CH IV : Récurrence, calculs de sommes et produits

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1 ECE1-B On a notamment : CH IV : Récurrence, calculs de sommes et produits a truc N, 3 truc+1 + truc+ est un multiple de 7 Par la suite, on gardera la notation n, plus adaptée I0 Une première tentative de preuve I Récurrence Dans la suite de ce paragraphe, on s intéresse à des propriétés P définies sur l ensemble des entiers naturels La notation n désignera un entier naturel Exemple 1 Pn : 3 n+1 + n+ est un multiple de 7 Pn : 3 n + n 5 est un multiple de 11 3 Pn : 1 n n 1 1 n n Pn : n n! Le but de cette section est de définir une méthode de raisonnement qui nous permettra de montrer que ce type de propriétés est vérifié pour tout entier naturel n Autrement dit, être capable de prouver un énoncé du type : n N, 3 n+1 + n+ est un multiple de 7 }{{} Pn La propriété Pn : 3 n+1 + n+ est un multiple de 7 dépend de n Par contre, la propriété a : n N, Pn est une propriété indépendante de n puisque n est alors porté par un quantificateur La variable n est muette et on pourrait changer son nom sans changer le sens de a Intéressons-nous à cette propriété Pn : 3 n+1 + n+ est un multiple de 7 et tentons de voir si nous pouvons la démontrer pour tout n N On a : = 7 On a : = = = 35 = 7 5 On a : = 35 + = = 59 = 7 37 on en déduit que P0 est vérifié on en déduit que P1 est vérifié on en déduit que P est vérifié Nous avons montré P0, P1 et P Pour démontrer que la propriété est vérifiée pour tout n N il faudrait aussi démontrer P, P5 Ce type de démonstration n est évidemment pas raisonnable puisqu elle demande l étude d un nombre infini de cas Changeons de point de vue Au lieu de montrer chaque cas, on démontre que le passage d un cas à un autre symbolisé par la flèche est valide Supposons que l on est capable de démontrer que tous ces passages toutes les flèches rouges sont valides 1

2 ECE1-B Dans ce cas, si l on sait que Pr est vraie pour un rang r N alors : Pr + 1 est vraie passage du rang r au rang r + 1 valide, ainsi Pr + est aussi vérifiée puisque le passage du rang r +1 au rang r + valide, et donc Pr + 3 aussi Au final, cela prouve que la propriété est vérifiée pour tous les rangs plus grands que r Le principe de récurrence formalise ce mécanisme I1 Principe de récurrence Théorème 1 Principe de récurrence Soit P une propriété définie sur N et telle que : 1 Initialisation : P0 est vérifiée Hérédité : n N, Pn Pn + 1 Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n Autrement dit : n N, Pn À n fixé, la proposition Pn Pn + 1 signifie que le passage du rang n au rang n + 1 est valide La proposition n N, Pn Pn + 1 signifie donc que tous les passages d un rang au suivant sont valides Le principe de récurrence s appuie sur la définition axiomatique de N C est l ensemble : qui contient 0, qui contient le successeur de chacun de ses éléments Procéder par récurrence, c est montrer que l ensemble des éléments vérifiant une propriété P est N via cette définition axiomatique I Modèle de rédaction Montrons par récurrence que : n N, Pn où Pn : 1 Initialisation : P0? donc P0 est vérifiée Hérédité : soit n N Supposons Pn et montrons Pn + 1 ie donc Pn + 1 est vérifiée Ainsi, par principe de récurrence, on a : n N, Pn erreurs classiques Il est malheureusement! fréquent de voir dans les copies, les trois types d erreurs suivantes 1 Montrons par récurrence que : Pn par récurrence, on démontre qu une propriété est vraie pour tout n N, pas seulement à un rang n donné où Pn : n N, nous avons déjà discuté de ce point dans la première remarque du cours : une propriété commençant par n N est indépendante de n! 3 Supposons que : n N, Pn et démontrons Pn + 1 ceci n a pas de sens! On ne peut supposer la propriété vraie pour tout n : c est précisément ce que l on souhaite démontrer

3 ECE1-B Exemple Montrer que : n N, 3 n+1 + n+ est un multiple de 7 Notation : on définit la suite u n par : n N, u n = 3 n+1 + n+ Montrons par récurrence que : n N, Pn où Pn : u n est un multiple de 7 1 Initialisation On a : u 0 = = 3 + = 7 Ainsi, u 0 est un multiple de 7 La propriété P0 est donc vérifiée Hérédité : soit n N Supposons Pn et montrons Pn + 1 ie u n+1 est un multiple de 7 Par définition de la suite u n, on a : u n+1 = 3 n n+1+ = 3 n+3 + n+3 = 3 3 n+1 + n+3 = 3 u n n+ + n+3 = 3 u n + n+3 3 n+ = 9 u n + n+ 9 Or, par hypothèse de récurrence Pn, on sait que : u n est un multiple de 7 Autrement dit, il existe k Z tel que u n = 7k On a donc : u n+1 = 97k + n+ 7 = 7 9 k n+ Ainsi, u n+1 est un multiple de 7 et Pn + 1 est vérifiée Par principe de récurrence, on a : n N, Pn I3 Initialisation en n 0 On rencontrera souvent des énoncés du type : n n 0, Pn pour un certain n 0 N Le schéma précédent s adapte à ce type d énoncé Théorème Soit P une propriété définie sur N et telle que : 1 Initialisation : Pn 0 est vérifiée Hérédité : n n 0, Pn Pn + 1 Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n n 0 Autrement dit : n n 0, Pn Exemple Montrer que : n, n n! Montrons par récurrence que : n, Pn où Pn : n n! 1 Initialisation On a : = 1 et! = 3 1 = Or : 1 La propriété P0 est donc vérifiée Hérédité : soit n N Supposons Pn et montrons Pn + 1 ie n+1 n + 1! Remarquons tout d abord que : n+1 = n Or, par hypothèse de récurrence Pn, on sait que : n n! D où : n+1 = n n! n + 1 n! }{{} n+1! car n + 1 puisque n 1 Ainsi Pn + 1 est vérifiée Par principe de récurrence, on a : n N, Pn 3

4 ECE1-B I Récurrence double Théorème 3 Soit P une propriété définie sur N et telle que : 1 Initialisation : P0 et P1 sont vraies Hérédité : n N, Pn ET Pn + 1 Pn + Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n 0 Autrement dit : n N, Pn Exemple On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 u 1 = 1 n N, u n+ = 5u n+1 u n Montrer que : n N, u n = n+1 3 n Montrons par récurrence double que : n N, Pn où Pn : u n = n+1 3 n 1 Initialisation On a : u 0 = 1 et = 1 = 1 Donc P0 On a : u 1 = 1 et = 3 = 1 Donc P1 Hérédité : soit n N Supposons Pn et Pn + 1 Démontrons Pn + ie u n+ = n+3 3 n+ Par définition de la suite u n, on a : u n+ = 5u n+1 u n = 5 n+ 3 n+1 n+1 3 n par HR Pn ET Pn + 1 = n n = n+1 3 n 9 = n+3 3 n+ Ainsi Pn + est vérifiée Par principe de récurrence double, on a : n N, Pn On peut aussi réaliser des récurrences triples, quadruples Le choix du type de récurrence à effectuer est dicté par la forme de l objet considéré dans la propriété Ici, il s agit d une suite récurrente linéaire d ordre La récurrence double est donc plus adaptée Le principe de récurrence double peut sembler plus puissant que le principe de récurrence simple Ces principes sont en fait équivalents Plus précisément, on peut résoudre l exercice précédent à l aide d une récurrence simple On démontre alors que : n N, Pn ET Pn + 1 ce qui démontre notamment que : n N, Pn I5 Récurrence forte Théorème Soit P une propriété définie sur N et telle que : 1 Initialisation : P0 est vraie Hérédité : n N, P0 ET P1 ET P ET ET Pn Pn + 1 Alors la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n 0 Autrement dit : n N, Pn

5 ECE1-B Exemple On considère la suite u n définie par : { u0 = 1 Montrer que : n N, u n n n N, u n+1 = u 0 + u u n Montrons par récurrence forte que : n N, Pn où Pn : u n n 1 Initialisation On a : u 0 = 1 et = 1 = 1 Donc P0 Hérédité : soit n N Supposons que la propriété est vraie jusqu au rang n Démontrons Pn + 1 ie u n+1 n+1 Par définition de la suite u n, on a : u n+1 = u 0 + u u n 0 1 n par HR au rang 0 par HR au rang 1 par HR au rang n Ainsi : u n n = 1 n+1 = n+1 1 n+1 1 Ainsi Pn + 1 est vérifiée Par principe de récurrence forte, on a : n N, Pn Encore une fois, c est la forme de l objet considéré dans la propriété qui nous a amené à faire une récurrence forte : l objet u n+1 est défini à l aide de tous les précédents Cet exemple est en fait artificiel puisque l on pourrait démontrer qu à partir du rang 1, la suite u n est une suite géométrique de raison On a en effet : n N, u n+1 = u n Le principe de récurrence forte peut sembler plus puissant que le principe de récurrence simple Ces principes sont en fait équivalents Plus précisément, on peut résoudre l exercice précédent à l aide d une récurrence simple On démontre alors que : n N, k n, Pk ce qui démontre notamment que : n N, Pn II Sommes finies En mathématiques, il est fréquent de tomber sur des quantités définies comme des sommes finies Considérons les exemples suivants Exemple de sommes finies u + u + u un n La manière dont on a défini ces quantités n est pas très satisfaisante On utilise notamment la notation qui n est pas rigoureuse On va donc introduire un symbole qui va nous permettre de définir rigoureusement ces quantités 5

6 ECE1-B II1 Définition Dans la suite de cette section, les notations u k k N et v k k N désignent deux suites réelles Notation Symbole La somme finie des éléments u 1, u,, u n est notée comme suit = u 1 + u + + u n La variable i est appelée variable de sommation Plus généralement, on peut réaliser la somme d un nombre fini d éléments, indexé par un sous-ensemble fini I de N On notera alors i I Par exemple, = u 3 + u 5 + u + u 9 i {3,5,,9} Avec cette notation, on a : = i 1,n i prend toutes les valeurs entières entre 1 et n Indices de sommation La variable de sommation est dite muette : changer son nom n affecte pas le calcul de la somme = n u j = n u k On utilisera, sans distinction, l une ou l autre des notations suivantes : i=m On a notamment, si m > n : et si m = n : m i=m = = u m i m,n = m i n = = 0 i=m i Exercice Écrire à l aide du symbole les sommes précédentes i n = n 3 i i= = = 10 u + u + u un n = n i i = 5 1 i+1 i i Les sommes ne commencent pas forcément à l indice 1 On peut évidemment construire les sommes,, généralement i=m i= et plus

7 ECE1-B II Règles de calcul Propriété Soit λ R, a R et m, n N tels que m n 1 Sommation d une constante 3 Linéarité de l opérateur λ = λu 1 + λu + + λu n = λ n a = n a i=m a = n m + 1 a u j + v j = n u j + n v j On notera au passage qu une somme indexée par i m, n contient n m + 1 termes Ces formules sont valables pour tout élément a indépendant de l indice de sommation i Par exemple, on a : 13 i= Sommation par paquets 7 = = 10 7 = 70 = m + n i=m+1 Par analogie avec le calcul intégral, on parle aussi de relation de Chasles sur les sommes finies Par exemple, on a : 13 i= 7 = = i= 0 = = + 7 = 70 La première formule est valable pour tout λ indépendant de l indice de sommation i Par exemple, si q 1, on a : 3i 5 q i + 7 i = 3i 5 q i + 7 i D autre part, on a : 3 i et : 5 enfin : q i = 3 i 5 q i + 7 i i = 3 i + i i = 3 i + 3 = 3 = 5 1 q7 1 q = = 8 i + i = i + i = = 7 7

8 ECE1-B Changements d indices 5 Sommes télescopiques Décalage d indice : j=0 u j = n+1 u k 1 = n+ u l l= u k+1 u k = u n+1 u 1 j=m u j = n m Sommer dans l autre sens : u k+m = n+l l i=m+l u j = n j=0 On peut écrire une formule similaire pour les sommes commençant à l indice 1 en posant k = j m en posant i = j + l u n i u j = n 1 u n i En effet : = n = n+1 k= = n k= u k+1 u k u k+1 n u k n u k u k u k + n+1 = u n+1 u 1 k=n+1 u k 1 On peut généraliser la formule précédente : u k + n k= u k par changement d indice par sommation par paquets Exercice Montrer que pour tout n N, on a : k + 1 n k = n 1 n i + 1 i Notons u k = k + 1 n k À l aide de la formule précédente, on a : u k = n 1 u n k = n 1 = n 1 n k + 1 k n k + 1 n n k u k+1 u k = u n+1 u m Exercice On souhaite calculer la somme S n = n k= 1 k, où n k 1 1 Montrer que k k = α k + β, où α et β sont deux réels que vous k 1 déterminerez Calculer S n à l aide de sommes télescopiques 8

9 ECE1-B On a utilisé un cas un peu particulier de la sommation par paquets où l on a écarté seulement un terme de la somme On peut directement écrire : = u 1 + n = n 1 + u n i= Sommation sur une union d ensembles II3 Sommes usuelles Dans cette section, on choisit m, n N tels que 0 m n II3a Sommes des n premiers entiers S n = n k = k = nn + 1 i A B = + i A i B i A B S n S m 1 = k = n m + 1m + n Par exemple, si on prend A = {,, 5, 9} et B = {1,, 9, 11}, on a : A B = {1,,, 5, 9, 11} A B = {, 9} = u 1 + u + u + u 5 + u 9 + u 11 i A B i A B Enfin, on a : i A = u + u 9 + i B = u + u + u 5 + u 9 + u 1 + u + u 9 + u 11 = u 1 + u + u + u 5 + u 9 + u 11 + u + u 9 Exercice Soient a et b deux réels Démontrer que pour tout n N, a n+1 b n+1 = a b n a k b n k Donner de même une factorisation de a n b n pour n N Démonstration Montrons par récurrence que : n N, Pn nn + 1 où Pn : k = 1 Initialisation 1 On a : k = 1 et = = 1 Donc P1 Hérédité : soit n N Supposons Pn et démontrons Pn + 1 ie n+1 k = n+1 Or on a : k = k + n + 1 Ainsi Pn + 1 est vérifiée nn + 1 = + n + 1 par HR Pn = n + 1 n + Par principe de récurrence, on a : n N, Pn n + 1n + 9

10 ECE1-B La formule S n S m 1 peut se retenir comme étant le résultat du demiproduit : du nombre de termes de la somme n m + 1, par la somme n + m formée du 1 er terme m et du dernier n Cette formule se démontre à l aide de la précédente Remarquons tout d abord que : k = m 1 k + On en déduit que : k = n = = k m 1 nn + 1 k m 1m n m + 1m + n n k = n + n m + m on note que P n = n +n m +m est un polynôme de degré en la variable n ; il admet m comme racine ; on peut donc le factoriser par n + m Exercice Que vaut la somme des n premiers entiers pairs? impairs? Démonstration Notons U n la somme des n premiers entiers pairs et V n la somme des n premiers entiers impairs On a alors : U n = n k = n nn + 1 k = = nn + 1 D autre part, on a : V n = n k 1 = n k n 1 = n k n = nn + 1 n = nn = n II3b Sommes des n premiers carrés d entiers T n = n = k = Démonstration Montrons par récurrence que : n N, Pn où Pn : k nn + 1n + 1 = 1 Initialisation On a : 1 Donc P1 k = 1 et nn + 1n + 1 = = 1 Hérédité : soit n N Supposons Pn et démontrons Pn + 1 ie n+1 k = Or on a : n+1 k = n = k + n + 1 nn + 1n + 1 = n + 1 = n + 1 Ainsi Pn + 1 est vérifiée n + 1n + n n + 1 par HR Pn nn n + 1 n + 7n + = n + 1 Par principe de récurrence, on a : n N, Pn n + n + 3 on note que P n = n + 7n + est un polynôme de degré en la variable n ; il admet comme racine ; on peut donc le factoriser par n + 10

11 ECE1-B II3c Sommes des n premiers cubes d entiers R n = n = k 3 = n n + 1 Démonstration Montrons par récurrence que : n N, Pn où Pn : k 3 = n n Initialisation On a : 1 Donc P1 k 3 = 1 3 et = = 1 Hérédité : soit n N Supposons Pn et démontrons Pn + 1 ie n+1 Or on a : n+1 k 3 = n k 3 + n = S n k 3 = n + 1 n + = n n n par HR Pn n + 1 = n + n + 1 n + 1 = n n n + = n + Ainsi Pn + 1 est vérifiée Par principe de récurrence, on a : n N, Pn Même si les formules font apparaître des divisions par, et, il est évident que la somme des n premiers entiers, carrés, cubes a un résultat entier On peut démontrer ces formules de manière directe Par exemple, pour la somme des n premiers entiers, on commence par remarquer que : On en déduit que : et enfin que : k k + 1 k = k + 1 II3d Sommes géométriques q R \ {1}, Si q = 1, on a : Si q = 1, on a : k + 1 k = n k + n n k + n = n n = n + n n = n + n = nn + 1 q k = 1 qn+1 1 q q k = n q k = n 1 k = n 1 k = n et 1 = n = n m q k = qm q n+1 1 q Évidemment, on peut démontrer cette formule par récurrence sur n Mais il est plus simple ici de faire une démonstration directe 11

12 ECE1-B Démonstration Soit q R et m, n N tels que m n Alors on a : 1 q q k = n = n q k n q k+1 q k q k+1 = q m q n+1 Exemple Calculer les sommes finies suivantes 3 k 5 a k+1 b k 3k a Notons u k = 3k k+1 = 3 k k = 1 On a alors : u k = n 1 3 k = 1 b 5 = n+1 1 k 3k = 5 = k k = 1 = 3 3 3k 3 k = 5 k k 3 k = 1 n+1 = 3 k = 3 3k 3 5 = = = = n k 3 n 5 5 III Sommes doubles III1 Sommes de tous les éléments d un tableau rectangulaire On considère des réels avec i 1, n et j 1, p On range ces valeurs dans un tableau rectangulaire u 1,1 u 1, u 1,j u 1,p u,1 u, u,j u,p,1,,p u n,1 u n, u n,j u n,p On souhaite calculer la somme S de tous ces termes III1a Sommation suivant les lignes On calcule la somme des termes de la 1 ère ligne, puis on ajoute la somme des termes de la ème ligne,, et enfin la somme des termes de la n ème ligne p p p On a alors : S = u 1,j + u,j + + ce qui s écrit encore : S = n p III1b Sommation suivant les colonnes u n,j On calcule la somme des termes de la 1 ère colonne, puis on ajoute la somme des termes de la ème,, et enfin la somme des termes de la p ème colonne On a alors : S = n,1 + n, + + n ce qui s écrit encore : S = p,p 1

13 ECE1-B III1c Formule d interversion des sommes finies Bien entendu, nous calculons la même somme avec ces deux méthodes, d où la formule d interversion des sommes finies Exercice Calculer la somme double suivante : 1 i n, 1 j p i p = p On peut aussi noter ces sommes sous forme compacte 1 i n, 1 j p = n p Si n = p, on pourra utiliser la notation suivante : 1 i,j n = n = p = n Nombre de termes sommés Il y a deux manières de calculer le nombre de termes sommés 1 Il y en a n p puisqu on somme tous les éléments d un tableau comportant n lignes et p colonnes On peut noter que chaque terme compte pour un élément sommé Le nombre de termes est donc donné par la somme double : 1 = n p 1 = n p = n p 1 i n, 1 j p Démonstration i = n p i 1 i n, 1 j p = n p i = p n i = p nn + 1 À retenir Ce premier exemple simple permet d illustrer la «technique» de calcul des sommes doubles : 1 On écrit la somme double à l aide de la formule de sommation suivant les lignes ou les colonnes ce choix pourra modifier la complexité des calculs Le calcul de somme double se résume alors à un calcul de sommes simples Exercice Soient a i i N et b i i N deux suites réelles Montrer que, pour tout n N et pour tout p N, on a : p a i b j = a i b i Démonstration 1 i n, 1 j p 1 i n, 1 j p a i b j = n = p a i b j p b j a i La dernière égalité est vérifiée car la quantité l indice de sommation i = n p a i b j p b j est indépendante de 13

14 ECE1-B III Sommes doubles à indices dépendants IIIa Sommation des termes du triangle supérieur Considérons maintenant un tableau carré n = p et calculons la somme des termes se trouvant au-dessus de la diagonale u 1,1 u 1, u 1,i u 1,j u 1,n u,1 u, u,i u,j u,n,1,,i,n u j,1 u j, u j,i u j,j u j,n u n,1 u n, u n,i u n,j u n,n En sommant suivant les lignes, on obtient : T = n u 1j + + n j=n u nj = n En sommant suivant les colonnes, on obtient : T = n n = n j Ces deux sommes étant égales, on obtient la formule : 1 i j n j=i j=i = n = n j Comment retenir cette formule? On peut retenir cette formule en considérant l encadrement 1 i j n Si on souhaite obtenir la formule de sommation suivant les lignes ie commencer par une somme sur i, on peut procéder comme suit On supprime la variable j de l encadrement : 1 i n On doit donc considérer une somme : On considère alors l encadrement immédiat de j : i j n On doit donc considérer une somme : On retrouve alors la formule : 1 i j n j=i = n on procède de même pour la formule de sommation suivant les colonnes Nombre de termes sommés Il y a deux manières de calculer le nombre de termes sommés 1 Il y a n termes dans le tableau carré et n termes sur la diagonale Il y a donc n n termes hors diagonale Ainsi, il y a n n termes dans le triangle supérieur strict Et donc n n + n = n +n = nn+1 termes dans le triangle supérieur On peut noter que chaque terme compte pour un élément sommé Le nombre de termes est donc donné par la somme double : 1 i j n 1 = n j 1 j=i = n j = nn + 1 1

15 ECE1-B IIIb Sommation des termes du triangle supérieur strict On calcule maintenant uniquement les termes du triangle supérieur strict u 1,1 u 1, u 1,j u 1,n u,1 u, u,3 u,j u,n,1,,i,i+1,n u j,1 u j, u j,i u j,j u j,j+1 u j,n un 1,n u n,1 u n, u n,i u n,j u n,n En sommant suivant les lignes, on obtient : U = n j= u 1j + + n u n 1,j j=n En sommant suivant les colonnes, on obtient : U = n 1 = n 1 n = n j= Ces deux sommes étant égales, on obtient la formule : 1 i<j n = n 1 j=i+1 = n j= j=i+1 j 1 j 1 Comment retenir cette formule? Comme précédemment, on considère l encadrement 1 i < j n Pour obtenir la formule de sommation suivant les lignes : On supprime la variable j de l encadrement : 1 i < n On doit donc considérer une somme : n 1 On considère alors l encadrement immédiat de j : i < j n On doit donc considérer une somme : On retrouve alors la formule : 1 i<j n j=i+1 = n 1 j=i+1 on procède de même pour la formule de sommation suivant les colonnes Nombre de termes sommés Il y a deux manières de calculer le nombre de termes sommés 1 On a déjà vu qu il y a n n termes dans le triangle supérieur strict On peut noter que chaque terme compte pour un élément sommé Le nombre de termes est donc donné par la somme double : 1 i<j n 1 = n j= j 1 1 = n j= j 1 = n 1 Exercice Soit a i,j i,j N une suite de nombres réels Montrer que pour tout n appartenant à N, on a : a k = n a k + 1 i<j n a i a j j = n 1n 15

16 ECE1-B IV Produits finis IV1 Définition Notation Symbole Le produit fini des éléments u 1, u,, u n est noté comme suit = u 1 u u n On réalise l étude des produits finis par analogie avec celle des sommes finies IV Règles de calcul Propriété Soit λ R, a R et m, n N tels que m n 1 Produit fini d une constante a = a n i=m a = a n m+1 Ces formules sont valables pour tout élément a indépendant de l indice de multiplication i Produit par paquets u j v j = n u j n v j et u j v j = u j v j La première formule est valable pour tout élément λ indépendant de l indice de multiplication i Changements d indices Décalage d indice : j=m j=0 u j = n m u j = n+1 u k+m = n+l Multiplier dans l autre sens : l i=m+l u k 1 = n+ u l l= en posant k = j m en posant i = j + l u j = n j=0 u n i = m n i=m+1 On peut écrire une formule similaire pour les sommes commençant à l indice 1 u j = n 1 u n i 3 Comportement de vis à vis de λ et v i 5 Produits télescopiques λ = λu 1 λu λu n = λ n n u k+1 u k = u n+1 u 1 et u k+1 u k = u n+1 u m 1

17 ECE1-B Produit sur une union d ensembles i A B = i A i B i A B Ces formules s obtiennent traduction des formules sur les sommes suivant le dictionnaire suivant : + / Via ce dictionnaire, nous avons donc affaire aux mêmes formules IV3 Fonction factorielle Définition Pour n N, on nomme factorielle n et on note n! la quantité : n! = n k = n n 1 n 1 Par convention, on note : 0! = 1 correspond à l écriture : 0! = 0 k = k = k = 1, la quantité 1 k 1,0 k étant l élément neutre pour le produit Propriété immédiate n N, n + 1! = n + 1 n! 17

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