Principe de récurrence

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1 Pricipe de récurrece Remarues sur les formules sommatoires établies par récurrece à u terme. Le pricipe est toujours le même. O désire motrer u ue somme S u 0 + u u est égale à la valeur f () d ue foctio f e. L iitialisatio est simple e gééral (ecore faut-il compredre la otatio codesée). Pour l hérédité, puisue S + S + u +, il suffit deprouveruef ( +)f ()+u ou ecore ue f ( +) f () u +. P Cette remarue est pas aodie, si l o peut écrire ue somme S sous la forme (a k+ a k ), alors S (a a 0 )+ (a a )+... +(a + a )a + a 0. Ue telle somme est dite télescopiue. Les méthodes de sommatio automatiue (par exemple celles de Maple) reposet uiuemet sur cette idée. L algorithme le plus utilisée actuellemet est celui de Gosper-Zeilberger ui état doé u k das ue certaie classe de foctio trouve a k tel ue u k a k+ a k... Les basiues. Eocé des exercices ( +). Motrer par récurrece ue k k 4. Soit N o ul, o pose S() k.motrerues() 4 + ( + )4 + Y. Motrer ue, k + k 4. Motrer par récurrece ue, >.. O cosidère la suite (u ) N déþie par u 0 u + 4u u + Motrer ue N, u v 0 6. O cosidère la suite (v ) N déþie par v v + 4v + 4v Motrer ue N, v + 7. Détermier le terme gééral de la suite (u ) N déþie par u 0 0, u, u 4et N, u + u + u + +u... Les techiues. Pour tout etier l etier aturel + est divisible par 6.. Motrer ue pour tout N,oa Q (k)! (( +)!) + x x. Motrer par récurrece ue (x)+(x)+... +(x) si x 6 k (x) 4. Motrer par récurrece ue cos cos... cos si x 6 + k. r. Démotrer par récurrece ue N, cos {z } radicaux

2 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI 6. Motrer ue si N est o ul, 7. Motrer ue, p N, N, (Faire ue récurrece sur, àp Þxé).. Les exotiues r r 4 + Y 4k + 4k C p k Cp+ +. Motrer ue la foctio f déþie sur N par f () est à valeurs etières.. Soit (a ) N ue suite de réels positifs telle ue a et, a a + a a + a Motrer ue N, a 4.. O dit u u etier est composé si ou si il existe deux etiers a et b, tous deux, tels ue ab. Si est pascomposé,ilestditetier. Motrer par récurrece forte ue tout etier admet u ombre premier comme diviseur. E déduire u il existe ue iþité de ombre etiers 4. Soiet (a ) N ue suite d etiers aturels o uls telle ue N, Ã! X a k a k Que peut-o dire des a?.4. Les olympiues. Motrer par récurrece sur l etier ue pour toute famille (a i ) i de ombresréelsstrictemetpositifs,oa (a + a ) + + a a. Soit f : N N strictemet croissate telle ue f () et (p, ) N,f(p) f (p) f (). Motrer ue N, f () (ce résultat est du à Pal Erdös). Motrer par récurrece ue N, x [0,], p ((p ) x) p (x)+ (x) + (x) (( ) x) 0

3 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI.. Les basiues. Solutio des exercices. O rédige la première récurrece propremet. ( +) O déþit pour 0, P () k 0X 0 (0 + ) Iitialisatio : P (0) est vari car k 0. + X Hérédité : O suppose P () vraie à Þxé, 0. Motros P ( +).Oa k ( +) + k ( +) par hypothèse de récurrece. U calcul simple doe ( +) +( +) ( +) ( +) ( +)( +) O peut faire ce calcul avec ue calculatrice, o a alors, avec ue Ti 9 (+) + Au passage, le calcul de cette somme e pose aucu problème pour cette machie... Remarue : Cette relatio doat la somme des cubes des premiers etiers était coue des Arabes dès 800. Il l établissait à l aide du des suivat (ce gere de preuve est parfois appelée ue "preuve sas parole") : 4+x8 *97 x6+x8644 * U carré de (+++4+) de coté P Das le même style calculer (k +)à l aide d ue "preuve sas parole".

4 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI 4. Par récurece, si, o pose P () k 4 k 4 + ( + )4 +. O vériþe uep () est vraie, puis + X k k ( +) ( + ) (( +) ) ( 4 ( +6)) 4 + ( + +)4 + + Remarue : Calcul élémetaire pour ue Ti (le faire). Y. O déþit pour, P() k + k Q P () est vraie car k et 4. k O suppose ue P () est vraie à Þxé,, motros ue P ( +)est vraie. Q O a k +,oa k + Y k k à Y k! Ã! k ( +) + ( +) ( +) + ( +) O pouvait aussi le prouver directemet : Y k Y k k k k Y k Le produit est télescopiue, aisi (k ) (k +) k 4 {z } ( ) ( ) ( +) ( ) ( ) Idice k Y k k + 4. >, la récurrece commece bie à (car ), pour l hérédité, o a + > +. Or > +si > > +, (les racies de sot + et ). Doc + > ( +) O déþit, pour tout etier, lapropositiop () : u Iitialisatio : P (0) est varie car

5 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI Hérédité : O suppose, à Þxé, 0, uep () est vraie. Aisi par hypothèse de récurrece, o a u Alors u + 4u u ( ) ( ) ( )+( ) (+) car 4 +, + + et +. + (+) Aisi u + + (+) + et P ( +)est vraie. 6. Par récurrece à deux termes. O déþit, pour tout etier, lapropositiop () : v + Iitialisatio : P (0) vraie car v et P () vraie car v + Hérédité : O suppose, à Þxé, 0, uep () et P ( +)sot vraies. Aisi par hypothèse de récurrece, o a v + et v Par déþitio de la suite (v ),oav + 4v + 4v Aisi v et P ( +)est vraie aisi o a v U bref calcul ous permet de trouver u 9, u 4 6,... O cojecture ue u. O ote P () la propositio u, motros la par ue récurrece sur trois termes : Iitialisatio : o a clairemet P (0), P () et P () vraies. Hérédité : soit N, o suppose ue P (), P ( +)et P ( +)soiet vraies, motros ue P ( +)est vraie : u + u + u + + u ( +) ( +) + P (), P ( +)et P ( +) +6 +9( +) O a bie P ( +).. Les techiues. Pour 0,c est vrai (pour aussi ), supposos la propriété établie pour 0. Alors + est divisible par 6, aisi ( +) ( +) + l est aussi si et seulemet si ( +) ( +) + + ( +)+6 l est égalemet. Ce ui reviet à prouver ue ( +) est divisible par 6. Mais u des deux ombres ou + est écessairemet pair, aisi k N,( +)k et ( +)6k.. O pose pour, P () Q (k)! (( +)!). Pour, Q (k)! (( + )!). Supposos P () vrai à Þxé, alors Q (k)! (( +)!). Motros P ( +).Oa Q + (k)!(q (k)!) ( +)! (( +)!) ( +)!par hypothèse de récurrece. Il s agit doc de prouver ue (( +)!) ( +)! (( +)!) + Ce ui éuivaut à ( +)! ( +)! ( +)! ( +)! ( +)! ( +)! ( +) ( +) ( +4) ( +) ( +) Les facteurs ( +), ( +4),, ( +) sot tous supérieurs à +et au ombre de, ce ui prouve la derière iégalité.

6 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI 6. Soit x 6 k, opose,, P () P kx + x + x x. x. Supposos P () vraie pour, motros P ( +). O vériþeuep () est vraie, car + x + + x x x Cela reviet à prouver ue (( +)x) + (avez-vous bie + + compris pouruoi?). Avec (( +)x) x cos x,ilsuffit deprouverue + x + cos x + x soit + x x cos + x O recoaît ue formule de trigoométrie classiue, p... Y (x) (x) 4. Soit x 6 k, opose,, P () cos k. P() est vraie car cos x. x (x) (x) Supposos P () vraie, motros P ( +). Cela reviet à prouver ue cos car + Y " Y cos k # cos k cos +. E utilisat. O déþit pour 0, P() cos + + p...+. P () est vraie car cos cos 4, il y a u u seul radical. O suppose ue P () est vraie pour Þxé, motros ue P ( +)est vraie. O a (hypothèse de récurrece) cos p...+ avec radicaux, o écrit : cos cos +,siooteθ +,alorscos + cos(θ) et θ 0, + souviet de la relatio etre cos (θ) et cos (θ) : cos (θ) cos θ, ce ui doe cos θ cos + c est évidet!,doccos θ 0. Ose (cos (θ)+).e utilisat PP (), oobtietcos θ p...+ avec radicaux. Fialemet, comme cos θ 0, o obtiet cos + + p...+ avec +radicaux. O a bie P (). r r 6. O déþit, pour N,lapropriétéP () : 4 + Y 4k + 4k r P () est vraie car 7 r 7 9 les ombres sot ( et 4 49) 9 4+ O suppose, à Þxé,, ue P () est vraie. O désire prouver P ( +). Or o sait ue Q 4k+ 4k+ Q 4k+ 4(+)+ 4k+ 4(+) par hypothèse de récurrece (o a multiplié par u ombre positif). Il s agit doc ½ 4(+) de prouver les deux iégalités suivates : (+)+

7 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI 7 Les ombres sot tous positifs doc ragés das le même ordre ue leur carrés. Or (4 +)(4 +7) (4 +) , ce ui est clair. 4+ Et (+) (4 +)(4 +9) (4 +7) ce ui est clair. 7. Par récurrece sur, àp Þxé. Soit p N Þxé, o déþit, pour tout etier 0, lapropositiop () : P C p+ + Iitialisatio : P (0) vraie car P 0 Cp 0 Cp 0 ª si p0 0 si p60 C p+. Hérédité : O suppose, à Þxé, 0 ue P () est vraie. Aisi par hypothèse de récurrece, o a P kp Cp k Cp+ +. Et P + Cp k P Cp k + Cp + {z } terme pour k+ P (0) vraie C p+ + {z } par hypothèse de récurrece kp Cp k +C p + Cp+ + d après la relatio de Pascal. ¾ Coclusio : doc N, 0, P() vraie N, 0, P() P ( +) Iterprétatio? La somme des élémets d ue coloe jusu a ue lige doée se retrouve sur la lige et la coloe suivate :.. Les exotiues & Par récurrece sur, o prouve ue f () N. C est clair pour 0. Supposos ue f () N à Þxé, 0. Puisue f ( +) f () , o e déduit ue f ( +)f ()+ + + N. P Questio : Calculer k + k + Répose : O a f (k +) f (k) k + k + P, la somme demadée est télescopiue. k + k + P f (k +) f (k) f ( +) f (0) (+) + (+) + 7(+).. Par récurrece sur, o déþit P () a 4. P () est vraie, supposos P (k) vraie à k Þxé. Alors a + 4 ue (+) (+) 8 6 ( ) ( +) 0. ( ) (+) 8.Ilsuffit devériþer. Par récurrece forte sur, o déþit P () admet u diviseur premier Si c est vrai car est premier. Si P (),..., P () sot vraies pour. Alorsoubie + est premier et + divise +. Sio +ab, a doc d après P (a), a admet u diviseur premier p. Maisalorsp divise aussi +. Motros l iþité des ombres premiers. Supposos u il y e a u u ombre Þi p,..., p N alors p p...p + a u diviseur premier p. Mais p e peut être égal à aucu des p i o p divise! Absurde! C est la démostratio

8 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI 8 d Euclide. 4. Pour,oaa a, mais a 60 a. Pour, + a (+a ) a 0ou a ou a. Doc a. O peut cotiuer ecore u peu, doe + + a (++a ) a a 6a 0dot les solutios sot a 0,a,a...Il semble ue la seule solutio soit a. O démotre le résultat par récurrece forte sur.odéþit pour la propositio P() a. L iitialisatio a été vue pour, et.supposos,àþxé, ue P (),P(),..., P () sot vraies. Alors par hypothèse, + P a k P + P k + a + P a k a + + k,maisp() permet d écrire ue P P ( +) k k. Ce ui doe + P a k P k + a P + a + + ( +) + a + a + +a + k P a + a + ( +)a + 0 a + 0ou a + +ou a + a + état strictemet positif, o peut coclure ue a + +. Coclusio, la seule suite ui coviee est telle ue :, a P k + k.4. Les olympiues. Soit P () (a,..., a ) R+, (a + a ) a + + a. Il est clair ue P () est vraie. Supposos P () vraie au rag. Soiet a,..., a + + réels strictemet positifs, posos x k (a + a k ) a + + a k, x + x + a + a + + a +(a + + a ) a + + Pour tout réel x>0, o a x + x ( x x + 0 ), aisi a + a k + ak a + pour k,,...,. O e déduit ue a + a + + a +(a + + a ) a + ce ui permet de coclure à x + + +( +) (d après P () appliuée à a,..., a ).. Par récurrece forte sur. OdéÞit P () f (). O sait ue f ( 0) f () f (0) f (0) f (0) doc f (0) 0 ce ui prouve P (0). Puis 0 < < doc par stricte croissace 0f (0) <f() <f(). Mais f est à valeurs etières doc f (). Ceci prouve P (). O viet d exposer les deux grades idèes de la démostratio. Supposos P (0),P(),..., P () vraies à 0 Þxé. Motros P ( +). Si +p est pair alors f ( +)f () f (p) p car P (p) vraie. Si +p +est impair alors p p +< (p +) f (p) <f( +)<f(p +). Mais f (p) p (car P () vraie), f (p +)f () f (p +)(p +) car p + p +(dès ue p 0 ).et doc P (p +) vraie.. Par récurrece sur l etier.pour c est clair. O suppose ue c est vrai pour Þxé. Par l absurde, si la somme est pas toujours positive, elle atteit so miimum e x 0 [0,] tel ue sa dérivée e x 0 soit ulle. Aisi P + p cos ((p ) x 0)0, mais (x 0 ) P + p cos ((p ) x 0) P + p (x 0) cos ((p ) x 0 ) P + p0 [ (px 0) ((p ) x 0 )]

9 Géry Huvet. Lycée Baggio. PTSI 9 o (( +)x 0 )0 x 0 +, +, (+) +,..., +. Il reste à vériþer u e ces poits la somme de départ est positive ce ui coduit à ue absurdité. D après l hypothèse de récurrece P + p P p ((p )x 0 ) p Mais (( +)x 0 ) 0 k. ( +) (k+) + ((p )x 0 ) p 0 + ((+)x 0) + ( + ) (k+) + (k+) + > 0 car (k+) + [0,] si