P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

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1 T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple = + 8 = 9 = ( + ) = = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel : = ( ) b. Pricipe du raisoemet par récurrece. L idée du raisoemet par récurrece peut être décrite aisi : Si o peut se placer sur le barreau d ue échelle et si o peut passer d u barreau quelcoque au barreau suivat, alors o peut gravir tous les autres de barreaux de l échelle. c. Démostratio par récurrece. Soit P() ue propriété qui déped d u etier aturel et 0 N. Si les deux coditios suivates sot vérifiées : P( 0 ) est vraie (iitialisatio). pour importe quel etier 0, si P() est vraie alors P(+) est vraie (hérédité). alors : P() est vraie pour tout etier supérieur ou égal à 0. d. Exemple : démotrer que pour tout etier aturel : = + = ( ) Iitia lisatio : pour = : 3 = et (+) = doc P()est vérifiée. Hérédité : Il faut démotrer que si P() est vraie alors P(+) est vraie. - O suppose que: ( hypothèse de récurrece) = +, - il faut motrer que alors : ( + ) 3 = (+) + - Démostratio : ( + ) 3 = ( + ) 3 d'après l'hypothèse de récurrece : = + + ( + ) 3 = + + (+) 3 = (+) + (+) = (+) + + = (+) (+) doc P(+) est vraie. O e coclut que P() est vraie pour tout.

2 e. Exemple : o cosidère la suite (u ) à termes positifs défiie par u 0 = u + = u +, pour tout aturel Démotrer par récurrece que (u ) est croissate. Il s'agit de motrer que la propriété P() : u + u est vraie pour tout 0. Iitialisatio : pour = 0, u = u 0 + =, doc u u 0 : doc P(0 )est vérifiée. Hérédité : Il faut démotrer que si P() est vraie alors P(+) est vraie. - O suppose que: ( hypothèse de récurrece ): u + u, il faut démotrer que alors : u + u +. - Démostratio : Hypothèse de récurrece : u + u u + + u + La foctio x est croissate sur [0 ; + [ et les u sot positifs : u + + u + O e coclut que P() est vraie pour tout 0. La suite (u ) est croissate. u + u + doc P(+) est vraie.

3 T ale S Chapitre. Résumé page.. Limite d ue suite : rappels. a. Limite réelle (ou fiie). Défiitio : dire qu u réel l est limite d ue suite (u ) sigifie que tout itervalle ouvert de cetre l cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Au plus u ombre fii de u Tous les u à partir Au plus u ombre fii de u avec < m du rag m avec < m ] l [ O écrit : lim + u = et o dit que la suite (u ) est covergete de limite l. Les suites (u ) défiies par u =, v =, w = 3, t = ot pour limite 0. Ue suite qui e coverge pas est dite divergete. Elle a alors soit ue limite ifiie, soit aucue limite fiie. b. Limite ifiie. Défiitio : dire qu ue suite (u ) a pour limite + sigifie que tout itervalle ouvert de la forme ]A ;+ [ cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Au plus u ombre fii de u avec < m Tous les u à partir du rag m ] A O écrit : lim + u = +. Les suites (u ) défiies par u =, v =, w = 3, t = ot pour limite +. c. Limite d'ue suite arithmétique de raiso r. a. La suite géométrique u = q. - Si r > 0, alors lim + u = + - Si r < 0, alors lim + u = Théorème : Exemples : q est u réel. Si 0 < q <, alors lim + q = 0. Si q >, alors lim + q = +. Si q -, alors la suite a pas de limite. Si q =, (q ) est la suite costate de valeur. lim + q =. - la suite géométrique défiie par u = - la suite géométrique défiie par u = a pour limite 0 car < <. a pour limite + car >. - la suite géométrique défiie par u = a pas de limite.

4 T ale S Chapitre. Résumé page. b. Exercice : démotrer que la suite (u ) défiie par u = pour tout aturel o ul est covergete. Précisez sa limite. O a : u = + + +, o recoait etre parethèses la somme des -ers termes de la suite géométrique de t.i. et de raiso, o obtiet doc : u = = = =. Comme - < <, o peut coclure que lim + u = 0 3. Théorèmes sur les limites. a. Suites du type u = f(). Théorème : f est ue foctio défiie sur u itervalle]b ; + [ et (u ) est la suite défiie par u = f(). La lettre l désige soit u réel, soit +, soit -. Si lim x + f x = l alors lim + u = l. Exemple : étudier la limite de la suite (u ) défiie par u = O remarque que u = f() avec f x = x + x+ x, f foctio ratioelle et lim x +x x + f x = lim x + = x b. Suites du type u = f(v ). Théorème : doc lim + u = f est ue foctio défiie sur u itervalle I ; (v ) est ue suite dot tous les termes appartieet à I. Les lettres b et c désiget soit u réel, soit +, soit -. Si lim + v = b et lim x b f x = c alors lim + f(v ) = c. Exemple : Etudier la limite de la suite (u ) défiie pour tout par : u = 0, 0, +. - O pose v = 0,, o obtiet : u = f(v ) avec f x = x x+. - lim + v = 0 car -< 0, < et lim x 0 f x = f 0 = doc lim + u = C as particulier : Si (u ) coverge vers le réel L et si f est cotiue e L, alors lim + f u = f L.

5 T ale S Chapitre. Résumé page 6. c. Opératios et théorèmes de comparaiso. Rappels. Les théorèmes éocés pour les opératios sur les limites de foctios e + restet valables das le cas des suites, e particulier pour ue somme, u produit ou u quotiet de deux suites. Les cas de «formes idétermiées» sot les mêmes que ceux des foctios et se lèvet avec les mêmes méthodes. Théorèmes de comparaiso. (u ), (v ) et (w ) sot trois suites ; l est u réel. Si pour supérieur à u certai etier m, Si v u w et si lim + v = lim + w = l alors lim + u = l. Exemple : Démotrer que la suite (u ) défiie par u = Quelque soit o a : - si +si pour a pour limite. Quelque soit, - > 0 : si + La foctio x est décroissate sur [0 ; + [ : + + si + + si Si o pose v = + et w =, o a : lim v = lim w = v u w doc lim + u = Théorème (admis) : Si pour tout m, u v et si lim + v = + alors lim + = +. Si pour tout m, u v et si lim + v = alors lim u =. +

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