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1 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016

2 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 : Pour n = 3 :

3 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 : Pour n = 3 :

4 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 : = 3 et 2(2 + 1) 2 = 3 Pour n = 3 :

5 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 : = 3 et 2(2 + 1) 2 = 3 Pour n = 3 :

6 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 : = 3 et 2(2 + 1) 2 = 3 Pour n = 3 : = 6 et 3(3 + 1) 2 = 6

7 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement. Idée : le raisonnement "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré). Le principe est le suivant : si on peut se placer d abord sur un barreau d une échelle, et si on peut en passer d un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

8 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement. Idée : le raisonnement "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré). Le principe est le suivant : si on peut se placer d abord sur un barreau d une échelle, et si on peut en passer d un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

9 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement. Idée : le raisonnement "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré). Le principe est le suivant : si on peut se placer d abord sur un barreau d une échelle, et si on peut en passer d un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

10 1 - Principe de récurrence- Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant. Conclusion : P n est vraie pour tout entier n ou pour tout entier n n 0.

11 1 - Principe de récurrence- Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant. Conclusion : P n est vraie pour tout entier n ou pour tout entier n n 0.

12 1 - Principe de récurrence- Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant. Conclusion : P n est vraie pour tout entier n ou pour tout entier n n 0.

13 1 - Principe de récurrence- Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant. Conclusion : P n est vraie pour tout entier n ou pour tout entier n n 0.

14 1 - Exemple- Exemple Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n q = n = q=1 On note cette proposition P n. n(n + 1). 2 Initialisation :

15 1 - Exemple- Exemple Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n q = n = q=1 On note cette proposition P n. n(n + 1). 2 Initialisation :

16 1 - Exemple- Exemple Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n q = n = q=1 On note cette proposition P n. n(n + 1). 2 Initialisation : Montrons que P n est vraie au rang 1, c est-à-dire que P 1 est vraie : 1(1 + 1) = 1 ; c est vérifié. 2

17 1 - Exemple- Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Conclusion :

18 1 - Exemple- Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k est k(k + 1) vraie, c est-à-dire que : k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion :

19 1 - Exemple- Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k est k(k + 1) vraie, c est-à-dire que : k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion :

20 1 - Exemple- Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k est k(k + 1) vraie, c est-à-dire que : k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion : La propriété P n est vraie pour tout n 1, n(n + 1) c est-à-dire : n =. 2

21 1 - - Introduction Principe de récurrence Exemple Livre Indice BORDAS - Page 13 Exercice 42, 43 et 44 page 24

22 2 - - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Par "étudier le comportement de la (u n )", on sous-entend étudier les propriétés du nombre u n lorsque l entier n devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l infini... ).

23 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si minorée par m si bornée si

24 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si minorée par m si bornée si

25 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si bornée si

26 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si bornée si

27 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si

28 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si

29 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si pour tout n N, m u n M.

30 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Exemples Soit la ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; Soit la (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ;

31 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Exemples Soit la ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; Soit la (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ;

32 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Exemples Soit la ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ;

33 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Exemples Soit la ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ;

34 2 - Suites majorées, minorées, bornées - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Exemples Soit la ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ; pour tout n N, n 2 0. Cette est aussi minorée par 0 et par tout réel négatif ; en plus ici, 0 est le minimum de la atteint au rang 0.

35 2 - Limite finie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Définitions La (u n ) admet pour ite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient Limites des usuelles On écrit alors :

36 2 - Limite finie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Définitions La (u n ) admet pour ite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. Limites des usuelles On écrit alors :

37 2 - Limite finie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Définitions La (u n ) admet pour ite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. Limites des usuelles On écrit alors :

38 2 - Limite finie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Définitions La (u n ) admet pour ite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. Limites des usuelles On écrit alors :. u n = l n

39 2 - Limite finie - Interprétation graphique Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles u n b u p l a p n

40 2 - Limite infinie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Définitions Soit A R. La (u n ) admet pour ite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient Limites des usuelles On écrit alors :

41 2 - Limite infinie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soit A R. La (u n ) admet pour ite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :

42 2 - Limite infinie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soit A R. La (u n ) admet pour ite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :

43 2 - Limite infinie - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Définitions Soit A R. La (u n ) admet pour ite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :. u n = + (resp. ) n

44 2 - Limite infinie - Interprétation graphique Suites majorées, minorées, bornées u n Limite finie d une u p A Limite infinie d une Limites des usuelles p n

45 2 - - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Livre Indice BORDAS - Page 269 Exercice 55 et 56 page 276 Limites des usuelles

46 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n =... 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 =... 1 n 2 =... nk =... n =... 1 =... n 1 n k =...

47 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 =... 1 n 2 =... nk =... n =... 1 =... n 1 n k =...

48 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 =... 1 n 2 =... nk =... n =... 1 =... n 1 n k =...

49 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 =... nk =... n =... 1 =... n 1 n k =...

50 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 =... nk =... n =... 1 =... n 1 n k =...

51 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 =... nk =... n = + 1 =... n 1 n k =...

52 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n =... Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 =... nk =... n = + 1 =... n 1 n k =...

53 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 =... nk =... n = + 1 =... n 1 n k =...

54 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 =... nk =... n = + 1 =... n 1 n k =...

55 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk =... n = + 1 =... n 1 n k =...

56 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk =... n = + 1 =... n 1 n k =...

57 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk =... n = + 1 = 0 n 1 n k =...

58 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk =... n = + 1 = 0 n 1 n k =...

59 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk = + n = + 1 = 0 n 1 n k =...

60 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk = + n = + 1 = 0 n 1 n k =...

61 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Théorèmes n = + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : n2 = + 1 n 2 = 0 nk = + n = + 1 = 0 n 1 n k = 0

62 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Preuve de n2 = + : Limites des usuelles

63 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Preuve de n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A. Donc n2 = +

64 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Preuve de n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A. Donc n2 = +

65 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Preuve de n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A. Donc n2 = +

66 2 - Limites des usuelles - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Preuve de n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A. Donc n2 = +

67 2 - - Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une Limite infinie d une Limites des usuelles Notion de ite Notion de seuil Livre Indice BORDAS - Page 15 Exercice 54, 55 et 60 page 25

68 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

69 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

70 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

71 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

72 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

73 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

74 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

75 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

76 3 - Somme de deux - Somme de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l l + + v n l + + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connaît pas à priori la réponse. Formes indéterminées

77 3 - Produit de deux - Produit de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l 0 0 ou ± v n l ± ± u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes. Formes indéterminées

78 3 - Produit de deux - Produit de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l 0 0 ou ± v n l ± ± u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes. Formes indéterminées

79 3 - Produit de deux - Produit de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l 0 0 ou ± v n l ± ± u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes. Formes indéterminées

80 3 - Produit de deux - Produit de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l 0 0 ou ± v n l ± ± u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes. Formes indéterminées

81 3 - Produit de deux - Produit de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l 0 0 ou ± v n l ± ± u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes. Formes indéterminées

82 3 - Produit de deux - Produit de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple u n l l 0 0 ou ± v n l ± ± u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes. Formes indéterminées

83 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

84 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

85 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

86 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

87 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

88 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

89 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

90 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

91 3 - Quotient de deux - Quotient de deux Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées u n l l 0 l 0 ± ± v n l 0 ± 0 0 l ± u n l v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

92 3 - Exemple- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Etudier la ite de la (u n ) définie sur N par : u n = et 2 = 2 (3n + 5) = + 2 3n + 5 Exemple Formes indéterminées Donc par quotient : 2 3n + 5 = 0

93 3 - Exemple- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Etudier la ite de la (u n ) définie sur N par : u n = et 2 = 2 (3n + 5) = + 2 3n + 5 Exemple Formes indéterminées Donc par quotient : 2 3n + 5 = 0

94 3 - Exemple- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Etudier la ite de la (u n ) définie sur N par : u n = et 2 = 2 (3n + 5) = + 2 3n + 5 Exemple Formes indéterminées Donc par quotient : 2 3n + 5 = 0

95 3 - Exemple- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Etudier la ite de la (u n ) définie sur N par : u n = et 2 = 2 (3n + 5) = + 2 3n + 5 Exemple Formes indéterminées Donc par quotient : 2 3n + 5 = 0

96 3 - - Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Livre Indice BORDAS - Page 17 Exercice 67 et 68 page 26 Formes indéterminées

97 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction. Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l écriture de la.

98 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction. Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l écriture de la.

99 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction. Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l écriture de la.

100 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction. Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l écriture de la.

101 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

102 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

103 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

104 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

105 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

106 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

107 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

108 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 3n 2 = + et ( n 5) =, donc 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 Exemple Formes indéterminées n 2 = + et (3 1 n 5 n 2 ) = 3 Donc par produit u n = +

109 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

110 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

111 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

112 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

113 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

114 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

115 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

116 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 (3n + 5) = + et ( 2n + 7) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n (3 + 5 n ) = 3 et ( n ) = 2 Donc par quotient u n = 3 2

117 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

118 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

119 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

120 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

121 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

122 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

123 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

124 3 - Formes indéterminées- Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n n = + et ( n) =, donc u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n ) n = + et (1 1 n ) = 1 Donc par produit u n = +

125 3 - - Somme de deux Produit de deux Quotient de deux Exemple Lever une indétermination Livre Indice BORDAS - Page 17 Exercice 69 et 70 page 26 Formes indéterminées

126 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorèmes Soient deux (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si u n = +, alors Majoration : si v n =, alors

127 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorèmes Soient deux (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si u n = +, alors Majoration : si v n = + v n =, alors

128 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorèmes Soient deux (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si u n = +, alors Majoration : si v n = + v n =, alors

129 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorèmes Soient deux (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si u n = +, alors v n = + Majoration : si v n =, alors u n =

130 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

131 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

132 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

133 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

134 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

135 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

136 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que u n = + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme u n = +, l intervalle ]A; + [ contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que v n = + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

137 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorème "des gendarmes" (admis) On considère trois (u n ), (v n ) et (w n ). Soit un entier N et un réel l. On suppose que pour tout entier n N, on a u n v n w n. Si les (u n ) et (w n ) convergent vers la même ite l, alors la (v n )

138 4 - Comparaison - Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorème "des gendarmes" (admis) On considère trois (u n ), (v n ) et (w n ). Soit un entier N et un réel l. On suppose que pour tout entier n N, on a u n v n w n. Si les (u n ) et (w n ) convergent vers la même ite l, alors la (v n ) converge également vers l

139 4 - - Comparaison Cas des monotones et convergentes Limite par Livre Indice BORDAS - Page 19 Exercice 71 et 72 page 26

140 4 - Cas des monotones et convergentes- Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorème Soit une (u n ) convergeant vers un réel l. Si la (u n ) est croissante, alors elle est c est-à-dire que pour tout entier naturel n,......

141 4 - Cas des monotones et convergentes- Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorème Soit une (u n ) convergeant vers un réel l. Si la (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n,......

142 4 - Cas des monotones et convergentes- Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorème Soit une (u n ) convergeant vers un réel l. Si la (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n,......

143 4 - Cas des monotones et convergentes- Comparaison Cas des monotones et convergentes Théorème Soit une (u n ) convergeant vers un réel l. Si la (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n, u n l.

144 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une croissante et majorée, alors elle Si (u n ) est une décroissante et minorée, alors elle Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la ite de la, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la.

145 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une décroissante et minorée, alors elle Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la ite de la, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la.

146 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une décroissante et minorée, alors elle Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la ite de la, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la.

147 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une décroissante et minorée, alors elle converge. Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la ite de la, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la.

148 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une décroissante et minorée, alors elle converge. Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la ite de la, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la.

149 5 - s monotones- s monotones Corollaire : une croissante non majorée Preuve (ROC) : Limite géométrique

150 5 - s monotones- s monotones Corollaire : une croissante non majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : Limite géométrique

151 5 - s monotones- s monotones Corollaire : une croissante non majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : Limite géométrique

152 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Corollaire : une croissante non majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A. Donc à partir du rang p, tous les termes de la appartiennent à ]A; + [. Conclusion : u n = +.

153 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Corollaire : une croissante non majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A. Donc à partir du rang p, tous les termes de la appartiennent à ]A; + [. Conclusion : u n = +.

154 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Corollaire : une croissante non majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A. Donc à partir du rang p, tous les termes de la appartiennent à ]A; + [. Conclusion : u n = +.

155 5 - s monotones- s monotones Limite géométrique Corollaire : une croissante non majorée a pour ite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A. Donc à partir du rang p, tous les termes de la appartiennent à ]A; + [. Conclusion : u n = +.

156 5 - - s monotones Limite géométrique Suites majorées ou minorées s croissantes Livre Indice BORDAS - Page 19 Exercice 81,82, 91 et 92 page 27

157 5 - Limite géométrique- s monotones Limite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la (q n ) Si 1 < q < 1, alors la (q n ) Si q 1, alors la (q n )

158 5 - Limite géométrique- s monotones Limite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la (q n ) diverge vers + : qn = + Si 1 < q < 1, alors la (q n ) Si q 1, alors la (q n )

159 5 - Limite géométrique- s monotones Limite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la (q n ) diverge vers + : qn = + Si 1 < q < 1, alors la (q n ) Si q 1, alors la (q n )

160 5 - Limite géométrique- s monotones Limite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la (q n ) diverge vers + : qn = + Si 1 < q < 1, alors la (q n ) converge vers 0 : qn = 0 Si q 1, alors la (q n )

161 5 - Limite géométrique- s monotones Limite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la (q n ) diverge vers + : qn = + Si 1 < q < 1, alors la (q n ) converge vers 0 : qn = 0 Si q 1, alors la (q n )

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