Cours d arithmétique. Khaoula Ben Abdeljelil

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1 Cours d arithmétique Khaoula Ben Abdeljelil

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3 Table des matières Table des matières i 1 LES ENTIERS NATURELS Les opérations élémentaires sur N Le principe de récurrence Quelques démonstrations par récurrence Des formules classiques Exercices La relation d Ordre sur N Défintions Elément remarquable d un ensemble ordonné i

4 TABLE DES MATIÈRES ii

5 Chapitre 1 LES ENTIERS NATURELS 1.1 Les opérations élémentaires sur N On admet l existence de l ensemble N = {0,1,2,...} des entiers naturels. L ensemble N est muni d une opération appelée addition, notée +, qui vérifie les propriétés suivantes. Proposition 1.1. (1) L entier naturel 0 est un élément neutre pour l addition : si a est un entier naturel, on a : a+0 = 0+a = a. (2) L addition est associative : si a,b et c sont des entiers naturels, alors (a+b)+ c = a+(b+c). (3) L addition est commutative : si a et b sont des entiers naturels, alors a+b = b+a. (4) Soit a un entier lnaturel, l application n N, x x + a est injective, et 0 n est dans son image que si a = 0. (5) Si a et b sont deux entiers naturels, alors il existe un (unique) entier naturel c tel que a+c = b ou b+c = a. Notons que 0 est alors l unique élément neutre (car si x N est un élément neutre pour l addition, alors on a : 0+x = x+0 = 0, et comme 0 est élément neutre on a aussi x+0 = 0+x = x donc x = 0), et que l application N N, x x+a est surjective, si et seulement si, a = 0 (auquel cas c est l identité). L ensemble N est également muni d une opération appelée multiplication, noté ou. ou sans signe d opération, qui vérifie les propriétés suivantes. Proposition 1.2. (1) Si a est un entier naturel, alors a 0 = 0. (2) L entier naturel 1 est un élément neutre pour la multiplication : si a est un entier naturel a 1 = 1 a = a. (3) La multiplication est associative : si a,b,c sont des entiers naturels, alors (a b) c = a (b c). (4) La mulmtiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l addition : si a,b,c sont des entiers naturels, alors a (b+c) = (a b)+(a c) et (b+c) a = (b a)+(c a). (5) La multiplication est commutative : si a et b sont des entiers naturels, alors a b = b a. 1

6 1. LES ENTIERS NATURELS (6) Si a et b sont deux entiers naturels tels que a b = 0, alors a = 0 ou b = 0. (7) Si a et b sont deux entiers entiers naturels tels que a b = 1, alors a = b = Le principe de récurrence Soit P(n) une propriété qui dépend de n. Théorème 1.3. S il existe un entier n 0 tel que P(n) est vraie et si pour tout entier n,n n 0, P(n) entraine P(n+1) alors pour tout entier n, n n 0, P(n) est vraie. Soit en utulisant les quantificateurs : [ n 0 N,P(n 0 )] et [ n N,n n 0,(P(n) P(n+1))] [ n N,n n 0,P(n)]. Considérons une partie A de l ensemble N. Si : 0 A; pour tout x A, on a x+1 A; alors A = N. Cette propriété est appelée le principe de récurrence. L aspect remarquable du principe de récurrence est qu il permet de démontrer une infinité de théorèmes en un temps fini. Si on doit par exemple démontrer qu une certaine assertion P(n), qui dépend d un entier naturel n, est vraie pour tout entier naturel, il suffit de procéder de la façon suivante : Démonstration par récurrence. initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour le plus petit entier de N, qui est 0 ; hérédité : on considère un entier naturel n tel que l assertion P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) et on démontre que l assertion P(n+1) est encore vraie. 1.3 Quelques démonstrations par récurrence Des formules classiques On peut utuliser le principe de récurrence pour démontrer un certain nombre de formules classiques liant sommes et produits. Voici deux exemples. (1) Pour tout entier naturel n, montrons que n = n(n+1). 2 Initialisation : cette formule est vraie pour n = 0, car = 0(0+1)/2 ; (elle l est aussi pour n = 1 car 1 = 1(1+1)/2 Héridité Soit n un entier naturel tel que la formule est vraie, c est-à-dire 1+ +n = n(n+1) et montrons que la formule est vraie pour l entier n+1. De 2 fait on a n+(n+1) = n(n+1) 2 +n+1 = (n+1)(n+2), 2 2 ce qui est la formule à l ordre n+1. Conclution : La propriété est donc vraie pour tout n dans N.

7 1.3 Quelques démonstrations par récurrence (2) Pour tout nombre réel a 1, et pour tout entier naturel n, montrons que 1+a+a 2 + +a n = an+1 1 a 1. Initialisation : Pour n = 0, cette formule qui s écrit 1 = a1 1 a 1 est donc vraie. Héridité : soit n un entier naturel tel que la formule 1+a+ +a n = an+1 1 a 1 soit vraie. On a alors 1+a+ +a n +a n+1 = (1+a+ +a n )+a n+1 = an+1 1 a 1 +a n+1 = (an+1 1)+a n+1 (a 1) a 1 = an+1 1 a 1, ce qui montre qu elle est vraie pour n+1. Conclusion : La propriété est vraie pour tout entier naturel n Exercices (1) Montrer par récurrence que n 2 = n(n+1)(2n+1) 6. (2) Démontrer par récurrenec que, pour tout n N,n 3 n est un multiple de 3. (3) Pour tout n N posons a n = 3 2n+2 2 n+1. (a) Montrer que, pour tout n N,a n+1 = 2a n n+2. (b) Montrer par récurrence que, pour toutn N,3 2n+2 2 n+1 est un multiple de 7. Définition 1.4. Soit n un entier naturel, on dit que n possède un successeur s il exsite n n tel qu il n existe aucun élément de N strictement compris entre n et n. Exercice Montrer que le succésseur d un entier naturel n est unique. On admet que sur N on a les propriétés suivantes Proposition 1.5. L application s : N N,s s(n) = n + : le succésseur de n est injective. s(n) = N. Si A une partie de N contenant 0, tel que, pour tout entier n on a (n A s(n) A), alors A = N. Définition 1.6. Le successeur de 0 est 1. Proposition 1.7. (1) Pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel m tel que n = s(m), on note n l entier m, (s(n ) = n). L entier n est dit le prédécedeur de n. (2) Pour tout entier naturel n, on a n + n. Preuve: 3

8 1. LES ENTIERS NATURELS (1) D aprés le deuxième point de la proposition 1.5, il existe m N, tel que s(m) = n. L unicité de ce dernier est démontré à l aide du premier de la même proposition. (2) Nous démontrons par récurrence que pour tout n N, n + n. Pour n = 0, on a 0 + = 1 0 vraie. Soit n N, supposons que n + n. Montrons que (n+1) + n+1. On a (n+1) + = n + +1, or par hypothèse de récurrence on a n + n donc (n+1) + n+1. Conclusion : Pour tout entiers naturels n + n. Exercice Démontrer que n + = n+1. Exercice Détermner (n ) +. Exercice Démontrer par contraposition que quels que soient les entiers naturels p et q on a : p+q = 0 implique p = 0 et q = La relation d Ordre sur N Défintions Définition 1.8. Soit m et n des entiers naturels, on dit que m est inférieur ou égal à n et on note m n s il existe un entier naturel p tel que n = m + p. Si m est inférieur ou égal à n, on dit aussi que n est supérieur ou egal à m, ce qu on note encore n m. La notation m < n signifie que m n mais m n, de même la notation m > n signifie que m n mais m n. En particulier, n N, comme n = n+0 on a 0 n est vrai pour tout entier n de N. On dit que 0 est plus petit élément de N. Proposition 1.9. La relation vérifie les trois propriétés suivantes : (1) Reflexive : m N, on a m m. (2) Transitive : m,n,p N, si m n et n p alors m p. (3) Antisymétrique : n,m N, si n m et m n alors m = n. Preuve: 4 (1) Le premier point résulte de m = m+0, pour tout m entier naturel. (2) Supposons que m,n,p des entiers naturels tels que m n et n p, par définition il existe u et v deux entiers naturels tels que n = m+u et p = v+n. A l aide de ces derniers égalités on déduit que p = u+v +m ce qui veut dire que m p. (3) Soient m et n deux entiers naturels, les relations m n et n m sont équivalentes à l existence des entiers naturels u et v tels que n = m + u et m = v +n, ce qui est implique que n = n+u+v or l unique élément neutre pour l addition est 0, donc u+v = 0, et par suite u = v. Ce qui implique que n = m.

9 1.5 Elément remarquable d un ensemble ordonné De même on peut démontrer toutes les propriétés suivantes : (4) Deux entiers naturels m et n étant donnés l un des deux inférieur ou égal à l autre. (5) Soient m,n et p trois entiers naturels, si m n alors m + p n + p et inversement si on a m+p n+p alors m n. (6) Soient m, n et p trois entiers naturels, si m n alors mp np et inversement si p 0 et si mp np alors m n. Définition La relation est l ordre naturel défini sur N par l addition. Si a b at b = a+d, l entier d est noté b a c est la différence entre de b et a. En particulier, pour tout n N, on a n = n 1. Exercice : Déterminer ces propriétés : Soit (a,b) N 2 avec a b. On définit les intervalles dans N de la façons suivante : et pour a < b, Enfin si a+2 b [a,b] = {n N a n b} [a,b[= [a,b 1] ]a,b[= [a+1,b 1]. ]a,b] = [a+1,b]. Si a N, on note [a,+ [ (resp. ]a,+ [) l ensemble des entiers naturel n tel que a n (resp. a < n). Définition Une partie de N est dite finie si soit elle est vide soit en bijection avec [1,n]. Une partie qui n est pas finie est dite infinie. Nous admettons que N est infini. 1.5 Elément remarquable d un ensemble ordonné Définition Soit E un ensemble. Une relation d ordre sur E est une assertion dépendant de deux éléments de E, que l on note x y, pour tout (x,y) E 2, et qui est Reflexive : x Ex x. Transitive : x,z E, si x y et y z alors x z. Antisymétrique : x,y E, si x y et y x alors x = y. Par exemple est une relation d ordre, par contre < n est pas une relation d ordre puisque elle n est pas antisymétrique. Si A un ensemble, est une relation d ordre sur l ensemble P(A) des partie de A. Si x,y E, on a x y ou y x, on dit que la relation est d ordre est totale. Par exemple est une relation d ordre totale par contre n est pas une relation d ordre totale. Définition Soit E un ensemble muni de la relation. Soit A une partie de E et x un élément de E. 5

10 1. LES ENTIERS NATURELS On dit que x est un majorant (resp. un minorant) de A si pour tout élément a de A on a : a x (resp. x a). On dit que x est un plus grand (resp. petit) élément de A si x appartient à A et si x est majorant (resp. minorant). On dit que x est une borne supérieure (resp. inférieure) de A si x est un majorant (resp. minorant) de A si pour tout y un majorant (resp. minorant) de A, on a x y (resp. x y). On dit que A est majorée (resp. minorée) si elle admet un majorant (resp. minorant). Proposition Toute partie non vide de N possède un plus petit élément, c està-dire, pour tout A une partie non vide de N, il existe a A, tel que pour tout x A on a a x. Preuve: Nous allons démontrer la propriété P(n) : Si A est une partie de N qui contient un élément inférieur ou égal à n alors A admet un plus petit élément. Montrons cette propriété par récurrence. P(0) signifie si A est une partie de N contenant 0 alors elle admet un plus petit élément, c est vrai et ce plus petit élément est 0. Soit n N (n est fixé), supposons que P(n) est vraie. Montrons que P(n + 1) est vraie. Soit A une partie de N contenant un élément plus petit ou égal à n+1. Si n+1 est le plus petit élément de A, on a terminé. Si non, A possède un élément plus petit strictemt à n+1, ce qui veut dire que A possède des élément plus petit ou égal n, or dans ce cas d après l hpothèse de récurrence A admet un plus petit élément. Conclusion : pour tout n dans N la propriété P(n) est vraie. Remarque A partir de la preuve de la proposition précidente, on peut déduire que si A est une partie de N qui contient 0 et qui, si x appartient à A, son successeur est aussi dans A, la partie A = N. Soit B le complémentaire de A dans N, c està-dire l ensemble des entiers naturels qui n appartiennent pas à A. On veut montrer que B est le vide. Raisonnons par l absurde. Sinon B possède un plus petit élément b. Comme 0 A, 0 / B, d ou b 0. Par suite b est le successeur d un élément a A. Si a A, alors b = a+1 A, ce qui est faux; mais si a B on a l égalité a < b, qui contredit l hypothèse que b est plus élément de B. Théorème Toute partie majorée non vide de N possède un plus grand élément. La preuve de ce théorème est la solution de l exercice suivant. Exercice. Soit A une partie majorée non vide de N et soit M l ensemble de ses majorants. 6 (1) Justifier l existance d un plus petit élément a M. (2) Montrer que si a = 0 alors A = {0}. (3) Supposons que a > 0. Justifier que a n appartient pas à M : il existe donc b A tel que b > a. En déduire que b = a A.

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