Cours géométrie dans l espace

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1 I. Solides usuels : volume et section par un plan avé droit yramide Tétraèdre a b c V = abc Si le plan est parallèle à une arête, la section est un rectangle. V = 1 Base hauteur Si est parallèle à la base, la section est un polygone dont les côtés sont parallèles à ceux de la base. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire V = 1 Base hauteur Si est parallèle à l une des faces, la section est un triangle dont les côtés sont parallèles à ceux de la base M Sphère cône de révolution cylindre de révolution N I O h S V = 4 π La section est un cercle. Si [NS] est le diamètre de la sphère, orthogonal au plan en I, alors I est le centre du cercle. V = 1 (π ²) h Si est parallèle à la base, la section est un cercle dont le centre se trouve sur l axe du cône. V = π ² hauteur Si est parallèle aux bases, la section est un cercle de même rayon que le cylindre et dont le centre se trouve sur l axe du cylindre. Si est parallèle à l axe, la section est un rectangle. 1

2 II. Quelques règles ègles d incidence règle 1 : ar deux points distincts, il passe une unique droite. règle 2 : ar trois points non alignés A, B et C passe un seul plan. Ce plan est noté (ABC). règle : Si A et B sont deux points d un plan, tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan. règle 4 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. exercice : est un plan ; A, B, C sont trois points non alignés qui n appartiennent pas à. On suppose que (AB) coupe en C, que (AC) coupe en B et que (BC) coupe en A. Montrer que les points A, B et C sont alignés. III. osition relative de droites et de plans a) deux droites distinctes Deux droites de l espace sont : soit coplanaires d 1 et d 2 sécantes d 1 et d 2 parallèles d 1 et d 2 sont sécantes en A d 1 et d 2 sont strictement parallèles d 1 et d 2 sont confondues soit non coplanaires Aucun plan ne contient d 1 et d 2 2

3 b) Une droite et un plan Une droite et un plan de l espace sont : soit sécants d et ont un point d intersection B. soit parallèles d et sont strictement parallèles d est contenue dans. c) osition relative de deux plans Deux plans sont : soit sécants et ' ont une droite d intersection d. soit parallèles et sont strictement parallèles. et sont confondus. exercice : déterminer l intersection de plans sécants : ABCD est un tétraèdre. I et J sont des points des arêtes [AB] et [CD].

4 Déterminer l intersection des plans (ABJ) et (CDI). éponse : Les deux plans (ABJ) et (CDI) sont sécants selon une droite. Le point I appartient aux deux plans (car I appartient à (AB)). Le point J appartient aux deux plans (car J appartient à (CD)). On en déduit que l intersection cherchée est la droite (IJ). IV. Le parallélisme dans l espace a) parallélisme entre droites ropriété 1 : Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. ropriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une coupe l autre b) parallélisme entre plans ropriété : Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. ropriété 4 : Si deux droites sécantes d un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d un plan Q, alors les plans et Q sont parallèles. ropriété 5 : Si et sont deux plans parallèles, alors tout plan Q qui coupe coupe aussi et les droites d intersection sont parallèles. c) parallélisme entre droite et plan ropriété 6 : Si deux plans et ' sont parallèles, et si une droite d est parallèle à, alors d est parallèle à ' 4

5 ropriété 7 : Si une droite d est parallèle à une droite, et si d est contenue dans un plan, alors est parallèle à. ropriété 8 : Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l un des plans est parallèle à l autre plan. ropriété 9 : Si et sont deux plans sécants selon une droite, et si d est une droite parallèle à et, alors d et sont parallèles. d ropriété 10 : (théorème du toit) d et d sont deux droites parallèles. est un plan contenant d, et un plan contenant d. Si, en outre, les plans et sont sécants, alors la droite d intersection de ces plans est parallèle à d et à d. d d 5

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