RAPPELS MATHÉMATIQUES Mathématiques en gestion ( )

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1 RAPPELS MATHÉMATIQUES Mathématiques en gestion ( ) 1. Les fonctions Fonction à une variable : fait correspondre au plus une valeur de pour chaque x. Exemples : Fonction à deux variables, : fait correspondre au plus une valeur, pour chaque couple,. Le domaine d une fonction est l ensemble des valeurs de pour lesquelles la fonction est définie. Exemples : 1.1 Fonction linéaire (droite) Une droite est une fonction qui peut être écrite sous la forme où m = Particularité : Graphiquement, une droite est une fonction dont l'inclinaison est constante en tout point.

2 La pente, qui est représentée par la lettre, est la mesure de d'une droite. Elle exprime la variation verticale de la droite pour un déplacement horizontal d'une unité positive et est obtenue par la relation L'ordonnée à l'origine, qui est représentée par la lettre, est la valeur de lorsque est zéro. Il s'agit donc de la position de la droite lorsque celle ci croise. Comment obtenir l'équation d'une droite En plusieurs occasions, il nous faudra trouver l'équation d'une droite à partir de certaines informations. Par exemple, quelle est l'équation de la droite qui contient les points (1,4) et (2,8)? Afin de répondre à cette question, il nous faut trouver les valeurs de et de qui caractérisent la droite. 1. Déterminer la pente Par définition, la pente est mesurée par la relation Dans l'exemple ci haut, la pente serait. ce qui indique que pour déplacement d'une unité vers la droite, il y a un déplacement de vers le haut. Notez également que le choix du "premier" et du "deuxième" point n'affectera pas le calcul de la pente :

3 2. Trouver l'ordonnée à l'origine Afin de trouver la valeur de, il s'agit d'utiliser un point connu de la droite et la pente qui vient d'être déterminée : L'équation d'une droite est. Or, nous venons de trouver que, d'où l'équation de notre droite actuelle est. Nous savons de plus que le point (1,4) se trouve sur cette droite et doit donc satisfaire son équation : Encore une fois, le choix du point que l'on utilise n'affecte en rien le résultat obtenu. Si nous avions choisi le point (2,8), le calcul aurait été : La pente et l'ordonnée à l'origine étant maintenant connues, l'équation de la droite est. L'équation 3 4 représente une droite dont la pente est et dont l'ordonnée à l'origine est. Notez bien que les variables et sont tout à fait arbitraires. Elles pourraient aussi bien être nommées et, comme c'est le cas dans les courbes d'offre et de demande.

4 1.2 Fonction quadratique (parabole) Sommet : Orientation : si 0 si 0 Une fonction est dite convexe sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de, le segment de droite qui relie ces deux points passe audessus de la courbe de. Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si, pour toute paire de points sur le graphe de, le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de. ordonnée à l'origine : 0, racines : Considérez l équation de la parabole suivante : 2 3 1

5 2. Propriétés des exposants : Résolution d une équation Résoudre une équation, c est trouver toutes les de cette équation. Pour résoudre une équation, il suffit de la transformer en une équation équivalente plus simple, de façon à pouvoir isoler l inconnue. Isoler dans 5 10

6 4 3 Résoudre l équation Résoudre l équation 2 4 Résoudre l équation 6

7 4. Résoudre un système d équations Résoudre le système à deux inconnues Solution (par substitution) 1. Isoler dans la première équation 2. Substituer dans la seconde équation 3. Résoudre pour 4. Trouver La solution du système est donc. Voici un système d équations à deux inconnues : a) Le couple ( 1, 3 ) est il une solution de ce système d équations? b) Résoudre algébriquement le système d équations. c) Représenter graphiquement les deux équations du système et identifier les coordonnées du point d intersection des deux droites.

8 Conception d'un graphique 2D Construction des données de la fonction 1. Déterminer le domaine de la fonction sur un intervalle donné. On vous demande de dessiner la fonction 4 sur l'intervalle [ 5,5]. 2. Définir l'espacement entre deux points sur lequel la fonction sera évaluée. Sur cet intervalle, évaluer la fonction à chaque unité. 3. Dans Excel, établir une colonne (ligne) correspondant au domaine avec tous ses points. 3.1 Premièrement, insérer dans une cellule la borne inférieure du domaine : 3.2 Deuxièmement, insérer dans la prochaine cellule de la même colonne (ligne) le nombre correspondant à la borne inférieure plus l'espacement défini à l'étape 2 :

9 3.3 Sélectionner les deux cellules puis cliquer sur le carré en bas à droite : 3.4 Déplacer vers le bas la souris (ou vers la droite) jusqu'à ce que vous voyiez la borne supérieure du domaine de la fonction : 4. Encore dans Excel, construire une seconde colonne (ligne) correspondant au point image de la fonction.

10 4.1 Dans la cellule correspondant au premier point du domaine, définir la fonction à dessiner : 4.2 Avec une seule cellule, répéter les mêmes opérations que dans les sections et afin de créer une colonne (ligne) de données se trouvant sur la courbe de la fonction. Le résultat sera alors :

11 Conception du graphique 1. Cliquer sur le menu Insertion. 2. Cliquer sur l élément Graphique. 3. Cliquer sur l'onglet nuage de points. 4. Choisir Courbe avec lissage 5. Si une cellule du tableau est sélectionnée, Excel produira automatiquement le graphique.