MATH Pratique des Fonctions Numériques. Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité

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1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATH Pratique des Fonctions Numériques Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité Exercice I Étudier la continuité des fonctions suivantes : 2x 4 si x 0 1 ln(x 2 + 1) si x 0 f 1 (x) = 2 x 2 si 0 < x < 4 f 2 (x) = e x 1 2x 2 5x + 4 si x 4 x 2 si x > Exercice II Pour quelle valeur de m R la fonction f suivante est-elle continue sur R? x si x 0 f(x) = x 2 si 0 < x < 1 mx 1 si x 1 x 2 + mx si x 2 Même question avec la fonction g définie sur R par : g(x) = x 2 si x > 2 Exercice III Pour chacun des tableaux suivants, déterminer le nombre de solutions des équations : (E) : f(x) = 0 et (E ) : f(x) = 2 Pour chacune des solutions vous donnerez le meilleur encadrement possible. x f 1(x) f x f 2(x) f

2 Exercice IV Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, puis son ensemble de dérivabilité. Déterminer alors la dérivée de chacune d elles : Il est fortement conseillé de revoir les exercices de calculs de dérivées du chapitre I f 1 (x) = x 2 3 x f 2 (x) = 5x 5 3 f 3 (x) = 3x x + 1 f 4 (x) = x ln x f 7 (x) = xe x f 10 (x) = ex + 1 e x 1 f 5 (x) = ln x x f 8 (x) = ex x f 11 (x) = e 1 6 x f 6 (x) = 1 ln x f 9 (x) = (x 2 + 2x)e x f 12 (x) = e 1 x f 13 (x) = 3 x f 14 (x) = ln(2x + 3) f 15 (x) = ln(3 + e x ) f 16 (x) = ln(x 2 ) f 17 (x) = ln(ln x) f 18 (x) = (ln x) 3 f 19 (x) = x 2 + 2x 3 f 20 (x) = x 1 x + 1 f 21 (x) = ( ) 2x x + 1 Exercice V Déterminer l équation de la tangente à C f au point M 0 dans les cas suivants : 1. f définie par f(x) = 2x 1 x + 1 en M 0(0; 1). 2. f définie par f(x) = e 2x+6 en M 0 (3; 1). 3. f définie par f(x) = x ln x en M 0 (1; 0). Exercice VI On considère les fonctions f et g définies sur R+ par f(x) = 2ex + 1 et g(x) = 3 Première partie 1. Déterminer les limites de f et g en e x Calculer f (x) et étudier son signe. En déduire le tableau des variations de f sur R Calculer g (x) et étudier son signe. En déduire le tableau des variations de g sur R +. Seconde partie Les fonctions f et g sont les fonctions d offre et de demande (en euros) de la vente d un produit sur le marché. Plus précisément, f(x) est le prix de vente unitaire proposé pour une quantité x de ce produit, et g(x) est le prix unitaire accepté par les consommateurs pour une quantité x de ce produit. Sur le marché en concurrence parfaite, le prix d équilibre correspond à l égalité entre l offre et la demande. Déterminer le volume correspondant à ce prix d équilibre, puis le prix d équilibre.

3 Exercice VII 1. Soit g la fonction définie sur R + par g(x) = x ln x x. Étudier le signe de g(x) sur R Soit f la fonction définie sur R + par f(x) = 3 4 x x2 ln x. Calculer f (x), puis en déduire le tableau des variations de f (limites en 0 + et + demandées). Exercice VIII 1. Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = x 2 2x ln x. (a) Calculer la dérivée de f. En déduire les variations de f sur ]0; + [. (b) Déterminer les limites de f en 0 + et en +. (c) Déterminer le signe de f(x) sur ]0; + [ 2. Soit g la fonction définie sur D g =]0; 2[ ]2; + [ par g(x) = ln x (x 2) 2. (a) Calculer la dérivée de g, et montrer que pour tout x D g, g (x) = (b) En déduire les variations de g sur D g. f(x) x(x 2) 3. (c) Déterminer les limites de g aux bornes de D g. Que peut-on en déduire pour la courbe de g? (d) Déterminer une équation de la tangente à C g au point d abscisse 1. Exercice IX ( ) 1 x Soit f la fonction définie par f(x) = ln. x Déterminer l ensemble de définition D f de f. 2. Justifier que f est dérivable sur D f et calculer sa dérivée. 3. Déterminer les limites de f aux bords de son ensemble de définition. 4. Donner le tableau des variations de f sur son ensemble de définition.

4 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Le barème est indicatif Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Ce sujet comporte 3 pages, dont une annexe Exercice 1-2 points Résoudre l équation et l inéquation suivantes : (E) : e x 1 = 2 e x + 1 (I) : 10 t > 15 6 t Pour (I), on pourra utiliser les valeurs : ln 3 1, 1 et ln 5 1, 6 Exercice 2-6 points On considère la fonction f définie par : f(x) = x ln(2x) 1. Déterminer l ensemble de définition de f, noté D f. 2. Déterminer les limites de f aux bords de son ensemble de définition. 3. Déterminer la fonction dérivée f de f, puis donner le tableau des variations de f. 4. Etudier les asymptotes et branches infinies éventuelles de C f. 5. Démontrer que l équation (E) : x = ln(2x) possède deux solutions réelles α et β (où α < β) dont vous donnerez un encadrement d amplitude 1 pour chacune d entre elles ; pour cela vous vous aiderez du tableau suivant : x f(x) 0, 31 0, 03 0, 06 0, 08 0, 07 0, 04 0, 01 0, 06 0, 12 0, 17

5 Exercice 3-9 points On considère la fonction f définie par : f(x) = x3 + 3x 2 x 1 x Déterminer l ensemble de définition de f noté D f. 2. Effectuer la division euclidienne de P (X) = X 3 + 3X 2 X 1 par Q(X) = X + 1. En déduire les réels a, b, c et d tels que f(x) = ax 2 + bx + c + d x Déterminer les limites de f aux bords de son ensemble de définition. 4. Déterminer la fonction dérivée de f notée f, puis donner le tableau des variations de f sur D f. 5. Déterminer les asymptotes et branches infinies éventuelles de C f. 6. Soit P la parabole d équation y = ax 2 + bx + c : déterminer les positions relatives de C f et P. 7. Tracer P pour x [ 4; 2] dans le repère fourni en annexe : vous expliquerez brièvement cette construction (points d intersection avec les axes, sommet, axe de symétrie) puis tracez C f sur [ 4; 2]. Exercice 4-3 points On considère la fonction f définie par : f(x) = 2x 2 + 2x 4 x 2 + 4x 3 2 x m ln(x) x 1 si 0 < x 1 si x > 1 (où m R) 1. Justifier que f est continue sur les intervalles ]0; 1[ et ]1; + [. 2. Déterminer la valeur du paramètre m afin que f soit continue sur ]0; + [.

6 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Annexe à l Examen, première session - Janvier 2012 A rendre avec votre copie Exercice 3

7 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN SECONDE SESSION - JUIN heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Le barème est indicatif Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES AUCUN DOCUMENT N EST AUTORISÉ LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Exercice 1-4 points Résoudre les équations et l inéquation suivantes : (E 1 ) : ln(2x 5) + ln(x + 4) = ln(3x 2) (Préciser le domaine de définition) (E 2 ) : e x2 2 = e 2x+1 (I) : 6 t > t (On prendra ln 3 1, 1 et ln 5 1, 6) Exercice 2-6 points On considère le polynôme P (X) = 2X 3 + 3X 2 8X Calculer P (1), en déduire que P (X) est divisible par un polynôme de degré Effectuer la division euclidienne de P (X) par (X 1). En déduire la factorisation de P (X) en un produit de polynômes de degré En déduire la résolution de l inéquation (I) : P (X) X 0

8 Exercice 3-10 points Soit f la fonction définie par f(x) = 2 x + ln(x2 ) 1. Donner l ensemble de définition de f, noté D f. 2. Déterminer la limite de f en. Vous donnerez la limite de f en + sans justification. 3. Déterminer la limite de f en x ln x 4. Montrer que pour tout x > 0, f(x) =. En déduire la limite de f en 0 + x 5. Démontrer que pour tout x de D f, f 2(x 1) (x) = x En déduire les variations de f sur son ensemble de définition. 7. Donner l équation de la tangente à la courbe représentative C f de f au point A d abscisse Étudier la branche infinie de C f au voisinage de Montrer que l équation (E) : f(x) = 0 possède une unique solution réelle α 10. En déduire le signe de f sur D f.