9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ).

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n )."

Transcription

1 Exercice 75 p 55 exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier terme u 0. ) Démontrer par récurrence qu une telle suite est croissante. ) Si (u n ) converge vers L, quelles sont les limites possibles pour L? ) a) A l aide d un tableur, calculer les 0 premiers termes de la suite (u n ) pour différentes valeurs de u 0. b) Conjecturer, suivant les valeurs de u 0, la limite de la suite (u n ). c) Démontrer ces conjectures. Exercice 87 p 57 On considère la fonction f définie sur ]- ;6[ par f(x) = 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = - et pour tout entier naturel n, u n+ = f(u n ). ) a) Démontrer que, si x <, alors 6 x < En déduire que u n < pour tout entier naturel n. b) Etudier le sens de variation de la suite (u n ). c) Que peut-on déduire des questions ) a) et ) b). ) On considère la suite (v n ) définie sur V par v n = raison. u n -. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite arithmétique de b) Déterminer v n puis u n en fonction de n. c) Calculer la limite de la suite (u n ).

2 Exercice 75 p 55: exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier terme u 0. ) Démontrer par récurrence qu une telle suite est croissante. ) Si (u n ) converge vers L, quelles sont les limites possibles pour L? ) a) A l aide d un tableur, calculer les 0 premiers termes de la suite (u n ) pour différentes valeurs de u 0. b) Conjecturer, suivant les valeurs de u 0, la limite de la suite (u n ). c) Démontrer ces conjectures. ) Soit P n la proposition u n+ u n pour tout entier naturel n. Initialisation : u = + u 0² u u 0 = + u 0² - u 0 = + u 0² - u 0 = (u 0 )² 0 Donc u u 0 Donc P 0 est vraie. Hérédité : Supposons P n vraie pour un entier naturel n fixé. u n+ = + u n+² Or d après l hypothèse de récurrence, u n+ u n, donc + u n+² + u n² Soit u n+ u n+ Donc P n+ est vraie. Remarque : la démonstration par récurrence n est pas nécessaire pour démontrer la croissance de (u n ). En effet, u n+ u n = + u n² - u n = u n² - u n + = (u n )² 0 suffit.

3 exercices sur les suites Symbole Belin 0 ) Si u n converge vers L, alors L vérifie l équation : L = + L². Soit : L = L² + Soit L² - L + = 0 Soit (L )² = 0 Soit L =. ) a) A l aide d un tableur, on peut émettre les conjectures suivantes : Justification : Si - u 0 alors la suite (u n ) devient stationnaire et converge vers. Sinon lim u n = + Si - u 0, montrons par récurrence que u n. Soit P n la proposition u n pour tout entier naturel n. P 0 est vraie car u 0. Supposons P n vraie pour un entier n fixé. On a alors u n donc + u n ² ou encore + u n² Soit u n+. Donc P n+ est vraie. La suite (u n ) est alors croissante et majorée par. Donc la suite (u n ) est convergente et d après la question ) sa limite est. Si u 0 < - ou u 0 >, montrons par récurrence que u n > pour n V* Soit P n la proposition u n > pour tout entier naturel n non nul. u 0 < - ou u 0 >, donc u 0 ² > et + u 0² Donc P est vraie. > soit u > Supposons P n vraie pour un entier n fixé non nul On a alors u n > donc + u n² Soit u n+ >. >

4 Donc P n+ est vraie. exercices sur les suites Symbole Belin 0 La suite (u n ) est alors croissante et ses valeurs sont strictement plus grandes que à partir du rang. Donc la limite de la suite (u n ) ne peut être. Donc la suite (u n ) diverge vers +. Exercice 87 p 57 On considère la fonction f définie sur ]- ;6[ par f(x) = 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = - et pour tout entier naturel n, u n+ = f(u n ). ) a) Démontrer que, si x <, alors 6 x < En déduire que u n < pour tout entier naturel n. b) Etudier le sens de variation de la suite (u n ). c) Que peut-on déduire des questions ) a) et ) b). ) On considère la suite (v n ) définie sur V par v n = u n -. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite arithmétique de raison. b) Déterminer v n puis u n en fonction de n. c) Calculer la limite de la suite (u n ). ) a) Si x <, alors x > - et 6 x > 6 Puis 6 x < car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [ Et finalement 6 - x < soit 6 - x <. Montrons par récurrence que u n < pour tout entier naturel n. Soit P n la proposition u n < pour tout entier naturel n. P 0 est vraie car u 0 = - <. Supposons P n vraie pour un entier n fixé. On a donc u n < alors Soit u n+ <. 6 u n < d après le résultat précédent. Selon le principe de récurrence, P n est donc vraie pour tout entier naturel n. 4

5 exercices sur les suites Symbole Belin 0 b) u n+ u n = u n = (6 u n) u n = u n² - 6u n + = (u n )² 6 - u n 6 - u n 6 u n 6 - u n Comme u n < alors 6 u n > 6 > 0 D autre part, (u n )² > 0 Donc u n+ > u n La suite (u n ) est donc strictement croissante. c) La suite (u n ) étant croissante et majorée par est donc convergente. ) (v n ) est bien définie sur V car comme u n < alors u n 0. a) v n+ = u n+ - = 6 u n = (6 u n ) = 6 u n u n u n Or v n = u n - u n = u n = + v n v n 6 v n v n Donc v n+ = + = - v n v n = v n = v n Ce qui est la définition récurrente d une suite arithmétique de raison r =. b) On a : v n = v 0 +n r = et u n = + v n = u n = n n = n lim n = 0 ; donc lim u n = 5

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente f est la fonction définie sur D = ]- ;3[ ]3 ;+ [ par f(x) = x + 1 3 - x. 1) a) Etudier les variations de f sur D, ses limites aux bornes de D puis construire sa représentation graphique C f dans un repère

Plus en détail

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel ISEL - Année Mathématiques Suites - Rappel Raisonnement par récurrence Soit une propriété P (n) dépendant d'un entier naturel n. Pour montrer que cette propriété est vraie à partie de l'entier n 0 :. on

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

Etude de limites de suites définies par

Etude de limites de suites définies par Etude de limites de suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) I) Généralités 1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence,

Plus en détail

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 009-00 Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme.

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

Suite récurrente définie par une fonction

Suite récurrente définie par une fonction Suite récurrente définie par une fonction Rédigé par un enseignant et un élève de l Ecole Polytechnique (Vincent Langlet). Niveau : Approfondir la Terminale S ou Première Année post bac Difficulté : Exercice

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION TS - Maths - DS3 - CORRECTION Samedi 4 Novembre 20-2h Exercice Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne On donnera une valeur approchée à 0 2 près des résultats

Plus en détail

Suites numériques. Z, auctore. 4 octobre u n+1 = u n + r. (1) u n = u 0 + n r (2) u 0 + u 1 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2

Suites numériques. Z, auctore. 4 octobre u n+1 = u n + r. (1) u n = u 0 + n r (2) u 0 + u 1 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2 Suites numériques Z, auctore 4 octobre 005 1 Suites arithmétiques Définition. Une suite de nombres (u n ) n N est arithmétique lorsqu il existe un nombre r tel que pour tout entier n on ait Ce nombre r

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m 1 TS Rappels sur les suites Cours I. Définitions Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m L image u(n) de l entier n est notée

Plus en détail

Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut:

Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut: Suites - Récurrence 1. Définitions - Rappels 1.1.Modes de définition d une suite La suite 0 =0 1 = =4 3 =6 peut être définiededeuxmanières: Définition explicite : ½ = Définition récurrente : 0 =0 +1 =

Plus en détail

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Exemple: RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Montrons par récurrence que pour tout n N *, P (n) : i=n i = 1 + + 3 +...+ ( n -1) + n = n n1 n n1 Initialisation : pour n = 1 i =1 et = 111 =1 donc P(1) est vraie.

Plus en détail

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS Exercice 5 points. n N, u n = n n( n + = n ) n( + = n ) n + n Or par somme, on a lim n = et lim + n =. Ainsi par quotient, lim u n = réponse

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 CPUS I. Les suites numériques I.1. Premières définitions. Définition. Une suite réelle est une fonction dont l ensemble de départ est une partie de N du

Plus en détail

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : expression du terme général d une suite Exercice 2 : majoration

Plus en détail

Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé

Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé Exercice Pour n N nn + ), on pose Hn) : k := + + 3 + + n =. k= Pour n =, les deux membres de l égalité valent et donc H) est vraie. Soit ensuite

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N Lycée Dominique Villars ECE COURS ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (u n ) n N telle qu il existe une fonction réelle f : I R telle que : n N, u n+ = f(u n ) On va voir

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire

Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire Terminale S Problème de synthèse n f est la fonction définie sur par f() = orthonormal (O; i ; j )(unité graphique : 2 cm). A. Etude de la fonction f + - et C sa courbe représentative dans un repère ²

Plus en détail

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans DST n 4 - Corrigé Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui

Plus en détail

Exercice n 114 page 128

Exercice n 114 page 128 Jeudi 28 Février 2013 DM de Maths Exercice n 114 page 128 1) a) Voir papier millimétré 1) b) D après la représentation graphique des premiers termes de la suite (u n ), on peut conjecturer qu elle est

Plus en détail

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

BACCALAUREAT BLANC GENERAL. Epreuve: MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE

BACCALAUREAT BLANC GENERAL. Epreuve: MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE BACCALAUREAT BLANC GENERAL Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.

Plus en détail

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites) Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre

Plus en détail

Suites. 1 Suite géométrique. Chapitre I. 1.1 Définition. 1.2 Propriétés

Suites. 1 Suite géométrique. Chapitre I. 1.1 Définition. 1.2 Propriétés Chapitre I Suites Exercices 8, 9, 0, 3, 4, 6, 3, 3, 34 page 34 pour revoir les notions de première sur les suites (récurrence, sens de variation...) Suite géométrique. Définition Définition Une suite u

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques Université de Rennes 1 Ronan Quarez UFR Mathématiques Année 2008-2009 CAPES 1 Critère de Cauchy 1.1 QCM Suites numériques a) Toute suite de Cauchy, d entiers relatifs, converge dans Z? b) Toute suite de

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Exercices 2 octobre 2014 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Raisonnement par récurrence Exercice 1 Prouver que pour tout entier n, 4 n + 5 est un multiple de 3. Exercice 2 Prouver que pour

Plus en détail

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques Chapitre 2 Suites Sommaire 1 Généralités sur les suites....................................... 1.1 Définition d une suite...................................... 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques..........................

Plus en détail

Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b.

Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b. PGCD de deux entiers naturels Diviseurs communs à deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls. L ensemble des diviseurs communs à a et b est une partie de Z non vide

Plus en détail

Des outils pour les suites

Des outils pour les suites Des outils pour les suites Suites arithmético-géométriques Définition : ppelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme : où a et b sont des nombres réels. Quelques cas particuliers

Plus en détail

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence.

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. Pré-requis : Suites numériques : monotonie, convergence, divergence ; Théorème des valeurs intermédiaires ; R est complet :

Plus en détail

Suites numériques (1 re partie)

Suites numériques (1 re partie) Chapitre 1 Suites numériques (1 re partie) I Prérequis I.1 Définition d une suite Définition. Une suite numérique est une liste de nombres réels «numérotés» par les nombres entiers naturels. N R On peut

Plus en détail

Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés

Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : étudier le sens de variation d une suite

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Terminale Scientifique (S) : Cours de mathématiques (Terminale S) I. Chapitre 01 : Les suites 1. Etude globale d une suite A. Les suites majorées, minorées, bornées La suite ( ) est majorée si et seulement

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

Les suites. u : N R. n u(n) = e ln(n+1)+2 Compléter le tableau de valeurs (les images) par la suite u : n u n.

Les suites. u : N R. n u(n) = e ln(n+1)+2 Compléter le tableau de valeurs (les images) par la suite u : n u n. Les suites 1 Suites généralités 1.1 Définition Une suite u est une fonction de l ensemble des entiers naturels N dans l ensemble des nombres réels R : Le terme u(n) est plus souvent noté u n. 1. Soit la

Plus en détail

Etude de limites de suites monotones

Etude de limites de suites monotones Etude de ites de suites monotones I) Définition On dit que la suite ( ) est majorée lorsqu il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, M. On dit que M est un majorant de la suite (

Plus en détail

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Exercice On considère les matrices 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 4 ; 0 2 ; 0 2 0 ; 0 0 4 0 4 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ) Soit la matrice 4 0 4 2 a) Prouver

Plus en détail

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013

Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013 Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 01/013 Table des matières 1 Suites géométriques : Rappels et compléments 1.1 Définition, exemples........................................... 1. Expression

Plus en détail

Exercices : Suites et récurrence

Exercices : Suites et récurrence Exercices : Suites et récurrence Exercice 1. 008 (5 points) Les parties A et B sont indépendantes. Partie A On considère l ensemble (E) des suites (x n ) définies sur N et vérifiant la relation suivante

Plus en détail

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A.

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A. 16 Proposition : La somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q 1 est : n 1 u 0 q k 1 q n = u 0 1 q k=0 Il suffit de calculer (1 q) n 1 k=0 qk = n 1 k=0 qk n 1 k=0 qk+1 = n 1 k=0 qk

Plus en détail

SUITE. Il existe deux grands moyens de dénir une suite : 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée

SUITE. Il existe deux grands moyens de dénir une suite : 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée SUITE I ) Rappels et dénition 1. N est l'ensemble des entiers naturels : 0,1,2... Une suite numérique est une fonction de N (ou une partie de N) dans R u : N R n u n Exemple : suite de Fibonnacci : 1,

Plus en détail

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α.

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α. Eercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010 TS4 DS5 19/01/11 Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par ϕ() = 1+ 2 2 2 ln(). 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE. Option Économie AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE LA ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Exercice Les symboles Ln et tan représentent respectivement le logarithme népérien

Plus en détail

( ) de premier terme

( ) de premier terme Suites arithmétiques Suites géométriques I Suites arithmétiques 1 Définition Une suite arithmétique est une suite obtenue en ajoutant au terme précédent toujours un même nombre, appelé raison Pour tout

Plus en détail

Terminale S Suites numériques

Terminale S Suites numériques Terminale S Suites numériques Raisonnement par récurrence. Introduction En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la n(n + ) somme des entiers naturels

Plus en détail

Giuseppe Peano ( )

Giuseppe Peano ( ) Giuseppe Peano (1858-1932) Mathématicien et philosophe italien, il est l'un des premiers à avoir compris l'importance de fonder les mathématiques sur quelques axiomes précis, et d'en déduire ensuite théorèmes...

Plus en détail

Corrigé du bac S Antilles-Guyane juin 2014

Corrigé du bac S Antilles-Guyane juin 2014 orrigé du bac S Antilles-Guyane juin 204 EXERIE ommun à tous les candidats Partie A 5 points. a. L arbre pondéré est le suivant : 0,80 0,85 J 0,20 0,5 J 0,0 b. D après l arbre : 0,90 ( ) p J = 0,5 0,0=0,05.

Plus en détail

Leçon 41 : Suites arithmétiques, suites géométriques

Leçon 41 : Suites arithmétiques, suites géométriques Leçon 41 : Suites arithmétiques, suites géométriques Pré-requis : Raisonnement par récurrence, limites de suite, résolution d'un système d'équations, notions de suites (définition, étude de monotonie),

Plus en détail

LEÇON N 56 : 56.1 Monotonie de la suite

LEÇON N 56 : 56.1 Monotonie de la suite LEÇON N 56 : Étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence u n+1 = f(u n ) et une condition initiale. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation

Plus en détail

Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence

Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence Chapitre 1 : Principe du raisonnement par récurrence Chapitre 1 Le principe du raisonnement par récurrence 1 I Exemple introductif On considère les suites de terme général : n (n + 1) u n = 0 + 1 + + (n

Plus en détail

Représenter graphiquement (sur un même schéma) ces trois ensembles.

Représenter graphiquement (sur un même schéma) ces trois ensembles. PCSI DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES n 4 07/1/001 Durée : 4 heures EXERCICE 1 : Calculatrices interdites Dans le plan complee rapporté au repère orthonormal (O; e 1, e, on définit une transformation

Plus en détail

Chapitre 2 - Suites et récurrence

Chapitre 2 - Suites et récurrence Lycée Jaufré RUDEL - BLAYE 14 septembre 016 Les suites, c'est quoi déjà? Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmétiques Dénition Terme général Somme de N termes consécutifs Sommes Suite

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

ou = La solution à retenir étant bien évidemment celle qui est positive.ainsi = 1+ 5

ou = La solution à retenir étant bien évidemment celle qui est positive.ainsi = 1+ 5 Terminale S Correction du Devoir Surveillé n 5 Exercice 1 : Partie A : Le Nombre d Or 1. =1+ 1+1+ 1+ =1+φ. On obtient l équation du second degré φ 1=0 Le discriminant est = 4=1 4 1 1=5 Il y a donc deux

Plus en détail

Suites logistiques Algorithme

Suites logistiques Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 octobre 2015 à 10:11 Suites logistiques Algorithme 1 Définition et propriétés Définition 1 : Une suite logistique (u n ) est une suite définie sur N par : u 0 [0 ; 1] et u n+1

Plus en détail

SUITES I. GENERALITES. a. Définition et notations. b. Différentes façons de définir une suite

SUITES I. GENERALITES. a. Définition et notations. b. Différentes façons de définir une suite SUITES I. GENERALITES a. Définition et notations On appelle suite numérique, toute application de IN dans IR Une suite se note (u n ) n IN, (u n ) n 0 ou (u n ) On dit que u n est le terme général de la

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S - Enseignement obligatoire. Suites numériques Recueil d annales en Mathématiques Terminale S - Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : septembre 2005 fredericdemoulin@voilafr Tableau récapitulatif des exercices indique que cette

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2008

Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2008 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 www.mathoman.com Exercice Commun à tous les candidats A - Vrai ou faux? Dans l espace soient P, P 2 et P 3 trois plans distincts et D une droite. ) Si P P 2 et

Plus en détail

SUITES ET RÉCURRENCE

SUITES ET RÉCURRENCE SUITES ET RÉCURRENCE En première : une suite ( ) est une fonction particulière : son ensemble de définition est constitué d'entiers, on peut donc parler (contrairement aux fonctions en général) de l'image

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Cours maths Terminale S

Raisonnement par récurrence Cours maths Terminale S Raisonnement par récurrence Cours maths Terminale S Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence. Ce grand principe

Plus en détail

Mathématique ECS 1 03 Sept Devoir surveillé 1.

Mathématique ECS 1 03 Sept Devoir surveillé 1. Mathématique ECS 0 Sept. 06 Devoir surveillé. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points.

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Suites

Exercices supplémentaires : Suites Exercices supplémentaires : Suites Partie A : Calculs de termes et représentation graphique Exercice On considère la suite définie par 4 pour tout N. Calculer,, et Exercice On considère la suite définie

Plus en détail

FONCTIONS COMPOSEES EXERCICES CORRIGES

FONCTIONS COMPOSEES EXERCICES CORRIGES Cours et eercices de mathématiques M CUAZ, http://mathscyrfreefr FONCTIONS COMPOSEES EXERCICES CORRIGES Eercice n On considère les fonctions suivantes : f :, f : et : 4 g Donner l ensemble de définition

Plus en détail

Bac blanc février 2013

Bac blanc février 2013 Lycée Louise MICHEL Terminales S MATHEMATIQUES Année 0/0 Bac blanc février 0 (Durée : 4 heures.) Les calculatrices sont autorisées, mais l échange de tout matériel est interdit. Les brouillons ne sont

Plus en détail

Limite de suites. I Introduction 1. II Définitions 1 1 Limite finie Limite infinie III Limites usuelles 2

Limite de suites. I Introduction 1. II Définitions 1 1 Limite finie Limite infinie III Limites usuelles 2 Limite de suites Table des matières I Introduction II s Limite finie............................................ 2 Limite infinie.......................................... III Limites usuelles 2 IV Opérations

Plus en détail

2(xex ) = 2 0 = 0 ( croissances comparées ) x x lim. f 3

2(xex ) = 2 0 = 0 ( croissances comparées ) x x lim. f 3 Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 03 EX : (4poi nt s Commun à tous les candidats ( 6 points Partie A - Étude d une fonction. On considère la fonction f définie sur R par f (x = (x + e x.. Déterminer la

Plus en détail

Suites - cours - 1 STG

Suites - cours - 1 STG Suites - cours - STG F.Gaudon 0 juin 2006 Table des matières Notion de suite 2. Définitions............................. 2.2 Méthodes de construction des suites............... 2.2. Définition explicite....................

Plus en détail

Suites. 1 Généralité. 1.1 Définition. 1.2 Variations d une suite. Terminale L ES

Suites. 1 Généralité. 1.1 Définition. 1.2 Variations d une suite. Terminale L ES Suites 1 Généralité 1.1 Définition Une suite u est une fonction définie dans l ensemble des entiers naturels N : La suite u peut être notée (u) n N, u : N R n u(n) Le terme u(n), image de n par u, est

Plus en détail

TS Corrigé du bac blanc n 2 du 23 avril Ex 1 :

TS Corrigé du bac blanc n 2 du 23 avril Ex 1 : TS Corrigé du bac blanc n 2 du 23 avril 2014 Ex 1 : Ex 2 : t Ex 3 : Partie A : 1. lim (x +1=+ et lim e x =+, d'où par produit : x + x + Pour tout x réel, f (x=xe x +e x. Or, lim xe x =0 (croissances comparées

Plus en détail

Enseignement obligatoire

Enseignement obligatoire Wallis et Futuna Cours de MATHÉMATIQUES Fabien PUCCI Classe de Terminale S Enseignement obligatoire Année 05 Table des matières Suites - Raisonnement par récurrence 7 I Démonstration par récurrence..................................

Plus en détail

Logique, ensembles, raisonnements

Logique, ensembles, raisonnements Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n Logique, ensembles, raisonnements 1 Logique Exercice 1 Soient les quatre assertions suivantes : (a) x R y R x + y > 0 ; (b) x R y R x + y > 0 ; (c) x R y R

Plus en détail

1 Introduction sur les suites numériques

1 Introduction sur les suites numériques ISEL - Année Mathématiques SUITES NUMERIQUES Introduction sur les suites numériques. Dénition Dénition On appelle suite réelle toute application U d'une partie A de IN dans IR. A IR U : avec A IN. L'image

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R On a vu dans le chapitre

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 1 : Les suites

TERMINALE S Chapitre 1 : Les suites Généralités 1. Mode de génération ( ) ( ) La La ( ) définie par ( ) définie par 2. Monotonie REMARQUE5 Si une suite ( ) est définie de maniére explicite telle que ( ) suivent celles de f =f(n) pour tout

Plus en détail

Suites. d 1 = 1 e 1 = 20 a 2 = 4 b 2 = 1 2. c 2 = 1,75= 7 4. d 2 = 3 e 2 = 4 a 3 = 9 b 3 = 1 3. c 3 = 1,875= c 4 = 1,9375= 31.

Suites. d 1 = 1 e 1 = 20 a 2 = 4 b 2 = 1 2. c 2 = 1,75= 7 4. d 2 = 3 e 2 = 4 a 3 = 9 b 3 = 1 3. c 3 = 1,875= c 4 = 1,9375= 31. 1 Exemples simples Exercice 1.1 Á partir de leurs premiers termes On connaît les premiers termes de quelques suites. Suites Suite a n ) Suite b n ) Suite c n ) Suite d n ) Suite e n ) a 0 = 0 c 0 = 1 e

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE PARIS 8. Département de Mathématiques et Informatique. Cours d analyse

UNIVERSITÉ DE PARIS 8. Département de Mathématiques et Informatique. Cours d analyse UNIVERSITÉ DE PARIS 8 Département de Mathématiques et Informatique Cours d analyse Pierre-Louis CAYREL inspiré par les documents de : Guy Laffaille, Christian Pauly et Arnaud Bodin Cours Intensif 009-010

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015

Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 15 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 6 POINTS 1. Pour toutes les courbes, on a g a (1)= a. Donc on a de bas en haut les courbes Γ,5, Γ,1,

Plus en détail

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES.

RAPPELS CHAPITRE 4 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. 1 : SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. I) RAPPELS DE COURS : Caractérisation par une relation de récurrence Caractérisation par une formule explicite Représentation graphique sur un axe Suites

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

Correction du bac blanc mars 2012 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats

Correction du bac blanc mars 2012 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats Correction du bac blanc mars 202 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats Partie A La fonction f est définie sur l intervalle [0 ; + [ par f x = 20x 0 e 2 x On note C la courbe représentative

Plus en détail

TS Limites de suites Cours. Exemples : Ex 3 page 45 ; suite (2n²)+algo dépassement. I. Définitions 1. Limite infinie. 2. Limite finie.

TS Limites de suites Cours. Exemples : Ex 3 page 45 ; suite (2n²)+algo dépassement. I. Définitions 1. Limite infinie. 2. Limite finie. TS Limites de suites Cours I. Définitions 1. Limite infinie Définition Dire qu une suite (u n ) a pour limite + signifie que tout intervalle ouvert de la forme [A ; + [ contient tous les termes de la suite

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 2016 : correction

Baccalauréat Blanc 2016 : correction Baccalauréat Blanc 016 : correction EXERCICE 1 Le chikungunya est une maladie virale transmise d un être humain à l autre par les piqûres de moustiques femelles infectées. Un test a été mis au point pour

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales Terminale S Problème de synthèse n n est un entier naturel, n. On note f n la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f n (x) = (ln x)n et C x² n.sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ;

Plus en détail