UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables

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1 UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables 1 Fonctions de plusieurs variables réelles 1.1 éfinitions générales éfinition IR n = IR IR... IR est l ensemble des n-uplets de réels x = (x 1,..., x n ). e la même façon que l on a défini les fonctions d une seule variable réelle, on peut définir les fonctions de plusieurs variables réelles : f : E IR n IR (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) En pratique, on travaillera le plus souvent avec n = 2 ou n = 3. On utilisera parfois dans ce cas la notation (x, y) ou (x, y, z) plutôt que (x 1, x 2 ) ou (x 1, x 2, x 3 ). Exemples : Longueur (ou norme) d un vecteur : f(x 1,..., x n ) = n x 2 i Température en un point : c est une fonction de la position géographique (x, y, z) et du temps t : T (x, y, z, t) Polynômes à plusieurs variables Un polynôme à n variables est une fonction de la forme P (x 1,..., x n ) = a p1,...,p n x p x pn n p 1,...,p n avec les exposants p 1,..., p n entiers et les coefficients a p1,...,p n réels. Le degré total du monôme x p x pn n est p p n. Le degré partiel par rapport à la variable x i du monôme x p x pn n est p i. Un polynôme est dit homogène de degré p s il est constitué de monômes dont le degré total est toujours égal à p. Le degré total d un polynôme est le plus haut degré total des monômes qui le composent. Le degré partiel d un polynôme par rapport à une variable est le plus haut degré partiel par rapport à cette variable des monômes qui le composent. Exemple : P (x, y, z) = x 3 y + z 4 3x 2 z 2 + 7xz 3 est homogène de degré 4. Ses degrés partiels par rapport à x, y et z sont respectivement 3, 1 et 4. 1

2 1.1.3 Continuité La définition de la continuité d une fonction de plusieurs variables est une généralisation du cas d une fonction d une seule variable. Soit f : E IR n IR. f est continue en a = (a 1,..., a n ) si et seulement si lim x a f(x) = f(a). Cette définition peut aussi s écrire de la façon suivante : f est continue en a si et seulement si pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage W de a tel que w W, f(w) V. Exemples : f(x, y) = xy est continue en (0, 0). En effet : Soit f définie par f(x, y) = (0, 0). En effet, 0 f(x, y) xy lim f(x, y) = 0 = f(0, 0). (x,y) (0,0) x3 y si (x, y) (0, 0), et f(0, 0) = 0. f est continue en x 2 + y2 x 2 xy. où x 2 + y lim 2 f(x, y) = 0 = f(0, 0). (x,y) (0,0) Soit f définie par f(x, y) = xy si (x, y) (0, 0), et f(0, 0) = 0. f n est pas x 2 + y2 continue en (0, 0). En effet, en choisissant par exemple y = x, on voit que f(x, x) = 1/2, qui ne tend pas vers f(0, 0) = 0 quand x tend vers 0. Graphiquement, cela se traduit par une rupture dans le dessin de f au voisinage de (0, 0) Généralisation : fonctions de IR n vers IR p On peut généraliser de façon naturelle les fonctions de IR n vers IR et introduire des fonctions de IR n vers IR p pour p > 1 : f : E IR n IR p (x 1,..., x n ) (f 1 (x 1,..., x n ),..., f p (x 1,..., x n )) où chaque fonction f i est une fonction de IR n vers IR. Exemple : Une station météo mobile fournit la température T, la pression P, l humidité θ et la vitesse du vent (u, v, w). C est donc une fonction de IR 4 vers IR 6 : M(x, y, z, t) = (T (x, y, z, t), P (x, y, z, t), θ(x, y, z, t), u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t)). 1.2 Fonctions de deux variables réelles On considère ici f de IR 2 vers IR Représentations graphiques Représentation 3- : on trace en perspective dans IR 3 la surface formée des points (x, y, f(x, y)). Représentation par lignes de niveaux : on trace dans le plan les lignes isovaleurs (ou lignes de niveau) de la fonction. L isoligne de niveau K est {(x, y)/f(x, y) = K} 2

3 Exemple : La ligne de niveau K (K 0) de la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 est le cercle de centre 0 de rayon K Coordonnées polaires Un point M(x, y) du plan peut aussi être repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), définies par x = r cos θ, y = r sin θ, avec r 0 et θ [0, 2π[. r est appelé rayon, et θ angle polaire ou argument. Ce changement de coordonnées (x, y) (r, θ) est bijectif de IR 2 {(0, 0)} vers IR + [0, 2π[. Le changement inverse est : r = x 2 + y 2, cos θ = x x2 + y 2, sin θ = y x2 + y Fonctions de trois variables réelles On considère ici f(x, y, z), de IR 3 vers IR Coordonnées cylindriques Un point M(x, y, z) de IR 3 peut aussi être repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z), définies par x = r cos θ, y = r sin θ, avec r 0 et θ [0, 2π[. (r, θ) est donc l expression en coordonnées polaires de (x, y) Coordonnées sphériques Un point M(x, y, z) de IR 3 peut aussi être repéré par ses coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), définies par x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos ϕ, avec r 0, θ [0, 2π[ et ϕ [0, π]. C est un système de repérage usuel sur une sphère : r est appelé rayon ou distance au centre, θ longitude, ϕ colatitude (π/2 ϕ est la latitude). 2 érivation d une fonction de plusieurs variables 2.1 érivées premières Soit f de IR n vers IR, (e 1,..., e n ) la base canonique de IR n, et a IR n. éfinition Soit d un vecteur de IR n. On appelle dérivée directionnelle de f au point a dans la direction d, notée d (a) : f(a + αd) f(a) (a) = lim d α 0 α = lim α 0 f(a 1 + αd 1,..., a n + αd n ) f(a 1,..., a n ) α La dérivée directionnelle / d est donc une fonction de IR n vers IR. si elle existe 3

4 Exemples : La pente d un relief dans une direction donnée est la dérivée directionnelle dans cette direction. Soit f(x, y) = x 3 y y et d = ( 1 3 2, 2 ). On a : d (x, y) = x2 y + 2 (x3 1). En physique, on parle souvent de dérivée normale et de dérivée tangentielle pour désigner la dérivée directionnelle en un point d une courbe ou d une surface donnée, dans la direction normale ou tangente à cette courbe ou surface. éfinition On appelle dérivée partielle de f par rapport à la i-ème variable x i la dérivée directionnelle de f dans la direction e i. Elle est notée. x i En pratique on calcule / x i comme une dérivée classique, en supposant x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n constants et en dérivant par rapport à x i. éfinition Le vecteur gradf(a) ou f(a). ( (a),..., ) (a) est appelé gradient de f au point a, noté x 1 x n Propriété Si f(a) existe, alors (a) = f(a).d d éfinitions f est partiellement dérivable en a si et seulement si ses dérivées partielles en a par rapport à chaque variable existent. e plus, f est continûment partiellement dérivable en a si et seulement si chaque dérivée partielle existe au voisinage de a et est continue en a. On dit aussi que f est de classe C 1 en a. éfinition On suppose que f est de classe C 1 sur un voisinage de a. On appelle différentielle de f en a l application linéaire notée f[a] définie par f[a] : IR n IR h = (h 1,..., h n ) f[a](h) = (a) h i = f(a).h x i Remarque On utilise souvent la notation dx i au lieu de h i. Exemple Pour f(x, y) = x 3 y y, on a f[(x, y)](dx, dy) = 3x 2 y dx + (x 3 1) dy. Propriété On a : f(a + h) = f(a) + f[a](h) + o( h ), c est à dire f(a + h) f(a) f[a](h) lim h 0 h C est l équivalent de la formule des accroissements finis pour les fonctions d une seule variable. 4 = 0

5 Remarque On a défini ici la différentielle d une fonction de classe C 1. Il existe aussi la définition plus générale suivante : On dit que f (pas forcément de classe C 1 ) est différentiable en a si et seulement si il existe une application linéaire notée f[a] telle que h IR n, f(a + h) = f(a) + f[a](h) + o( h ). Si f est de classe C 1, on retrouve la définition précédente. Mais il peut aussi exister des fonctions non C 1 admettant une différentielle. éfinition Soit f de IR n vers IR p : f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f p (x 1,..., x n )). f est différentiable en a IR n si et seulement si f i est différentiable en a i = 1,..., p. e plus : f[a](h) = (f 1 [a](h),..., f p [a](h)), soit en abrégé f[a] = (f 1 [a],..., f p [a]). Puisque f i [a](h) = f i.h, on a, avec des notations en vecteurs colonnes : f 1 [a](h). f p [a](h) = 1 x 1 [a].. p [a] x 1 1 [a] x n. p [a] x n soit f[a](h) = J f (a).h, où J f (a) est appelée matrice jacobienne de f au point a. Exemple On reprend l exemple du changement de variables en coordonnées polaires x = r cos θ, y = r sin θ. L application des résultats précédents donne ( dx dy ) ( cos θ r sin θ = sin θ r cos θ 2.2 érivation de fonctions composées ) ( dr dθ Propriété Soit f : E 1 IR n IR p et g : E 2 IR p IR. On suppose, pour que g f soit définie, que f(e 1 ) E 2. Soit a E 1. On suppose que f est différentiable en a et que g est différentiable en f(a). Alors g f est différentiable en a et (g f)[a] = g[f(a)] f[a]. Matriciellement, ceci est équivalent à J g f (a) = J g (f(a)) J f (a) Application au changement de variables Soit Φ un changement de coordonnées (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ). Soit f une fonction de classe C 1 et g = f Φ : g(x 1,..., x n ) = f(y 1,..., y n ). La propriété précédente s écrit ) h 1. h n i = 1,..., n x i (x 1,..., x n ) = k=1 y k (y 1,..., y n ) y k x i Cette formule est parfois appelée formule des dérivées totales. 5

6 Exemple Soit une fonction f de IR 2 vers IR. On note g son expression en coordonnées polaires g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) = f(x, y). On a alors : r = x x r + y = cos θ + sin θ y r x y = x x2 + y 2 x + y x2 + y 2 y qui s inverse en θ = x x θ + y y θ = r sin θ + r cos θ x y x = cos θ r 1 r sin θ θ = y x + x y y = sin θ r + 1 r cos θ θ 2.3 érivées d ordres supérieurs Soit une fonction f de E IR n vers IR. éfinition Soient {i 1,..., i k } {1,..., n} k. On dit que f admet une dérivée partielle d ordre k au point a IR n par rapport aux variables x i1,..., x ik si et seulement si ( ) ( ( ) ),,..., existent dans un voisinage de a x i1 x ik 2 x i1, x i2 x i2 x i1 ( x i1 On note cette dérivée ),..., x ik 1 x ik k f x ik... x i1 (a). ( ( x ik 1 x i1 x i1 ) ) (a) existe éfinition On dit que f est de classe C k sur E si et seulement si toutes les dérivées partielles de f jusqu à l ordre k existent et sont continues sur E. Théorème de Schwarz Si f est de classe C 1 2 f 2 f sur E, si et existent sur E x i x j x j x i 2 f et sont continues en a, alors (a) = 2 f (a). x i x j x j x i On en déduit que, pour f de classe C k, l ordre de dérivation dans le calcul des dérivées partielles n a pas d importance. 2.4 Formule de Taylor à l ordre 2 Soit une fonction f de IR n vers IR, de classe C 2. Soit a = (a 1,..., a n ). On a alors pour tout incrément h = (h 1,..., h n ): f(a + h) = f(a) + h i x i (a) h i h j 2 f x i x j (a) + o( h 2 )

7 ans le cas d une fonction de deux variables, cette formule devient : f(x + h, y + k) = f(x, y) + h (x, y) + k (x, y) x y + h2 2 2 f x (x, y) + hk 2 f k2 (x, y) + 2 x y 2 2 f y 2 (x, y) + o( h, k 2 ) On peut aussi l exprimer sous la forme suivante : il existe θ ]0, 1[ tel que f(x + h, y + k) = f(x, y) + h (x, y) + k (x, y) x y + h2 2 2 f x (x + θh, y + θk) + hk 2 f k2 (x + θh, y + θk) + 2 x y 2 2 f (x + θh, y + θk) y2 3 Optimisation d une fonction de plusieurs variables 3.1 Extrema des fonctions de IR n vers IR Soit une fonction f de E IR n vers IR. éfinitions f admet un minimum local en a si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que x V, f(x) f(a). f admet un minimum global en a si et seulement si x E, f(x) f(a). f admet un minimum strict (local ou global) en a si et seulement si on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes dans les définitions précédentes. e même pour définir un maximum, strict ou non, local ou global. Extremum : minimum ou maximum éfinition On dit que a E est un point critique si et seulement si les dérivées partielles premières de f en a existent et sont nulles (c est à dire f(a) = 0). Théorème On suppose que les dérivées partielles de f existent en un point a n appartenant pas au bord de E. Une condition nécessaire pour que f admette un extremum en a est que f(a) = 0. Théorème Si E est un domaine fermé et borné, et si f est continue sur E, alors f admet un minimum et un maximum globaux sur E. Théorème Les extrema d une fonction C 1 sur un domaine fermé et borné sont soit des points critiques, soit des points du bord de E. 7

8 3.2 Optimisation des fonctions de IR 2 vers IR Soit une fonction f de E IR 2 vers IR de classe C 2 au voisinage d un point critique (x 0, y 0 ). On pose (notations de Monge) : r = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) s = 2 f x y (x 0, y 0 ) t = 2 f y 2 (x 0, y 0 ) Si s 2 rt < 0 et r < 0 : f admet un maximum local strict en (x 0, y 0 ) Si s 2 rt < 0 et r > 0 : f admet un minimum local strict en (x 0, y 0 ) Si s 2 rt > 0 : f a un point-selle (ni min, ni max) en (x 0, y 0 ) Si s 2 rt = 0 : on ne peut pas donner de conclusion générale. Il faut étudier localement le comportement de f au voisinage de (x 0, y 0 ). 3.3 Méthode d approximation des moindres carrés Une question fréquemment rencontrée est celui de la modélisation du lien existant entre deux variables X et Y. On dispose en pratique d un ćhantillon de n mesures {(x 1, y 1 ),..., (x n, y n )} de ces deux variables. Si le nuage des points (x i, y i ) semble suivre un certain ordre, on peut K essayer de modéliser la relation entre X et Y sous la forme Y = a k f k (X) + ɛ, où les f k sont des fonctions élémentaires (x α, ln x, exp x, sin x, cos x,... ) et où ɛ est l erreur entre le modèle et la réalité. On dit alors qu on explique Y par X, ou encore que Y est la variable expliquée et X la variable explicative. K A partir des n relations y i = a k f k (x i ) + ɛ i, i = 1,..., n, on peut définir une erreur k=1 globale entre le modèle et la réalité: E(a 1,..., a K ) = ɛ 2 i = [y i a 1 f 1 (x i ) a K f K (x i )] 2 La méthode des moindres carrés consiste alors à déterminer les a k qui minimisent cette erreur. Il suffit pour cela de résoudre le système linéaire de K équations à K inconnues E (a 1,..., a K ) = 2 f 1 (x i ) [y i a 1 f 1 (x i ) a K f K (x i )] = 0 a 1. E (a 1,..., a K ) = 2 f K (x i ) [y i a 1 f 1 (x i ) a K f K (x i )] = 0 a K c est à dire a 1 a 1 n n f 2 1 (x i ) + a 2 n f K (x i )f 1 (x i ) + a 2 f 1 (x i )f 2 (x i ) + + a K n n f K (x i )f 2 (x i ) + + a K 8 k=1 f 1 (x i )f K (x i ) = n. f 2 K(x i ) = y i f 1 (x i ) y i f K (x i )

9 Lorsque ces valeurs optimales â 1,..., â K sont déterminées, l erreur globale E(â 1,..., â K ) 1 est appelée erreur résiduelle, et la valeur n E(â 1,..., â K ) = 1 ɛ 2 i est appelée écarttype n résiduel. K L Si l on souhaite comparer deux modèles de régression Y = a k f k (X) et Y = b l g l (X), k=1 l=1 on comparera en général leurs écarts-types résiduels. Cas particulier: la régression linéaire La relation pressentie entre X et Y est de la forme Y = a X + b. On détermine â et ˆb en minimisant l erreur globale E(a, b) = ɛ 2 i = (y i a x i b) 2. On veut E a (â, ˆb) = 2 x i (y i â x i ˆb) = 0 E b (â, ˆb) = (y i â x i ˆb) = 0 ( n ) x i â + n ˆb = y i soit : ( n ) ( n ) x 2 i â + x i ˆb n = x i y i où 1 x i y i xȳ n â = 1 (x i x) 2 n et ˆb = ȳ â x On remarque que cette droite de régression passe par le centre d inertie ( x, ȳ) du nuage de points. 4 Intégrales multiples 4.1 Quelques propriétés La notion de fonction intégrable pour les fonctions de plusieurs variables est une généralisation directe de la même notion pour les fonctions d une seule variable. Pour f fonction de IR n vers IR intégrable, son intégrale sur un domaine est notée... f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n, ou encore en abrégé f(x) dx. Soient f et g des fonctions de IR n vers IR intégrables sur un domaine de IR n. On a les propriétés suivantes : 9

10 (f + g) = f + Si f 0 sur alors g Si f est intégrable sur alors f l est aussi, et Si f 0 sur, si f est continue sur, et si ( ) 2 ( fg ) ( f 2 ) g 2 et λf = λ f λ IR (linéarité) f 0. On en déduit que, si f g sur, alors f f (Inégalité de Schwarz) f. f = 0, alors f = 0 sur. On a aussi la relation de Chasles : f = 1 2 f + 1 f pour des domaines 1 et 2 2 dont l intersection est de mesure nulle (c est à dire de surface nulle en dimension 2, ou de volume nul en dimension 3). Changement de variables Soit Φ un changement de variable bijectif de classe C 1 : Φ(y 1,..., y n ) = (x 1,..., x n ). Alors f(x) dx = Φ 1 () f(φ(y)) detj Φ dy où J Φ est la matrice jacobienne de Φ (matrice formée des x i / y j ). 4.2 Calcul d une intégrale double Soit f de IR 2 vers IR intégrable sur un domaine : Si = [a, b] [c, d], on peut intégrer indifféremment par rapport à x puis à y, ou ( b ) d ( d ) b l inverse : f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy a c c a Cas particulier : ( ) ( b ) d si f(x, y) = g(x) h(y), alors f(x, y) dx dy = g(x) dx h(y) dy a c Si = {(x, y) / a x b et ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)}, où ϕ 1 et ϕ 2 sont continues sur ( b ) ϕ2 (x) [a, b] : f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx (théorème de Fubini, sommation par tranches) a ϕ 1 (x) Si = {(x, y) / ψ 1 (y) x ψ 2 (y) et c y d}, où ψ 1 et ψ 2 sont continues sur ( d ) ψ2 (y) [c, d] : f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy (théorème de Fubini, sommation par tranches) c ψ 1 (y) g. Coordonnées polaires on a : detj Φ = r Si Φ est le changement de variables (r, θ) (x, y) = (r cos θ, r sin θ), 10

11 4.3 Calcul d une intégrale triple Les principes vus dans le cas d une intégrale double (ordre d intégration, théorème de Fubini) s étendent naturellement au cas des intégrales triples. Coordonnées cylindriques Si Φ est le changement de variables (r, θ, z) (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z), on a : detj Φ = r Coordonnées sphériques Si Φ est le changement de variables (r, θ, ϕ) (x, y, z) = (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ), on a : detj Φ = r 2 sin ϕ 5 Opérateurs aux dérivées partielles Beaucoup de phénomènes physiques peuvent être traduits par des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles apparaissent quelques opérateurs usuels. 5.1 Opérateurs usuels Gradient Soit une( fonction f de IR n vers IR de classe C 1. On a déjà défini le gradient de f au point a : (a),..., ) (a), noté gradf(a) ou f(a). x 1 x n En tout point a, f(a) est orthogonal à la ligne de niveau f(a). ivergence Soit une fonction f de IR n vers IR n (on dit aussi champ de vecteurs ) de classe C 1. On note f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f n (x 1,..., x n )). On appelle divergence de f la fonction de IR n vers IR définie par div f = 1 x n x n Cet opérateur caractérise la convergence ou la divergence ponctuelle d un champ de vecteurs. Laplacien Soit une fonction f de IR n vers IR de classe C 2. On appelle laplacien de f la fonction de IR n vers IR, notée f ou 2 f, définie par f = 2 f x f x 2 n On a : f = div ( f). Les fonctions f vérifiant f = 0 sont appelées fonctions harmoniques. Elles interviennent notamment dans la résolution de l équation des ondes et de l équation de la chaleur (voir plus loin). On peut aussi étendre la définition du laplacien à des champs de vecteurs: soit f de IR n vers IR p de classe C 2 : f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f p (x 1,..., x n )). On définit alors f = ( f 1,..., f p ). 11

12 Rotationnel Soit f de IR 3 vers IR 3 de classe C 1 : f(x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)). On appelle rotationnel de f la fonction de IR 3 vers IR 3, notée Rot f et définie par : rot f = ( 3 y 2 z, 1 z 3 x, 2 x ) 1 y Cette quantité caractérise le mouvement de rotation du champ de vecteurs f autour de chaque axe. On note aussi : rot f = f Par abus de langage, on parle aussi parfois du rotationnel d un champ de vecteurs f de IR 2 vers IR 2, en le définissant comme la fonction de IR 2 vers IR : rot f = 2 x 1 y Equations aux dérivées partielles usuelles La plupart des phénomènes physiques peuvent être décrits, tout au moins de façon simplifiée, par des équations aux dérivées partielles (EP) qui traduisent en général des principes tels que conservation de la masse, de la chaleur, de la quantité de mouvement... Les opérateurs précédents interviennent très souvent dans ces EP. Par exemple : équation de la chaleur : (x, t) = div (ν(x) grad f) (x, t) où f est la température et t ν la diffusivité thermique. Cette équation devient (x, t) = ν f(x, t) t équation des ondes : 2 f t 2 (x, t) = c2 f(x, t) où c est la célérité des ondes. 5.2 Quelques propriétés si ν est constante. Linéarité Gradient, divergence, laplacien et rotationnel sont des opérateurs linéaires. On a donc T (f + g) = T (f) + T (g) et T (λf) = λt (f), où T représente n importe lequel de ces opérateurs. Composition d opérateurs Pour les propriétés qui suivent, f et g sont des fonctions de IR n vers IR, et u est un champs de vecteurs de IR n vers IR n. Ces fonctions seront de classe C 1 ou C 2 suivant le contexte, et on supposera n = 3 lorsqu on fera intervenir le rotationnel. On a alors : grad (fg) = f grad g + g grad f div (fu) = f div u + grad f.u rot (fu) = f rot u u grad f div (rot u) = 0 rot (grad f) = 0 rot (rot u) = grad (div u) u Expressions en coordonnées polaires On note (O, i, j) le repère orthonormé cartésien de IR 2. Pour un point M de coordonnées cartésiennes (x, y) et de coordonnées polaires (r, θ), on définit le vecteur unitaire u r = cos θ i + sin θ j, c est à dire OM= ru r. Soit u θ le vecteur unitaire qui lui 12

13 est directement orthogonal : u θ = sin θ i + cos θ j. Soit f de IR 2 vers IR de classe C 1. On note g son expression en coordonnées polaires : f(x, y) = g(r, θ). On a alors : f = x i + y j = r u r + 1 r θ u θ Soit f de IR 2 vers IR de classe C 2. On note g son expression en coordonnées polaires : f(x, y) = g(r, θ). On a alors : f = 2 f x f y 2 = 2 g r r r g r 2 θ 2 Soit f un champ de vecteurs de IR 2 vers IR 2 de classe C 1. On note f(m) = f 1 (x, y) i + f 2 (x, y) j = g 1 (r, θ) u r + g 2 (r, θ) u θ. Alors : div f = 1 r + 1 r g r Expressions en coordonnées cylindriques Les expressions du laplacien et de la divergence se déduisent des expressions en coordonnées polaires. Soit f de IR 3 vers IR. On note g son expression en coordonnées cylindriques : f(x, y, z) = g(r, θ, z). On a alors : 2 θ f = x i + y j + y k = r u r + 1 r f = 2 f x f y f z 2 = 2 g r r θ u θ + z k r g r 2 θ + 2 g 2 z 2 Soit maintenant f de IR 3 vers IR 3 de classe C 1. On note (O, i, j, k) le repère orthonormé cartésien de IR 3. Pour un point M de coordonnées cartésiennes (x, y, z) et de coordonnées cylindriques (r, θ, z), on note f(m) = f 1 (x, y, z) i+f 2 (x, y, z) j+f 3 (x, y, z) k = g 1 (r, θ, z) u r + g 2 (r, θ, z) u θ + g 3 (r, θ, z) k. Alors : rot f = ( 2 z + 1 r div f = 1 r + 1 r g r θ + 3 z ) ( 3 1 u r + θ z ) ( 3 1 u θ + r r (rg 2 ) r 1 r ) 1 θ k 5.3 Formules de Green Soit IR n le domaine d intégration. On note Γ le bord de, et n le vecteur unitaire normal à Γ, orienté vers l extérieur de. On suppose ici que Γ est de forme régulière (c.a.d. suffisamment lisse). On note e i le i-ème vecteur de la base canonique (correspondant à l axe des x i ). On a alors : 13

14 Pour f de IR n vers IR de classe C 1 : = f e i.n x i Γ On en déduit pour g un champ de vecteurs de IR n vers IR n de classe C 1 : div g = On en déduit, si g est un gradient (g = grad f avec f de IR n vers IR de classe C 1 ) : f = Γ Γ g.n grad f.n ans le cas particulier de la dimension 2, la relation div g = souvent sous la forme de la formule de Green-Riemann : ( Q [P (x, y) dx + Q(x, y) dy] = Γ x P ) dx dy y où P et Q sont de classe C 1. Γ g.n peut s écrire Bibliographie [1] J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès : Cours de mathématiques - Tome 4 (chapitres 4 et 5), unod. [2] J.-M. Monier : Analyse MP, unod, [3] W. Rudin et G. Auliac : Principes d analyse mathématique, Ediscience