S). 0 0 r i < r j < f f max x i = 0 s j = 0 = On obtient le maximum (x 1, x 2,..., x n ) ; la valeur maximale f max de f se lit dans la ligne résultat partie droite. } (S)

90 Reprenons l exemple précédent : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y) x 120 y 70 x + y 140 x + 2y 180 x, y 0 (S) Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers

91 Reprenons l exemple précédent : max f (x, y) = 150x + 450y (x,y) x 120 y 70 x + y 140 x + 2y 180 x, y 0 (S) Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers x y s 1 s 2 s 3 s f 0

92 x y s 1 s 2 s 3 s f 0 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers

93 x y s 1 s 2 s 3 s f 0 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers (L) (L) 2(L) 450(L)

94 x y s 1 s 2 s 3 s f 0 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers x y s 1 s 2 s 3 s f (L) (L) 2(L) 450(L)

95 x y s 1 s 2 s 3 s f 0 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers x y s 1 s 2 s 3 s f (L) (L) 2(L) 450(L) (L) (L) (L) 150(L)

96 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers x y s 1 s 2 s 3 s f 37500

97 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers x y s 1 s 2 s 3 s f 37500

98 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers x y s 1 s 2 s 3 s f On obtient pour maximum x 1 = 40, x 2 = 70, et f max = (s 1 = 80, s 2 = 0, s 3 = 30, s 4 = 0).

99 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale

100 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires.

101 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart.

102 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart. En l absence de la contrainte de signe : (S) : x 0, c est à dire si x i 0.

103 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart. En l absence de la contrainte de signe : (S) : x 0, c est à dire si x i 0. Poser x i = x + i x i avec x + i, x i 0.

104 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart. En l absence de la contrainte de signe : (S) : x 0, c est à dire si x i 0. Poser x i = x + i x i avec x + i, x i 0. Si c 0.

105 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart. En l absence de la contrainte de signe : (S) : x 0, c est à dire si x i 0. Poser x i = x + i x i avec x + i, x i 0. Si c 0. Si c i < 0 : poser x i = 0. Dans la matrice de la méthode du simplexe cela revient à barrer (=supprimer) la colonne correspondante.

106 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart. En l absence de la contrainte de signe : (S) : x 0, c est à dire si x i 0. Poser x i = x + i x i avec x + i, x i 0. Si c 0. Si c i < 0 : poser x i = 0. Dans la matrice de la méthode du simplexe cela revient à barrer (=supprimer) la colonne correspondante. Si b 0.

107 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Ecrire un problème max sous forme normale En présence de contrainte égalitaires. L insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d écart. En l absence de la contrainte de signe : (S) : x 0, c est à dire si x i 0. Poser x i = x + i x i avec x + i, x i 0. Si c 0. Si c i < 0 : poser x i = 0. Dans la matrice de la méthode du simplexe cela revient à barrer (=supprimer) la colonne correspondante. Si b 0. Si b i < 0. Changer la contrainte inégalitaire en contrainte égalitaire en insérant une nouvelle variable p i 0. a i1 x a in x n b i a i1 x 1 a in x n p i = b i avec p i 0

108 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Changer un problème min en problème max

109 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Changer un problème min en problème max Théorème (Dualité min/max) Un problème de minimisation en programmation linéaire est équivalent à un problème de maximisation dans le sens suivant : min g(y) = b, y max f (x) = c, x y x A y c Ax b y 0 x 0

110 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Changer un problème min en problème max Théorème (Dualité min/max) Un problème de minimisation en programmation linéaire est équivalent à un problème de maximisation dans le sens suivant : min g(y) = b, y max f (x) = c, x y x A y c Ax b y 0 x 0 g min = f max,

111 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Changer un problème min en problème max Théorème (Dualité min/max) Un problème de minimisation en programmation linéaire est équivalent à un problème de maximisation dans le sens suivant : min g(y) = b, y max f (x) = c, x y x A y c Ax b y 0 x 0 g min = f max, un minimum de g a pour coordonnées les opposés des valeurs dans la ligne résultat à la verticale des variables d écart du problème de maximisation.

112 Exemple de problème de minimisation On considère le problème de minimisation : Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers min 2x + 8y x,y ( ) 1 1 x y x, y 0

113 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Avec le théorème de dualité min/max, il est équivalent au problème de maximisation : max 100x x x x x 5 x 1,...,x 5 ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 ( ) 2 8

114 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Avec le théorème de dualité min/max, il est équivalent au problème de maximisation : max 100x x x x x 5 x 1,...,x 5 ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 ( ) 2 8 qui est sous forme normale. On le résout par la méthode du simplexe.

115 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers f 0

116 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers f /3 1 1/3 7/3 0 2/3 1 20/ f 800

117 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers f /3 1 1/3 7/3 0 2/3 1 20/ f f 1800

118 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers f 2000

119 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers f 2000 = x min = 600 ; y min = 100 ; f min = 2000.

120 Exemple de problème de minimisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers f 2000 = x min = 600 ; y min = 100 ; f min = Remarque. En fait c est plus facile à résoudre dans un problème min que dans un problème max : inutile de résoudre un système linéaire pour trouver la valeur des variables.

121 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Programmation linéaire en nombres entiers

122 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Programmation linéaire en nombres entiers Attention, lorsque un problème d optimisation linéaire cherche une solution entière (c est à dire à coordonnées entières), tout ce que l on a vu jusqu à présent ne s applique pas!

123 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Programmation linéaire en nombres entiers Attention, lorsque un problème d optimisation linéaire cherche une solution entière (c est à dire à coordonnées entières), tout ce que l on a vu jusqu à présent ne s applique pas! La méthode du simplexe donne l optimum sur les réels et non sur les entiers.

124 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Programmation linéaire en nombres entiers Attention, lorsque un problème d optimisation linéaire cherche une solution entière (c est à dire à coordonnées entières), tout ce que l on a vu jusqu à présent ne s applique pas! La méthode du simplexe donne l optimum sur les réels et non sur les entiers. Un tel problème s appelle un problème de programmation linéaire en nombre entiers (PLNE), et c est un domaine de recherche spécifique, utilisant ses outils propres (optimisation combinatoire), que nous ne développerons pas ici.

125 Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Programmation linéaire en nombres entiers Attention, lorsque un problème d optimisation linéaire cherche une solution entière (c est à dire à coordonnées entières), tout ce que l on a vu jusqu à présent ne s applique pas! La méthode du simplexe donne l optimum sur les réels et non sur les entiers. Un tel problème s appelle un problème de programmation linéaire en nombre entiers (PLNE), et c est un domaine de recherche spécifique, utilisant ses outils propres (optimisation combinatoire), que nous ne développerons pas ici. Prendre un arrondi entier d un optimum ne fournit pas en général l optimum en nombre entiers!

126 Exemple de PLNE Soit le problème : max x + 4y x,y y 0, 4 x 0 425x + 200y 670 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers

127 Exemple de PLNE Soit le problème : max x + 4y x,y y 0, 4 x 0 425x + 200y 670 Le domaine admissible. Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers

128 Exemple de PLNE Soit le problème : max x + 4y x,y y 0, 4 x 0 425x + 200y 670 Préliminaires Le maximum est atteint au point (4, 2.5) Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers

129 Exemple de PLNE Soit le problème : max x + 4y x,y y 0, 4 x 0 425x + 200y 670 Préliminaires Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Le maximum est atteint au point (4, 2.5). Le maximum du problème en nombres entiers est (1, 3).

130 Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent

131 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première.

132 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre.

133 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La quantité de x et y produits est limitée par le stock de matière première disponible et par la durée du temps de travail.

134 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La quantité de x et y produits est limitée par le stock de matière première disponible et par la durée du temps de travail. La fabrication d un litre de produit x (resp. y) nécessite 1kg (resp. 1kg) de matière première.

135 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La quantité de x et y produits est limitée par le stock de matière première disponible et par la durée du temps de travail. La fabrication d un litre de produit x (resp. y) nécessite 1kg (resp. 1kg) de matière première. Il faut 15 heures de travail pour fabriquer 100l de x tandis qu il faut 3 heures pour fabriquer 100l de y.

136 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La quantité de x et y produits est limitée par le stock de matière première disponible et par la durée du temps de travail. La fabrication d un litre de produit x (resp. y) nécessite 1kg (resp. 1kg) de matière première. Il faut 15 heures de travail pour fabriquer 100l de x tandis qu il faut 3 heures pour fabriquer 100l de y. On dispose de 1t de matière première et de 45 heures de travail chaque semaine.

137 Exercice 1. Enoncé Préliminaires Exercice 1. Gestion optimale des ressources Exercice 2. Production optimale Exercice 3.a. Problème du consommateur Exercice 3.b. Problème du concurrent Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La quantité de x et y produits est limitée par le stock de matière première disponible et par la durée du temps de travail. La fabrication d un litre de produit x (resp. y) nécessite 1kg (resp. 1kg) de matière première. Il faut 15 heures de travail pour fabriquer 100l de x tandis qu il faut 3 heures pour fabriquer 100l de y. On dispose de 1t de matière première et de 45 heures de travail chaque semaine. Appliquer la méthode du simplexe pour maximiser le profit hebdomadaire. Retour.

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