Chapitre 3: La démonstration par récurrence

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1 CHAPITRE 3 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE 33 Chapitre 3: La démostratio par récurrece 3. U exemple pour compredre le pricipe Itroductio : Pour découvrir ue formule doat la somme des premiers ombres impairs, o commece par quelques essais Si = : = Si = 2: + 3 = 4 Si = 3: = 9 Si = 4 : = 6 Il semblerait que cette somme soit toujours égale au carré du ombre de termes, c'est-à-dire que pour tout (2 ) = 2 Mais commet e être certai? U plus grad ombre d'essais cofirme cette cojecture; il restera cepedat toujours ue ifiité de cas o vérifiés. Le raisoemet qui suit permettra de procéder à cette vérificatio e u temps record, puisque fii : Supposos que la formule (2 ) = 2 soit vraie pour ue valeur de, ce qui est le cas pour = 4, par exemple. E additioat 2 +, le ombre impair suivat, o obtiet : (2 ) + (2 + ) = 2 + (2 + ) o observe que le membre de droite de l égalité vaut justemet ( + ) 2. La formule est ecore vraie pour + ; elle est doc vraie pour = 5. La formule état maiteat prouvée pour = 5, le même raisoemet motrera qu'elle est ecore vraie pour = 6, puis pour = 7. Le passage de à + foctioe comme u moteur qui vérifie "automatiquemet" la formule pour toutes les valeurs de supérieures à 4. De maière géérale, o caractérise le raisoemet par récurrece de la maière suivate: Soit p() ue coditio pour la variable IN *. Pour démotrer que la propositio IN *, p() est vraie, o motre que. p(l) est ue propositio vraie 2. p() p( + ) pour tout O peut comparer ue démostratio par récurrece au jeu qui cosiste à faire tomber ue file de pièces de domios : Cosidéros ue ragée ifiie de domios, étiquetés, 2,,, où chaque domio est e positio verticale. Soit p() la propositio "o fait tomber le domio ". Si o arrive à faire tomber le premier domio, autremet dit p() est vraie et si, peu importe quad le ième domio est poussé, il fait tomber le ( + ) ième domio c'est-à-dire p() p( + ) est vraie, alors tous les domios peuvet tomber les us après les autres. Jusqu'au XIX e siècle, les mathématicies 'hésitaiet pourtat pas à recourir à u tel raisoemet "par iductio", courammet utilisé das les scieces expérimetales. 2MSPM JtJ 206

2 34 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE CHAPITRE 3 Exemple : Démotrer par récurrece que IN *, = ( +)(2 +) 6 Marche à suivre : Pour effectuer ue démostratio par récurrece, il faut : ) Vérifier que la propositio est vraie pour = ; 2 ) Poser l hypothèse de récurrece, c est-à-dire affirmer, par hypothèse, que la propositio est vraie pour. 3 ) Formuler la coclusio, c est-à-dire adapter la formule pour + 4 ) Effectuer le raisoemet permettat de "passer de à + ". 2MSPM JtJ 206

3 CHAPITRE 3 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE 35 Exercice 3. : Démotrer par récurrece que IN * : a) = ( +) 2 b) ( ) + 2 = ( ) + ( +) 2 c) = 2 ( +) 2 4 d) E comparat les réposes a) et c), compléter cette célèbre ( ) égalité : k = k= Exercice 3.2 : Effectuer les sommes suivates : 2 = = = = À l aide de ces résultats, cojecturer ue formule doat la somme suivate, puis démotrer votre cojecture ( + ) Exercice 3.3 : Démotrer par récurrece que IN * : a) b) c) i= i= i= (2i )(2i +) = 2 + i 2 (2i )(2i +) i = i 2 = ( +) 2(2 +) (4 )5 d) i 5 i = 6 e) i= i= i (i +)(i + 2) = ( + 3) 4( +)( + 2) 2MSPM JtJ 206

4 36 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE CHAPITRE 3 Exercice 3.4 : Établir ue formule pour : puis la démotrer , Exercice 3.5 : a) Motrer que si l égalité = 8 (2 +) 2 est vraie pour = k, alors elle est vraie pour = k +. b) Peut-o alors affirmer que IN *, o a = 8 (2 +) 2? Exercice 3.6 : Démotrer par récurrece que IN * : Π + = + i i= Idicatio : Le symbole idique o pas ue somme, mais u produit des ( + /i) pour i allat de jusqu à. Exemple : Démotrer par récurrece que IN *, 4 est divisible par 3 2MSPM JtJ 206

5 CHAPITRE 3 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE 37 Exercice 3.7 : Démotrer par récurrece que IN, a) 8 est divisible par 7. b) est u ombre pair. c) est u multiple de 3. Exercice 3.8 : Démotrer par récurrece que IN que : est u multiple de 5 Exercice 3.9 : a) Démotrer par récurrece la formule suivate : Pour tout a IR et r IR {}, o a : IN *, a + ar + ar 2 + +ar = a( r ) r b) Cette formule, e l avios-ous pas déjà démotrée? Exercice 3.0 : Exercice 3. : Démotrer que la propositio suivate est fausse: " IN, est premier" Idicatio : Pour démotrer qu ue propositio est fausse, il suffit de trouver u cotreexemple, c est-à-dire ue valeur de, e vérifiat pas la propositio. O cosidère cercles das le pla de sorte que le ombre de poits d itersectio de ces cercles deux à deux soit le plus grad possible. Détermier e foctio de le ombre de ces poits d itersectio. Justifier tout ce que vous affirmez. 2MSPM JtJ 206

6 38 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE CHAPITRE 3 Exemple : Soit x ]- ; + [. Démotrer que IN : ( + x) + x (Iégalité de Beroulli) Jacques Beroulli Exercice 3.2 : Démotrer que IN, o a 2. Exercice 3.3 : Démotrer que etier plus grad que, o a! <. Remarque : Soit j u etier positif, et supposos qu à chaque etier j est associé ue propositio p(), le pricipe de preuve par récurrece peut être étedu pour eglober cette situatio. Pour démotrer que la propositio p() est vraie pour tout j, ous employos les deux étapes suivates, de la même maière que vous l avos fait pour.. p(j) est ue propositio vraie 2. p(k) p(k + ) pour tout k j Exercice 3.4 : Calculer le plus petit etier positif j pour lequel la propositio est vraie. Appliquer alors le pricipe de récurrece étedu pour démotrer cette propositio. a) b) O rappelle que! = ( ) ( 2) 2, expressio que l'o appelle factorielle ( IN * ). 2MSPM JtJ 206

7 CHAPITRE 3 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE Retour aux suites Exercice 3.5 : Soit la suite ( u ) IN * telle que u = (3 2)(3 + ) a) Écrire les quatre premiers termes de cette suite b) Démotrer que IN *, S = 3 +. Exercice 3.6 : Ue suite ( u ) IN * est défiie de maière récursive par : u a) = u + = u + + pour tout u = b) u 2 = 2 u + = 2u u pour tout 2 Devier ue expressio pour le terme gééral puis la démotrer par récurrece. Questio : Commet calculer l aire grisée située sous la parabole y = x 2? y y = x 2 0 x 2MSPM JtJ 206

8 40 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE CHAPITRE 3 Méthode : Les traches de Tabit Ib Qurra ( ) Les mathématicies arabes du X ème siècle coaissaiet très bie les formules doat la somme des etiers, des carrés ou des cubes : = = Ils euret doc l idée de découper e traches verticales la partie dot o cherche à calculer l aire. y y = x 2 0 / 2/ x aisi la somme des aires des petites traches d épaisseur / (que l o appelle somme supérieure) vaut : 2MSPM JtJ 206

9 CHAPITRE 3 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE 4 Exercice 3.7 : Appliquer ue démarche comparable pour la somme iférieure suggérée par la figure ci-dessous. y y = x 2 0 / 2/ x Exercice 3.8 : O cherche à calculer l aire A de la surface comprise etre la parabole d équatio y = -x 2 + et les axes du repère. y y = -x 2 + A A 0 / 2/ Pour cela, o a divisé l itervalle [0 ; ] e parties égales et l o remarque que A est comprise etre l aire A (somme iférieure) et l aire A (somme supérieure). a) Calculer A et A b) Calculer A et A pour = 0, 0 2 puis 0 0. Quel résultat semble se dégager? c) Justifier ce résultat par u calcul afi d e déduire la valeur de A. x 2MSPM JtJ 206

10 42 DEMONSTRATION PAR RECURRENCE CHAPITRE 3 2MSPM JtJ 206

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