I. Qu est-ce qu une variable aléatoire?

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1 I. Qu est-ce qu ue varable aléatore?. Défto : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω. Ue varable aléatore est ue focto X allat de Ω sur R, c est-à-dre que c est ue focto, ommée X, qu à tout élémet de Ω assoce u réel. Voc ce qu o peut trouver sur wkpeda à ce sujet : Ue oto mportate e probablté est celle de varable aléatore. Les varables aléatores furet trodutes à l'orge pour représeter u ga. Par exemple effectuos l'expérece suvate, laços ue pèce de moae et suvat que le résultat est ple ous gagos dx euros, ou face ous perdos u euro. O cosdère alors X, la varable aléatore qu pred la valeur 0 lorsque ous obteos ple et la valeur - lorsque ous obteos face. X représete le ga à l'ssue d'u lacer de la pèce. De faço plus géérale ue varable aléatore est ue certae focto, qu déped du résultat d'ue expérece aléatore par exemple das ce cas le résultat du ple ou face. Cette focto assoce ue certae valeur au résultat d'ue expérece. Das otre exemple plus haut la varable aléatore assoce 0 à "ple" et - à "face". Cela permet d'assocer des ombres à des résultats d'expéreces qu e sot pas umérques. Le terme de varable aléatore peut parfos être trompeur, e effet, ce 'est pas la valeur qu'elle pred ue fos que l'o coat le résultat de l'expérece qu est aléatore, mas la valeur qu'elle va predre avat d'avor effectué l'expérece. Ue fos que l'o coat le résultat du ple ou face o coat la valeur de X, otre ga, avec certtude et celle c e déped pas du hasard. Par cotre, avat de jeter la pèce o e sat pas quelle valeur va predre X car o e sat pas ecore s l'o va obter ple ou face.. Lo de probablté d ue varable aléatore : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω, coteat évéemet(s élémetare(s. Sot X la varable aléatore assocée à cette expérece aléatore preat les valeurs x, x,..., x. Page sur 5

2 La probablté que X = x est otée p (o ote égalemet p = p( X = x La probablté que X = x est otée p (o ote égalemet p = p( X = x La probablté que X = x est otée p (o ote égalemet p = p( X = x La lo de probablté de la varable X est l esemble des couples ( x; p, ( x; p,, ( x; p O a k = p k = Preos u exemple smple et cocret : O lace ue pèce. S le résultat est ple, ous gagos 0 et s le résultat est face, ous perdos. La lo de probablté peut être représetée as : Lacer de pèce ple face probablté Valeur de X 0 - La lo de probablté est les deux couples suvats : 0;, ; II. Espérace, varace et écart-type d ue varable aléatore Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω, coteat évéemet(s élémetare(s. Sot X la varable aléatore assocée à cette expérece aléatore preat les valeurs x, x,..., x.. Espérace : L espérace de X représete la moyee. Page sur 5

3 L espérace est otée E( X et est calculée as : E( X = x. p( X = x + x. p( X = x x. p( X = x Sot E( X = x. p( X = x =. Varace : O ote la varace V ( X et o la calcule as : V ( X = ( x E( X p( X = x + ( x E( X p( X = x ( x E( X p( X = x Sot ( = ( ( ( = = V X x E X p X x 3. Ecart-type : O ote l écart-type σ ( X et o le calcule as : σ ( X = V ( X III. Exercces sur les varables aléatores Eocé U jeu cosste à trer au hasard ue carte das u jeu de 5 cartes. O mse ue somme avat de trer la carte. - S le joueur tre u as, l gage 4 fos sa mse, - s le joueur tre u ro, l gage fos sa mse, - s le joueur tre ue dame, l gage sa mse, - s le joueur tre u valet, l gage sa mse, - s le joueur tre ue autre carte, l perd sa mse. Page 3 sur 5

4 O cosdère que chaque carte a la même probablté d être trée. Sot X la varable aléatore égale au ga du joueur. X représete doc combe de fos le joueur gage sa mse. X est postf s le joueur gage et égatf s le joueur perd.. Détermer la lo de probablté de X.. Détermer l espérace, la varace et l écart-type de X. 3. Le jeu est-l équtable? Soluto Lo de probablté de X : La varable X pred les valeurs 4,, et -. Il y a 5 cartes, la probablté de trer ue carte doée est doc de 5 - Il y a 4 as das le jeu, la probablté de trer u as est de u as, l gage 4 fos sa mse, doc varable aléatore X pree la valeur 4 est de 3. 4 =. Lorsque le joueur tre 5 3 p( X = 4 = (cela sgfe que la probablté que la 3 - Il y a 4 ros das le jeu, la probablté de trer u ro est de 4 =, doc p( X = = Il y a 4 dames et 4 valets das le jeu, la probablté de trer ue dame ou u valet est de 8 =, doc p( X = = Lorsque le joueur tre ue autre carte, l perd sa mse doc X pred la valeur -. Il y a 36 autres cartes, doc la probablté d e trer ue est de =, doc p( X = = La lo de probablté de la varable aléatore X est doc la suvate : x - 4 p( X = x Pesez à vérfer que la somme des probabltés vaut, so l y a ue erreur quelque part! Ic, o a be = Page 4 sur 5

5 Espérace, varace et écart-type de X. O ote E( X l espérace de X et o a : E( X = x. p( X = x + x. p( X = x x. p( X = x 9 E( X = = O ote V ( X la varace de X et o a : V ( X = ( x E( X p( X = x + ( x E( X p( X = x ( x E( X p( X = x 9 V ( X = ( ( + ( ( + ( ( + (4 ( V ( X = = =, O ote σ ( X l écart-type de X et o a : σ ( X = V ( X σ ( X = =, Le jeu est-l équtable? La varable X représete le ga du joueur. O vot que l espérace de X est égatve, doc le ga du joueur est e moyee égatf. E moyee, le joueur perd de l arget, le jeu est doc pas équtable. Page 5 sur 5