9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ).

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1 Exercice 75 p 55 exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier terme u 0. ) Démontrer par récurrence qu une telle suite est croissante. ) Si (u n ) converge vers L, quelles sont les limites possibles pour L? ) a) A l aide d un tableur, calculer les 0 premiers termes de la suite (u n ) pour différentes valeurs de u 0. b) Conjecturer, suivant les valeurs de u 0, la limite de la suite (u n ). c) Démontrer ces conjectures. Exercice 87 p 57 On considère la fonction f définie sur ]- ;6[ par f(x) = 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = - et pour tout entier naturel n, u n+ = f(u n ). ) a) Démontrer que, si x <, alors 6 x < En déduire que u n < pour tout entier naturel n. b) Etudier le sens de variation de la suite (u n ). c) Que peut-on déduire des questions ) a) et ) b). ) On considère la suite (v n ) définie sur V par v n = raison. u n -. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite arithmétique de b) Déterminer v n puis u n en fonction de n. c) Calculer la limite de la suite (u n ).

2 Exercice 75 p 55: exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier terme u 0. ) Démontrer par récurrence qu une telle suite est croissante. ) Si (u n ) converge vers L, quelles sont les limites possibles pour L? ) a) A l aide d un tableur, calculer les 0 premiers termes de la suite (u n ) pour différentes valeurs de u 0. b) Conjecturer, suivant les valeurs de u 0, la limite de la suite (u n ). c) Démontrer ces conjectures. ) Soit P n la proposition u n+ u n pour tout entier naturel n. Initialisation : u = + u 0² u u 0 = + u 0² - u 0 = + u 0² - u 0 = (u 0 )² 0 Donc u u 0 Donc P 0 est vraie. Hérédité : Supposons P n vraie pour un entier naturel n fixé. u n+ = + u n+² Or d après l hypothèse de récurrence, u n+ u n, donc + u n+² + u n² Soit u n+ u n+ Donc P n+ est vraie. Remarque : la démonstration par récurrence n est pas nécessaire pour démontrer la croissance de (u n ). En effet, u n+ u n = + u n² - u n = u n² - u n + = (u n )² 0 suffit.

3 exercices sur les suites Symbole Belin 0 ) Si u n converge vers L, alors L vérifie l équation : L = + L². Soit : L = L² + Soit L² - L + = 0 Soit (L )² = 0 Soit L =. ) a) A l aide d un tableur, on peut émettre les conjectures suivantes : Justification : Si - u 0 alors la suite (u n ) devient stationnaire et converge vers. Sinon lim u n = + Si - u 0, montrons par récurrence que u n. Soit P n la proposition u n pour tout entier naturel n. P 0 est vraie car u 0. Supposons P n vraie pour un entier n fixé. On a alors u n donc + u n ² ou encore + u n² Soit u n+. Donc P n+ est vraie. La suite (u n ) est alors croissante et majorée par. Donc la suite (u n ) est convergente et d après la question ) sa limite est. Si u 0 < - ou u 0 >, montrons par récurrence que u n > pour n V* Soit P n la proposition u n > pour tout entier naturel n non nul. u 0 < - ou u 0 >, donc u 0 ² > et + u 0² Donc P est vraie. > soit u > Supposons P n vraie pour un entier n fixé non nul On a alors u n > donc + u n² Soit u n+ >. >

4 Donc P n+ est vraie. exercices sur les suites Symbole Belin 0 La suite (u n ) est alors croissante et ses valeurs sont strictement plus grandes que à partir du rang. Donc la limite de la suite (u n ) ne peut être. Donc la suite (u n ) diverge vers +. Exercice 87 p 57 On considère la fonction f définie sur ]- ;6[ par f(x) = 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = - et pour tout entier naturel n, u n+ = f(u n ). ) a) Démontrer que, si x <, alors 6 x < En déduire que u n < pour tout entier naturel n. b) Etudier le sens de variation de la suite (u n ). c) Que peut-on déduire des questions ) a) et ) b). ) On considère la suite (v n ) définie sur V par v n = u n -. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite arithmétique de raison. b) Déterminer v n puis u n en fonction de n. c) Calculer la limite de la suite (u n ). ) a) Si x <, alors x > - et 6 x > 6 Puis 6 x < car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [ Et finalement 6 - x < soit 6 - x <. Montrons par récurrence que u n < pour tout entier naturel n. Soit P n la proposition u n < pour tout entier naturel n. P 0 est vraie car u 0 = - <. Supposons P n vraie pour un entier n fixé. On a donc u n < alors Soit u n+ <. 6 u n < d après le résultat précédent. Selon le principe de récurrence, P n est donc vraie pour tout entier naturel n. 4

5 exercices sur les suites Symbole Belin 0 b) u n+ u n = u n = (6 u n) u n = u n² - 6u n + = (u n )² 6 - u n 6 - u n 6 u n 6 - u n Comme u n < alors 6 u n > 6 > 0 D autre part, (u n )² > 0 Donc u n+ > u n La suite (u n ) est donc strictement croissante. c) La suite (u n ) étant croissante et majorée par est donc convergente. ) (v n ) est bien définie sur V car comme u n < alors u n 0. a) v n+ = u n+ - = 6 u n = (6 u n ) = 6 u n u n u n Or v n = u n - u n = u n = + v n v n 6 v n v n Donc v n+ = + = - v n v n = v n = v n Ce qui est la définition récurrente d une suite arithmétique de raison r =. b) On a : v n = v 0 +n r = et u n = + v n = u n = n n = n lim n = 0 ; donc lim u n = 5

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