CONCOURS D ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière MP

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1 A 2008 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE Filière TSI). CONCOURS D ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP Durée de l épreuve : 3 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit. ENSAE ParisTech, Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

2 Inégalité d Alexandrov Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1. On note S n le groupe des permutations de I n = {1,, n}. On note M n, p R) l espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients réels. Pour une matrice M M n, n R) de coefficients m ij, on notera m j le j-ème vecteur colonne de M, celui dont les composantes sont m ij, i = 1,, n). On écrira ainsi M = m 1,, m n ). On remarquera que m ij est indifféremment le coefficient en ligne i et colonne j de M ainsi que la i-ième composante de m j. On identifiera une matrice colonne m et le vecteur de R n dont les composantes dans la base canonique de R n sont les coefficients de m. On note la norme euclidienne de R n et x.y représente le produit scalaire euclidien de deux vecteurs de R n. On note S la sphère unité de R n, c est-à-dire S = {x / x = 1}. Pour une matrice M M n, n R), pour i et j éléments de {1,, n}, on note Mi j) la matrice obtenue en supprimant de M la i-ème ligne et la j-ième colonne. Pour un vecteur colonne m, mj) représente le vecteur colonne m duquel on a ôté la j-ième composante. Soit Q une matrice symétrique réelle de M n,n R). On note B Q la forme bilinéaire associée : pour tout x et y de R n, B Q x, y) = Qx.y, et on note Φ Q la forme quadratique associée : Φ Q x) = B Q x, x). Définition 1. Soit V un sous-espace vectoriel de R n, on dira que Φ Q est définie positive respectivement positive, respectivement définie négative) sur V lorsque Φ Q x) > 0 pour tout x appartenant à V S respectivement Φ Q x) 0, respectivement Φ Q x) < 0). On notera V + respectivement V + 0, respectivement V ) l ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquels Φ Q est définie positive respectivement positive, respectivement définie négative). On pose rφ Q ) = max V V +dim V ) et sφ Q) = max V V dim V ), avec la convention que max V dim V = 0. 2

3 I Permanents Définition 2. Pour M = m 1,..., m n ) M n, n R), on définit son permanent, noté per, par n per : M n, 1 R)) R m 1,..., m n ) m 1σ1) m 2σ2)... m nσn). σ S n On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c est-à-dire invariante par permutation des vecteurs. 1. Établir pour tous m 1, m 2,, m n éléments de M n, 1 R), l inégalité n perm 1,, m n ) n! m j. 2. Pour m 1,, m n ) et r 1, r 2, r n ) éléments de suivante : M n, 1 R)) n, établir l inégalité perm 1,, m n ) perr 1,, r n ) n n! m 1... m j 1 m j r j r j+1... r n, où l on convient que m 1... m j 1 = 1 pour j = 1 et r j+1... r n = 1 pour j = n. 3. Montrer la propriété suivante : pour tout j I n, per M = n i=1 ) m ij per Mi j). 1) II Formes quadratiques Dans toute cette partie, Q est une matrice symétrique réelle inversible. On note spq) = λ 1,, λ n ) la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, n + Q) le nombre de termes strictement positifs dans spq) et n Q) le nombre de termes strictement négatifs dans spq). 3

4 4. Soit H V + 0 et G V, montrer que H et G sont en somme directe et que rφ Q ) + sφ Q ) n. 5. Montrer que rφ Q ) n + Q). On a alors de même sφ Q ) n Q). 6. Montrer que rφ Q ) = n + Q) et que sφ Q ) = n Q). Soit R une autre matrice symétrique réelle inversible de taille n telle qu il existe une constante κ satisfaisant la propriété suivante : pour tout x et y de R n, B Q x, y) B R x, y) κ x y. 7. Montrer qu il existe δ > 0 tel que rφ Q ) = rφ R ) si κ δ. III Espaces de Lorentz Définition 3. Soit Q M n,n R), une matrice symétrique et Φ Q la forme quadratique associée. On dit que R n, Q) est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées : i) Q est inversible, ii) rφ Q ) = 1 et sφ Q ) = n 1. On suppose dans cette partie que Q M n,n R) est telle que R n, Q) soit un espace de Lorentz. Soit a un vecteur tel que Φ Q a) > 0 et b R n. Soit l application ϕ définie par ϕ : R R ρ Φ Q b + ρa). 8. On suppose, dans cette question, que a et b sont linéairement indépendants. Montrer qu il existe au moins une valeur de λ telle que ϕλ) < Établir la propriété : B Q a, b) 2 Φ Q a)φ Q b), 2) avec égalité si et seulement si a et b sont colinéaires. On pourra s inspirer de la preuve de l inégalité de Cauchy-Schwarz. 4

5 IV Inégalité d Alexandrov On veut maintenant établir le théorème suivant. On note e 1,, e n ) la base canonique de R n. Théorème 1. Soit n un entier supérieur à 2. Soit m 1,, m n des éléments de R n à composantes strictement positives. Soit Q la matrice symétrique dont les coefficients sont définis par q ij = perm 1, m 2,, m n 2, e i, e j ), i I n, j I n Soit B Q et Φ Q les formes bilinéaires et quadratiques associées à Q respectivement. L espace R n, Q) est un espace de Lorentz. 10. Calculer rφ Q ) et sφ Q ) pour n = 2, c est-à-dire pour Q = ) On suppose le théorème 1 établi pour tout k n Établir pour tout j de I n l inégalité : ) 2 perm 1,, m n 3, m n 2, c, e j ) perm 1,, m n 3, m n 2, m n 2, e j ) avec égalité si et seulement si cj) et m n 2 j) sont colinéaires. perm 1,, m n 3, c, c, e j ), 3) Dans les questions 12 et 13, c est un élément de R n tel que Qc = Établir l identité : 0 = Qc.c = n m j,n 2 perm 1,, m n 3, c, c, e j ) 13. Montrer que pour tout j I n, perm 1,, m n 2, c, e j ) = 0 et perm 1,, m n 2, m n 2, e j ) > 0. 5

6 14. En déduire Qc = 0 si et seulement si c = 0. Soit e = n i=1 e i, pour tout θ appartenant à [0, 1], on pose B θ x, y) = perθm θ)e,, θm n θ)e, x, y). On note Q θ et Φ θ la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétrique B θ. 15. Expliciter Q 0. Montrer que ses valeurs propres sont n 1)! et n 2)! et que rφ Q0 ) = 1 ainsi que sφ Q0 ) = n Soit θ et θ deux éléments distincts de [0, 1]. Montrer que, pour tout x et tout y de R n, B θ x, y) B θ x, y) n n! θ θ x y n 2 m j + n). 17. Établir que rφ Q1 ) = 1 et sφ Q1 ) = n 1. On pourra raisonner par l absurde et considérer τ = sup θ [0,1] {θ / rφ Qθ ) = 1}. 18. Établir l inégalité d Alexandrov qui stipule que pour m 1,, m n 1 vecteurs de R n à coordonnées strictement positives et b vecteur quelconque de R n, perm 1,, m n 1, b)) 2 perm1,, m n 1, m n 1 ) perm 1,, b, b). Fin du problème 6

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