Convergence abrupte et métastabilité

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1 Convergence abrupte et métastabilité Olivier Bertoncini Université de Rouen Laboratoire LMRS CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

2 Deux phénomènes distincts liés au comportement asymptotique des processus stochastiques Convergence abrupte (ou cuto) phénomène quasi-déterministe de convergence à l'équilibre vient des probabilités (battages de cartes) Métastabilité phénomène très aléatoire de transition d'un pseudo-équilibre (état métastable) vers le vrai équilibre vient de la physique (transitions de phase)

3 Plan de l'exposé Convergence abrupte ou phénomène de cuto Métastabilité Cadre commun : temps d'atteinte Chaînes de Naissance et de Mort Résultats Idée de preuve : couplage Dernière sortie Conclusion

4 Phénomène de cuto Modèles de battages de cartes (Diaconis et al. 80's) : sept battages susent pour mélanger un jeu de 52 cartes

5 Phénomène de cuto Modèles de battages de cartes (Diaconis et al. 80's) : sept battages susent pour mélanger un jeu de 52 cartes Dénition (Mesure) : Il existe un instant déterministe t a a (temps de cuto), autour duquel la loi Pa t du processus converge de manière abrupte vers la mesure d'équilibre π a :

6 Phénomène de cuto Modèles de battages de cartes (Diaconis et al. 80's) : sept battages susent pour mélanger un jeu de 52 cartes Dénition (Mesure) : Il existe un instant déterministe t a a (temps de cuto), autour duquel la loi Pa t du processus converge de manière abrupte vers la mesure d'équilibre π a : { 1 si c < 1, P cta a π a a 0 si c > 1.

7 Phénomène de cuto Modèles de battages de cartes (Diaconis et al. 80's) : sept battages susent pour mélanger un jeu de 52 cartes Dénition (Mesure) : Il existe un instant déterministe t a a (temps de cuto), autour duquel la loi Pa t du processus converge de manière abrupte vers la mesure d'équilibre π a : { 1 si c < 1, P cta a π a a 0 si c > t

10 Métastabilité : phénomène physique Métastabilité : liée à la présence d'une transition de phase aptitude d'un pseudo-équilibre (état métastable) à persister un certain temps

11 Métastabilité : phénomène physique Métastabilité : liée à la présence d'une transition de phase aptitude d'un pseudo-équilibre (état métastable) à persister un certain temps État métastable : cinétiquement stable, mais pas thermodynamiquement correspond à un minimum local de l'énergie potentielle

12 Métastabilité : phénomène physique Métastabilité : liée à la présence d'une transition de phase aptitude d'un pseudo-équilibre (état métastable) à persister un certain temps État métastable : cinétiquement stable, mais pas thermodynamiquement correspond à un minimum local de l'énergie potentielle Comportement : le système reste un temps exponentiellement long dans l'état métastable avant de basculer brusquement vers l'équilibre

13 Métastabilité : phénomène physique Exemples : diamant (état stable = carbone graphite)

14 Métastabilité : phénomène physique Exemples : diamant (état stable = carbone graphite) brouillards givrants : gouttelettes d'eau liquide en suspension dans l'air à température négative (eau en surfusion)

15 Métastabilité : phénomène physique Exemples : diamant (état stable = carbone graphite) brouillards givrants : gouttelettes d'eau liquide en suspension dans l'air à température négative (eau en surfusion) vapeurs sursaturées (exemple : compression isotherme d'un gaz)

16 Métastabilité : phénomène physique Exemples : diamant (état stable = carbone graphite) brouillards givrants : gouttelettes d'eau liquide en suspension dans l'air à température négative (eau en surfusion) vapeurs sursaturées (exemple : compression isotherme d'un gaz) systèmes ferromagnétiques (magnétisation opposée au champ externe)

17 Cadre commun Cadre : Chaînes de Markov, temps discret, espace d'états ni

18 Cadre commun Cadre : Chaînes de Markov, temps discret, espace d'états ni Idée : caractériser les deux phénomènes à l'aide du temps d'atteinte de certains états typiques d'une chaîne de Markov

19 Cadre commun Cadre : Chaînes de Markov, temps discret, espace d'états ni Idée : caractériser les deux phénomènes à l'aide du temps d'atteinte de certains états typiques d'une chaîne de Markov Temps d'atteinte de y partant de x : T x y = inf{t > 0 : X x (t) = y} pour la chaîne X x (t) initialisée en x (i.e. telle que X x (0) = x)

20 Cadre commun Cadre : Chaînes de Markov, temps discret, espace d'états ni Idée : caractériser les deux phénomènes à l'aide du temps d'atteinte de certains états typiques d'une chaîne de Markov Temps d'atteinte de y partant de x : T x y = inf{t > 0 : X x (t) = y} pour la chaîne X x (t) initialisée en x (i.e. telle que X x (0) = x) Remarque : Familles de chaînes de Markov X a (t) Paramètre asymptotique = taille de l'espace d'états

21 Convergence abrupte Dénition : Une v.a. U a admet une convergence abrupte au temps t a si : U a t a P a 1.

22 Convergence abrupte Dénition : Une v.a. U a admet une convergence abrupte au temps t a si : U a t a P a 1. Motivations : Martínez, Ycart (2001) Decay rates and cuto for convergence and hitting times of Markov chains with innite state space

23 Convergence abrupte (M.Y.2001) Temps d'absorption : dénition équivalente à celle du cuto (mesure) si U a = T a temps d'absorption

24 Convergence abrupte (M.Y.2001) Temps d'absorption : dénition équivalente à celle du cuto (mesure) si U a = T a temps d'absorption Equivalence of cutos : cuto pour une chaîne de Markov ssi cuto pour la chaîne absorbée associée

25 Convergence abrupte (M.Y.2001) Temps d'absorption : dénition équivalente à celle du cuto (mesure) si U a = T a temps d'absorption Equivalence of cutos : cuto pour une chaîne de Markov ssi cuto pour la chaîne absorbée associée Condition susante : Si lim a E[ U a ] = et ( lim Var Ua ) a E [ ] = 0, U a alors U a admet une convergence abrupte au temps E [ U a ].

26 Métastabilité Dénition : Une v.a. U a a un comportement métastable si : U a E [ U a ] L a Exp(1)

27 Métastabilité Dénition : Une v.a. U a a un comportement métastable si : U a E [ U a ] L a Exp(1) Motivations : Cassandro, Galves, Olivieri, Vares (1984) Metastable behavior of stochastic dynamics : a pathwise approach

28 Métastabilité : pathwise approach Exemple : Modèle de Curie-Weiss (C.G.O.V.84) Prol énergétique à deux puits : m 0 m m +

29 Métastabilité : pathwise approach Exemple : Modèle de Curie-Weiss (C.G.O.V.84) Prol énergétique à deux puits : m 0 m Magnétisation d'un système ferromagnétique, a spins, a Faible champ externe positif Equilibre : m +, état métastable : m m +

30 Métastabilité : pathwise approach Exemple : Modèle de Curie-Weiss (C.G.O.V.84) Prol énergétique à deux puits : m 0 m T a : temps d'atteinte de m + partant de m T a T a satisfait : E [ L ] T Exp(1) a a m +

31 Deux échelles de temps Métastabilité : problème de la sortie d'un puits du prol énergétique

32 Deux échelles de temps Métastabilité : problème de la sortie d'un puits du prol énergétique repose sur l'existence de 2 échelles de temps

33 Deux échelles de temps Métastabilité : problème de la sortie d'un puits du prol énergétique repose sur l'existence de 2 échelles de temps Théorème S'il existe deux états l a et h a tels que E[ T ha l a ] E [ T la h a ] a 0 (+ conditions techniques) alors le temps T la ha a un comportement métastable.

34 Chaînes de naissance et de mort q 0 p 0 q x p x q a p a 0 x 1 x x + 1 a Famille de chaînes entre zéro et a avec dérive vers zéro

35 Chaînes de naissance et de mort q 0 p 0 q x p x q a p a 0 x 1 x x + 1 a Famille de chaînes entre zéro et a avec dérive vers zéro Prols types (énergie associée à la mesure invariante π a ) Modèle p < q Ehrenfest

36 Comportements Tombée à l'équilibre Convergence abrupte dans le sens de la pente : T a 0 E [ T a 0 ] P a 1

37 Comportements Tombée à l'équilibre Convergence abrupte dans le sens de la pente : T a 0 E [ T a 0 ] P a 1 Sortie de l'équilibre Comportement métastable pour la remonter : T 0 a E [ T 0 a ] L a Exp(1)

38 Temps moyens : exemples Modèle p < q E [ ] a T a 0 q p E [ ] T 0 a (q/p) a

39 Temps moyens : exemples Modèle p < q E [ ] a T a 0 q p E [ ] T 0 a (q/p) a Modèle d'ehrenfest E [ T a 0 ] a ln a E [ T 0 a ] 2 a

40 Résultats Hypothèse de dérive : Il existe K a a tel que x 0, a, on a (H) π a ({x,..., a}) π a (x) < K a, avec K 2 a E [ T a 0 ] a 0

41 Résultats Hypothèse de dérive : Il existe K a a tel que x 0, a, on a (H) π a ({x,..., a}) π a (x) < K a, avec K 2 a E [ T a 0 ] a 0 Remarque : dérive = décroissance exponentielle de la mesure invariante π a (x) e αax, avec α a = log(1 1/K a )

42 Résultats Hypothèse de dérive : Il existe K a a tel que x 0, a, on a (H) π a ({x,..., a}) π a (x) < K a, avec K 2 a E [ T a 0 ] a 0 Théorème Si la condition (H) est satisfaite, alors T a 0 admet une convergence abrupte au temps E [ T a 0 ], et le temps de sortie T 0 a a un comportement métastable.

43 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a)

44 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t

45 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t On recommence à chaque fois qu'on atteint zéro après le temps de couplage

46 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t On recommence à chaque fois qu'on atteint zéro après le temps de couplage N a = nombre de tels retours en zéro avant d'atteindre a pour la première fois :

47 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t On recommence à chaque fois qu'on atteint zéro après le temps de couplage N a = nombre de tels retours en zéro avant d'atteindre a pour la première fois : variable géométrique de paramètre P ( T a 0 < T 0 a )

48 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t On a : E [ T 0 a ] E [ Na ] E [ Ta 0 ]

49 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t On a : E [ T 0 a ] E [ Na ] E [ Ta 0 ] A cause de la dérive : P ( T a 0 < T 0 a ) a 1

50 Idée de preuve : couplage Couplage entre une chaîne initialement en zéro et une chaîne initialement en a (but : décomposer la trajectoire de sortie de zéro à a) a Na t On a : E [ T 0 a ] E [ Na ] E [ Ta 0 ] A cause de la dérive : P ( ) T a 0 < T 0 a 1 a Deux échelles de temps : E[ ] T a 0 E [ ] T 0 0 a a

51 Dernière sortie Sous l'hypothèse (H ) : S'il existe K tel que pour tout x et pour tout a on a (H ) π a ({x,..., a}) π a (x) < K

52 Dernière sortie Sous l'hypothèse (H ) : S'il existe K tel que pour tout x et pour tout a on a (H ) π a ({x,..., a}) π a (x) < K On peut dire en plus que : Dernière excursion dans la trajectoire métastable = renversée temporelle d'une trajectoire typique de cuto

53 Dernière sortie Dernière excursion dans la trajectoire métastable = renversée temporelle d'une trajectoire typique de cuto

54 Dernière sortie Dernière excursion dans la trajectoire métastable = renversée temporelle d'une trajectoire typique de cuto Dernière sortie : T 0 a = temps d'atteinte de a après la dernière visite en zéro

55 Dernière sortie Dernière excursion dans la trajectoire métastable = renversée temporelle d'une trajectoire typique de cuto Dernière sortie : T 0 a = temps d'atteinte de a après la dernière visite en zéro Renversée temporelle : T0 a L = Ta 0 Ta 0 admet une convergence abrupte au temps E [ Ta 0 ]

56 Conclusion Sur un modèle de CNM avec dérive

57 Conclusion Sur un modèle de CNM avec dérive caractérisation des comportements (temps d'atteinte)

58 Conclusion Sur un modèle de CNM avec dérive caractérisation des comportements (temps d'atteinte) conditions susantes

59 Conclusion Sur un modèle de CNM avec dérive caractérisation des comportements (temps d'atteinte) conditions susantes on montre que convergence abrupte pour tomber à l'équilibre

60 Conclusion Sur un modèle de CNM avec dérive caractérisation des comportements (temps d'atteinte) conditions susantes on montre que convergence abrupte pour tomber à l'équilibre métastabilité pour sortir de l'équilibre

61 Conclusion Sur un modèle de CNM avec dérive caractérisation des comportements (temps d'atteinte) conditions susantes on montre que convergence abrupte pour tomber à l'équilibre métastabilité pour sortir de l'équilibre dernière sortie = renversée de cuto

62 Conclusion Convergence abrupte et métastabilité = phénomènes complémentaires

63 Perspectives Questions ouvertes : Est-ce que en renversant le temps convergence abrupte = métastabilité? métastabilité sans convergence abrupte?

64 Plan de l'exposé Convergence abrupte ou phénomène de cuto Métastabilité Cadre commun : temps d'atteinte Chaînes de Naissance et de Mort Résultats Idée de preuve : couplage Dernière sortie Conclusion