Fiche 1 : les suites

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1 Fiche Cors Nº : 3 Fiche : les sites Pla de la fiche I - Défiir e site II - Comortemet global d e site III - Comortemet asymtotiqe d e site IV - Oératios et limites V - Théorèmes de comaraiso VI - Comortemet asymtotiqe des sites mootoes VII - Comortemet asymtotiqe de (q VIII - tes adjacetes IX - tes arithmétiqes X - tes géométriqes XI - Le ricie de récrrece I - Défiir e site Ue foctio qi à tot etier atrel sérier à etier associe réel est e site mériqe défiie à artir d rag La site est égalemet otée (, ( o simlemet ( Le réel est le remier terme de la site ( Lorsqe désige etier fixé mais o récisé, est le terme de rag de la site Lorsqe désige la ariable, est le terme gééral de la site Exemles : a Le terme de rag de ( 3 b Le troisième terme de c Le remier terme de 3 est 3, le qatrième terme est 3 (terme de rag 3 est 3 est, celi de 3 3 est te défiie ar récrrece : Soit f e foctio mériqe défiie sr iteralle I tel qe f(i est e artie de I, et soit a élémet de I Les dex istrctios : a est le remier terme de la site = f ( or tot sffiset à défiir la site Exemle : =, = 3 5 et =, = 3 5 défiisset dex sites différetes Tos droits réserés Stdyrama Fiche téléchargée sr wwwstdyramacom E arteariat aec :

2 Fiche Cors Nº : 3 II - Comortemet global d e site Ue site ( est : croissate lorsqe or tot sérier à décroissate lorsqe or tot sérier à mootoe lorsq elle est croissate o décroissate statioaire lorsqe = or tot sérier à strictemet croissate lorsqe < or tot sérier à strictemet décroissate lorsqe > or tot sérier à strictemet mootoe lorsq elle est strictemet croissate o strictemet décroissate Méthode : «Etdier la mootoie d e site mériqe», fiche exercices «Les sites» Ue site ( est : majorée s il existe réel M tel qe M or tot sérier à miorée s il existe réel m tel qe m or tot sérier à borée si elle est miorée et majorée Exemles : a 3 est miorée ar et majorée ar 3, doc est borée est miorée ar mais est as majorée ( b ( III - Comortemet asymtotiqe d e site Ue site ( a or limite réel a si et selemet si tot iteralle oert coteat a cotiet tos les termes de la site à artir d certai rag O ote : lim = a o lim = a o lim = a Ue site ( a or limite (res tos les termes de la site à artir d certai rag O ote lim = o lim = o lim = (res lim Ue site est coergete lorsq elle a or limite réel Ue site est diergete lorsq elle est as coergete Exemles : a est coergete ( b ( et ( sot diergetes si et selemet si tot iteralle d tye ] A, [ (res ],A [ cotiet IV - Oératios et limites a et b désiget des réels Somme lim = a et b lim = a et = lim = alors lim ( = a b lim alors ( = lim Tos droits réserés Stdyrama Fiche téléchargée sr wwwstdyramacom E arteariat aec :

3 Fiche Cors Nº : 3 lim = a et lim alors ( lim = et = lim et lim lim = lim = lim alors ( lim alors ( Prodit lim = a et lim lim = b alors lim = ab lim = a > et lim = alors lim = lim = a < et lim = alors lim lim = a > et lim alors lim lim = a < et lim alors lim = lim = a > et lim = alors lim = lim = a > et lim alors lim lim = a > et lim alors lim = Ierse lim = a et a alors lim = a lim = et si > à artir d certai rag alors lim = lim = et si < à artir d certai rag alors lim lim = o lim alors lim = Il est essetiel de garder à l esrit qe ces théorèmes sot des coditios sffisates Les cas o eisagés sot «des formes idétermiées» et demadet à être étdiés sécifiqemet Méthode : «Etdier le comortemet asymtotiqe d e site», fiche exercices «Les sites» V - Théorèmes de comaraiso à artir d certai rag et si lim = alors lim = à artir d certai rag et si lim alors lim w gedarmes à artir d certai rag et si ( et ( a est réel tel qe coerget ers le même réel a alors lim = a (théorème des a à artir d certai rag et si lim = alors lim = a à artir d certai rag et si ( Exemles : et ( a ( or tot et lim ( = etraîet lim ( coerget resectiemet ers a et b alors a b ( = si si b or tot et lim = etraîet lim 3 = 3 VI - Comortemet asymtotiqe des sites mootoes tes mootoes borées : tote site croissate et o majorée a or limite tote site décroissate et o miorée a or limite Tos droits réserés Stdyrama Fiche téléchargée sr wwwstdyramacom E arteariat aec :

4 Fiche Cors Nº : 3 Théorème de la coergece mootoe : tote site croissate et majorée est coergete tote site décroissate et miorée est coergete VII - Comortemet asymtotiqe de (q La lettre q désigat réel o l et différet de : si q > alors lim q = si q < alors lim q = si q q a as de limite alors ( VIII - tes adjacetes Défiitio Dex sites sot dites adjacetes lorsqe l e est croissate, l atre est décroissate et ler différece coerge ers zéro Théorème des sites adjacetes dex sites ( et ( De ls ( état la site croissate et ( or tot etier sot adjacetes alors elles coerget et ot la même limite état la site décroissate, et a désigat ler limite comme, o a a Exemle : Les sites défiies ar = et = or > sot adjacetes car ( est croissate, ( est décroissate, = et lim = Méthode : «Ecadrer e soltio d e éqatio d tye f(x = ar balayage», fiche exercices «Les sites» Méthode : «Ecadrer e soltio d e éqatio d tye f(x = ar dichotomie», fiche exercices «Les sites» IX - tes arithmétiqes Ue site ( site ( Por q e site ( est arithmétiqe lorsq il existe réel r tel qe = r or tot Le réel r est la raiso de la soit arithmétiqe il fat et il sffit q il existe a et b réels tels qe = a b or tot La somme N k de N termes coséctifs, d e site arithmétiqe ( N est = N k = Exemles : défiie ar = et = 3 défiie ar = 4 5 or tot sot arithmétiqes b La somme des remiers etiers atrels o ls est k = = 55 a La site ( or tot et la site ( k = N N Tos droits réserés Stdyrama Fiche téléchargée sr wwwstdyramacom E arteariat aec :

5 Fiche Cors Nº : 3 Méthode : «Exrimer e foctio de le terme de rag d e site arithmétiqe», fiche exercices «Les sites» Méthode : «Calcls de sommes», fiche exercices «Les sites» X - tes géométriqes Ue site ( site ( est géométriqe lorsq il existe réel o l q tel qe = q or tot Le réel q est la raiso de la Por q e site ( soit géométriqe il fat et il sffit q il existe a et b réels tels qe N La somme k de N termes coséctifs, N k = N Exemles : N q = q a La site ( défiie ar : = 3 et = 5 sot géométriqes k b = = = 47 k = d e site géométriqe ( = a b or tot de raiso q différete de est : or tot et la site ( défiie ar ( = or tot 3 Méthode : «Exrimer e foctio de le terme de rag d e site géométriqe», fiche exercices «Les sites» Méthode : «Calcls de sommes», fiche exercices «Les sites» XI - Le ricie de récrrece O désige ar P e roositio déedat de la ariable, etier atrel Lorsq il existe etier atrel tel qe Lorsqe le fait de soser qe P est raie, o dit qe la roositio P est raie ermet d établir qe P P est iitialisée or = est raie, o dit qe la roositio P est héréditaire Eocé d ricie de récrrece : si e roositio déedat de la ariable, etier atrel, est iitialisée or = et si elle est héréditaire, alors elle est raie or tot sérier à Exemle : Soit P la roositio, état etier atrel La roositio P est raie car = et = P est raie Alors ( ( = il réslte : ( ( ( ( = O sose qe De Aisi P est raie Coclsio : or tot etier atrel Méthode : «Etdier la mootoie d e site, méthode 4», fiche exercices «Les sites» (or atre exemle et or mesrer l imortace de l iitialisatio Tos droits réserés Stdyrama Fiche téléchargée sr wwwstdyramacom E arteariat aec :