Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés

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1 Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : expression du terme général d une suite Exercice 2 : majoration et minoration du terme général d une suite Exercice 3 : étude de la monotonie d une suite Exercice 4 : étude de divisibilité Rappel : Principe du raisonnement par récurrence Soit une proposition définie sur un intervalle de. Soit. Si : Alors : 1) la proposition est initialisée à un certain rang, c est-à-dire si au rang 2) la proposition est héréditaire à partir du rang, c est-à-dire si, pour tout tel que, on a l implication ( ) ( ) 3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que. Une proposition est un énoncé, soit vrai, soit faux. Un raisonnement par récurrence se rédige en 4 étapes successives : 0) on commence par énoncer la proposition à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels elle est définie 1) on vérifie que la proposition est vraie au rang initial (initialisation) 2) on prouve le caractère héréditaire de la proposition ; pour cela, on suppose qu elle est vraie pour un entier arbitrairement fixé et on démontre qu elle est encore vraie pour l entier suivant (hérédité) 3) on conclut en invoquant le principe du raisonnement par récurrence (conclusion) On vérifie que On suppose que On vérifie alors que On conclut que, pour tout entier naturel, rang rang rang Etape 1 Initialisation Etape 2 Hérédité Etape 3 Conclusion 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Soit ( ) la suite définie par et, pour tout, par. Démontrer que, pour tout,. Correction de l exercice 1 D une part, d après l énoncé, on a : D autre part, on a : Ainsi, on a : Donc, c est-à-dire que la proposition est initialisée au rang. Supposons que pour tout, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que, c est-à-dire montrons que. D après l énoncé, pour tout,. Or, d après l hypothèse de récurrence, d où : ( ). Autrement dit, on a ( ) vraie. On vient donc de montrer que, pour tout, si au rang, alors au rang. Autrement dit, la proposition est héréditaire. On vient d établir que et que, pour tout, ( ) ( ). Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, en vertu du principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. On a donc pour tout. 2

3 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Soit ( ) la suite définie par : { Montrer que, pour tout entier naturel,. Correction de l exercice 2 D une part, d après l énoncé, on a : D autre part, on a : Ainsi, on a : Donc, c est-à-dire que la proposition est initialisée au rang. Supposons que pour tout, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que, c est-à-dire montrons que. D après l hypothèse de récurrence,. Or, comme la fonction est définie et croissante sur donc sur,, c est-à-dire. De plus, comme la fonction est définie et croissante sur donc sur,, c est-àdire. Enfin, comme la fonction est définie et croissante sur donc sur [ ],, c est-à-dire est vraie.. Dès lors, comme, il résulte que. Autrement dit, ( ) 3

4 On vient donc de montrer que, pour tout, si au rang, alors au rang. Autrement dit, la proposition est héréditaire. On vient d établir que et que, pour tout, ( ) ( ). Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d après le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. En définitive, quel que soit,. Remarque importante : De ce résultat découle l existence de la suite pour tout entier naturel, puisque pour que la suite ( ) existe, il faut nécessairement que. 4

5 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Montrer que la suite ( ) définie par, et, pour tout, par est monotone. Correction de l exercice 3 Rappel : Etudier la monotonie d une suite revient à montrer que la suite est croissante ou décroissante. D après l énoncé, et, c est-à-dire. A ce stade, il est donc impossible de conjecturer la monotonie de la suite ( ). Calculons alors. On sait que, pour tout,, d où. Ainsi,. Conjecturons que la suite est décroissante, c est-àdire que, pour tout entier naturel,. Rappel : Décroissance d une suite Une suite est décroissante si, pour tout entier naturel,. et donc. ( ) est donc vraie, c est-à-dire que la proposition est initialisée au rang. Supposons que, pour tout,, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que, c est-à-dire montrons que. D après l énoncé,, c est-à-dire. Or, d après l hypothèse de récurrence,, c est-à-dire. Ainsi,. Il s ensuit que. Autrement dit,. On vient donc de montrer que, pour tout, si, alors. Autrement dit, la proposition est héréditaire. On vient d établir que et que, pour tout, ( ) ( ). Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d après le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. En définitive, quel que soit, : la suite ( ) est décroissante à partir du rang, c est-à-dire monotone. 5

6 Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen Démontrer que, pour tout, où. Correction de l exercice 4 Rappel : La relation signifie «divise», avec et entiers. D une part,. En effet, pour tout réel,. D autre part, 9 divise 0 puisque. Donc. Autrement dit, ; la proposition est initialisée au rang. Supposons que, pour tout,, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que, c est-à-dire montrons que. ( ) ( ) ( ) ( ) Or, par hypothèse,. De plus, ( ) car ( ) et car. Ainsi, divise chacun des trois termes de la somme. Donc divise. Autrement dit,. On vient donc de montrer que, pour tout, si, alors ; la proposition est héréditaire. On vient d établir que et que, pour tout, ( ) ( ). Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, en vertu du principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. Pour tout,. 6

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