Exercices de probabilités

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1 Exercices de probabilités EXERCICE 1 Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une première carte, on la remet dans le paquet puis on tire une deuxième carte. a) Déterminer le nombre d issues de l expérience. b) Quelle est la probabilité d obtenir la dame de pique puis le roi de trèfle? Soit l événement «On obtient la dame de pique puis le roi de trèfle». a) Le nombre d issues de l expérience est card Ω = = b) Le nombre de cas favorables à la réalisation de l événement est card =1. On en déduit p()= EXERCICE 2 Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule de l urne puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note leur numéro. a) Construire un arbre pour obtenir tous les tirages possibles. b) Quelle est la probabilité de chaque issue? a) Il s agit ici de tirages sans remise : il y a 4 façons de tirer la 1 ère boule, 3 façons de tirer la 2 ème,... Le nombre de tirages possibles est cardω= = 24. b) La probabilité de chaque issue est EXERCICE 3 Un itinéraire doit passer une seule fois par trois villes, et C. Par exemple : C, C sont des trajets. a) Déterminer tous les trajets possibles. b) Quelle est la probabilité pour qu un trajet choisi au hasard commence par la ville et se termine par la ville C? a) Les trajets possibles sont : C ; C ; C ; C ; C et C. b) Seul le trajet C commence par la ville et se termine par la ville C. La probabilité correspondante est 1 24.

2 EXERCICE 4 Cinq camarades : nne, ertrand, Claude, Daniel et Esther partent en randonnée. L un d entre eux est désigné au hasard pour s occuper du parcours, un autre du matériel. a) Déterminer, à l aide d un arbre, tous les choix possibles. b) Quelle est la probabilité qu nne s occupe du parcours et ertrand du matériel? Dans cet exercice, il s agit encore de tirages sans remise. a) L arbre représentant cette situation est donné page suivante. Le premier niveau correspond au choix de la personne qui s occupera du parcours et le deuxième niveau correspond au choix de la personne qui s occupera du matériel. Il y a 5 4=20 choix possibles. b) La probabilité qu nne s occupe du parcours et ertrand du matériel est EXERCICE 5 Huit sprinters participent à la finale du 100 mètres. a) Combien de podiums sont possibles? On se place dans la situation d équiprobabilité. b) Quelle est la probabilité de chaque podium? a) Il y a 8 possibilités pour la 1 ère place, 7 possibilités pour la 2 ème place et 6 possibilités pour la 3 ème place. Le nombre de podiums possibles est 8 7 6= b) La probabilité de chaque podium est 336. EXERCICE 6 Claire possède 6 cubes, chacun des cubes porte une lettre de son prénom. Elle ordonne au hasard les 6 cubes et elle obtient donc un mot de 6 lettres (ayant un sens ou non). a) Combien de mots peut-elle obtenir? b) Quelle est la probabilité qu elle reconstitue son prénom? Dans cet exercice, il s agit de tirages avec remise : il y a 6 choix possibles pour le 1 er cube, 6 choix possibles pour le 2 ème cube, etc... a) Le nombre de mots que l on peut obtenir est 6 6 = b) Il y a une seule façon d obtenir le mot «Claire». 1 La probabilité d obtenir ce mot est exercices proba page 2

3 C D E C D E C D E D C E E C D exercices proba page 3

4 EXERCICE 7 Dans un club, plusieurs activités sont proposées dont le tir à l arc et le golf. Parmi les 50 adhérents, 30 pratiquent le tir à l arc, 18 le golf et 6 pratiquent les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu un adhérent choisi au hasard : a) pratique le tir à l arc? le golf? b) pratique l un au moins des deux sports? c) ne pratique ni le tir à l arc, ni le golf? On résout ce type d exercices à l aide d un diagramme ou d un tableau (ici, il ne s agit pas de tirages successifs) Total G G (arc) G (golf) Total a) La probabilité pour qu un adhérent choisi au hasard pratique le tir à l arc est = 3 5. La probabilité pour qu un adhérent choisi au hasard pratique le golf est = b) La probabilité pour qu un adhérent choisi au hasard pratique l un au moins des deux sports est = = c) La probabilité pour qu un adhérent choisi au hasard ne pratique ni le tir à l arc, ni le golf est EXERCICE 8 Dans un groupe de 20 personnes, 10 personnes s intéressent à la pêche, 8 à la lecture et 3 s intéressent à la pêche et à la lecture. On choisit au hasard une personne du groupe. a) Calculer la probabilité qu elle s intéresse à la pêche ou à la lecture. b) Calculer la probabilité qu elle ne s intéresse ni à la pêche ni à la lecture. Même méthode que l exercice précédent. exercices proba page 4

5 EXERCICE 9 Les romains utilisaient pour jouer des astragales (petits os) à quatre faces. Ces astragales pouvaient retomber sur l une de leurs quatre faces numérotées 1, 2, 3 et 4. On a établi que la probabilité de l événement : «L astragale retombe sur la face 1» est 1 5. Calculer la probabilité que l astragale retombe sur l une des faces 2, 3 ou 4. Soit x la probabilité cherchée. La somme des probabilités des différentes éventualités est 1, donc 3x+ 1 5 = 1. On en déduit : x= EXERCICE 10 On lance une pièce quatre fois de suite. a) Ecrire à l aide d un arbre les résultats de l expérience. On note l événement «Obtenir au moins une fois pile». b) Quel est l événement contraire de? Calculer sa probabilité. c) En déduire la probabilité de l événement. a) rbre : comme dans le devoir... Il y a 16 résultats possibles. b) est l événement «obtenir au moins une fois pile». Son contraire est : «ne jamais obtenir pile» ou «obtenir quatre fois face». Sa probabilité est c) On en déduit : p()=1 p()= EXERCICE 11 On dispose de trois dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le Duc de Toscane énonça le paradoxe suivant : «lors que les sommes des faces égales à 9 ou 10 sont obtenues toutes les deux de six façons différentes, on obtient plus souvent la somme 10 que la somme 9 en réalisant l expérience». Comment expliquer ce paradoxe? Réponse Google est ton ami! (chercher «paradoxe du Duc de Toscane» ou «problème du Duc de Toscane»). exercices proba page 5

6 EXERCICE 12 On a effectué des tests de dépistage pour deux maladies notée M a et M b sur une population de 1000 personnes. On a observé que 15% des individus sont atteints de la maladie M a, 20% sont atteints de la maladie M b et 4% sont atteints des deux maladies. 1. Déterminer le pourcentage des individus atteints : de la maladie M a ; de la maladie M b ; d aucune des maladies M a et M b. 2. On prend un individu au hasard dans la population. On désigne par l événement «l individu est atteint de la maladie M a» et par l événement «l individu est atteint de la maladie M b». Déterminer les probabilité (en pourcentage) des événements suivant, après les avoir définis en français : P(Ā), P( ) ; P( ), P( ), P( ). Même méthode que pour l exercice 7 : diagramme ou tableau. 1. Tableau des pourcentages : M a M a Total M b 4% 16% 20% M b 11% 69% 80% Total 15% 85% 100% 2. Tableau des effectifs : M a M a Total M b M b Total P(Ā) est la probabilité pour un individu de ne pas être atteint de la maladie M a. P(Ā)=1 p()= = = 0,85 P( ) est la probabilité pour un individu de ne pas être atteint de la maladie M b. P( )=1 p()= = = 0,20 exercices proba page 6

7 P( ) est la probabilité pour un individu d être atteint en même temps de la maladie M a et de la maladie M b. P( )= = 0,04. P( ) est la probabilité pour un individu d être atteint de la maladie M a ou de la maladie M b. P( )= = = 0,31. P( ) est la probabilité pour un individu de ne pas être atteint des deux maladies en même temps. 96 P( )= 100=0,96. EXERCICE 13 Deux joueurs de tennis, notés X et Y, de même valeur, jouent successivement trois sets. 1. Faire un arbre et déterminer toutes les issues possibles ainsi que leur probabilité. Y a-t-il équiprobabilité? 2. En réalité cette partie se joue en «deux sets gagnant», c est à dire que dès que l un des joueurs a remporté deux sets la partie est interrompue et la victoire est acquise à ce joueur. a) Faire l arbre correspondant. Y a-t-il équiprobabilité? b) Donner la probabilité de chacun des événements élémentaires. On suppose dans la suite qu il n y a pas de match nul (sinon il faut modifier les arbres). 1. Soit l événement «X gagne un set» et soit =. exercices proba page 7

8 2. Dans le cas de «deux sets gagnants», l arbre devient : X gagne X gagne Y gagne X gagne Y gagne Y gagne EXERCICE 14 Une urne contient trois boules rouges, numérotées R 1, R 2 et R 3 et deux boules bleues numérotées 1 et R 2. On tire successivement deux boules sans remise. Un résultat est un couple (a,b), où a représente la première boule et b la seconde. On note par exemple ( 1, 2 ) le couple formé de la boule rouge numérotée 1 et de la boule bleue numérotée Combien a-t-on de choix pour a? pour b? 2. En déduire le nombre de tirages possibles. 3. Donner les probabilités des événements : a) «obtenir deux boules portant les numéros 1 et 2» ; b) «obtenir deux boules portant des numéros différents» ; c) «obtenir deux boules de couleurs différentes». 1. Il y a cinq choix pour a et quatre choix pour b (tirage sans remise). 2. Le nombre de tirages possibles est card Ω = 5 4 = L arbre représentant la situation est donné page suivante. a) La probabilité d obtenir deux boules portant les numéros 1 et 2 est (R 1 R 2 ; R 1 2 ; R 2 R 1 etc... ) b) La probabilité d obtenir deux boules portant des numéros différents est c) La probabilité d obtenir deux boules de couleurs différentes est exercices proba page 8

9 R 2 R 1 R R 1 R 2 R R 1 R 3 R R 1 1 R 2 R 3 2 R 1 2 R 2 R exercices proba page 9

10 EXERCICE 15 Une société comprend 40 % de cadres, 20 % d entre eux parlent anglais. Parmi les autres employés, seulement 5 % parlent anglais. On interroge au hasard un employé de la société et on considère les événements : C : «L employé interrogé est un cadre» : «L employé interrogé parle anglais». 1. Schématiser les données sur un arbre pondéré. 2. Quelle est la probabilité que l employé interrogé parle anglais? EXERCICE 16 Un joueur tire au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. Il dit : «la carte est une figure». (figure : valet, dame ou roi) Quelle est la probabilité que la carte soit un valet? EXERCICE 17 Une assemblée est constituée de 40 hommes et 60 femmes. Dans cette assemblée, 50 personnes ont les yeux bleus et 60 % des hommes ont les yeux bleus. On désigne une personne au hasard. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : : «La personne désignée est un homme» : «La personne désignée est un homme aux yeux bleus» C : «La personne désignée est une femme aux yeux bleus». 2. a) Quelle est la probabilité que la personne désignée ait les yeux bleus, sachant que c est une femme? b) Quelle est la probabilité que la personne désignée soit une femme sachant qu elle a les yeux bleus? EXERCICE 18 Dans une population, on étudie deux caractères génétiques notés et. 55 % des individus possèdent le caractère, 42 % possèdent le caractère et 27 % des individus ne possèdent ni le caractère, ni le caractère. On choisit un individu au hasard dans la population. a) Calculer la probabilité qu il possède le caractère sachant qu il possède déjà le caractère. b) Calculer la probabilité qu il possède le caractère sachant qu il possède déjà le caractère. exercices proba page 10

11 EXERCICE 19 On mène une enquête auprès des élèves d un lycée sans internat, afin de savoir s ils disposent d un ordinateur chez eux. Dans ce lycée, 55 % des élèves sont demi-pensionnaires. L enquête révèle que 40 % des élèves de ce lycée disposent d au moins un ordinateur chez eux, et que parmi les lycéens disposant d au moins un ordinateur chez eux, 540 ne sont pas demi-pensionnaires. 1. Compléter le tableau d effectifs suivant : demipensionnaires non demipensionnaires total lycéens disposant d au moins un ordinateur chez eux lycéens ne disposant pas d ordinateur chez eux total On choisit au hasard un élève de ce lycée. On considère les événements suivants : D : «L élève est demi-pensionnaire» O : «L élève dispose d au moins un ordinateur chez lui». a) Déterminer les probabilités des événements D, O, D O. b) Calculer la probabilité de l événement D O. c) Calculer les probabilités P O (D) et P D (O). EXERCICE 20 Une exploitation agricole produit des bovins de trois races différentes : ubrac, azadaise et Charolaise. une période donnée, une observation du cheptel a donné les informations suivantes : 20 % du cheptel est de race Charolaise ; 40 % des bovins sont des mâles ; 30 % des mâles sont de race ubrac ; 35 % des bovins de race Charolaise sont des mâles ; la race azadaise compte autant de mâles que de femelles. a) Compléter le tableau des fréquences suivant : ubrac azadaise Charolaise total femelles mâles total 1 b) Quelle est la probabilité qu un bovin qui n est pas de race ubrac soit une femelle de race azadaise? exercices proba page 11

12 Ù Ø ÓÒß ³ß ÐÚ Ò Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ð ÒßÖÙ Ö Ð ß Ò Ø ÓÒÐ Òß ÓÙ Ð Ä ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ Ø ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ø È È Ñ Ô Ñ Ò ß ÓÙ Ð Ò ßÖÙ Ö Ð Òß Ò Ö ÖÐ ÒßÖÙ Ö Ð ßÈÖÓÔÖ Ø Ð Ä ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ò ßÖÙ Ö Ð Ò ß Ò Ö ÖÐ Ö Ñ ÖÕÙ Ø ÓÒØ ÒÓÑÔ Ø Ð ÐÓÖ Ð Ò ÓÒØ Ô Ò Ô Ò ÒØ º ÈÓÙÖÕÙÓ Ü ÑÔÐ ÇÒ Ø Ö Ù Ö ÙÒ ÖØ Ò ÙÒ Ù ¾ ÖØ º ÇÒ ÒÚ Ð ØÖÓ Ú Ò Ñ ÒØßÐ ÖØ Ø ÖÓÙ Ð Ú Ò Ñ ÒØßÐ ÖØ Ø ÙÒ Ó ÙÖÐ Ú Ò Ñ ÒØßÐ ÖØ Ø ÙÒ ÖÓ Ðº Òß ÒÙÑ Ö Ø Ð Ø Ñ Ä Ú Ò Ñ ÒØ Ø ÓÒØ¹ Ð Ò Ô Ò ÒØ Å Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ø Ø ÔÓÙÖ Ø º Ø Ñ ÇÒ ØÙ ÒÕ Ø Ö Ù Ú Ö Ñ Ð ÖØ Ò Ð Ù ÔÖ Ò ß ÒÙÑ Ö Ø Ð Ù Ø ÓÒß ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð Ð ÒßÑ Ò Ô Ð ßº Ð Ò Û Ø Ð Òß Ò Ö ÖÐ ÒßÖÙ Ö Ð ßÈÖÓÔÖ Ø Ð È Ñ µ È Ñ µ Ø Ñ È ß Ñ Ð Ñ µ È ÓÚ ÖÐ Ò ß Ñ Ðµ Ø Ñ È ß ÓÚ ÖÐ Ò ß Ñ ÐÐ Ñ µ º Ò ßÖÙ Ö Ð Ò ß Ò Ö ÖÐ Ø ÜØ ß Ø ÜØ Øß Ò Ö Ð Ø ÓÒÐÐ Ò ßÑ Ò Ô Ð ÐÐ exercices proba page 12

13 ÒßÑ Ò Ô Ð ßº Ð Ò Û Ø Ð ± Ô Ö ½ ¹½º µ º ½º µ Ô Ð Ò ½ ¼µ ½µ Ô Ð Ò ½ ¼µ ¹½µ Ô Ð Ò º ½µ º ½º µ Ô Ð Ò º ½µ º ¼º µ Ô Ð Ò º ¹½µ º ¹½º µ Ô Ð Ò º ¹½µ º ¹¼º µ ÙÔÙØ Ù º ¼º µß Ð ÙÔÙØ Ù º ¹½º µß ÓÚ ÖÐ Ò ß Ñ Ð Ð ÙÔÙØ Ù º¾ ½º¾µß Ð ÙÔÙØ Ù º¾ ¹¼º µß Ð ÙÔÙØ Ù ¾ ¼º µß È Ñ µ Ð ÙÔÙØ Ù ¾ ¹½º µß È ÓÚ ÖÐ Ò ß Ñ Ðµ Ð ÙÔÙØ Ù º ½º¾µß È ß Ñ Ð Ñ µ Ð ÙÔÙØ Ù º ¹¼º µß È ß ÓÚ ÖÐ Ò ß Ñ Ð Ñ µð Ð Ò ßÑ Ò Ô Ð exercices proba page 13