Autour du nombre d'or

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1 Autour du nombre d'or Alain Niveau : Approfondir la Terminale S Diculté : Intermédiaire / Dicile Durée : plus d'une heure Rubriques) : Analyse Suites - Trinôme - Étude de fonctions) La petite histoire Considérons une famille de lapins autoreproduisants, c'est-à-dire que chaque lapin peut engendrer des lapins tout seul Les lapins sont également supposés immortels On suppose qu'à l'aube des temps, un lapin naquit Le mois suivant, ce lapin fut adolescent et le mois d'après il engendra un autre lapin Le mois suivant, le premier lapin engendra encore un autre lapin, alors que le deuxième faisait sa crise d'adolescence Ainsi tous les matins, chaque lapin ayant deux mois ou plus, donnaissance à un lapin de plus Combien de lapins étaient en vie après 6 mois? et n mois? Un moyen de répondre de à cette question de manière plus générale est d'étudier la suite donnant le nombre u n de lapins vivant au bout de n mois Elle vérie la relation u n+ = u n+1 + u n En notant u n le nombre de lapins le jour n, nous verrons que la suite u n ) est appelée suite de Fibonacci Nous verrons comment nous pouvons trouver le nombre de lapins à la génération n Nous étudierons le rapport un+1 u qui donne le taux d'accroissement journalier des lapins et nous n verrons qu'il tend vers le renommé nombre d'or Enn, nous verrons comment approcher le nombre d'or Ce dernier a des vertus mystiques et biologiques Il est relié par exemple à l'angle séparant deux graines contigües dans une eur de tournesol 1

2 Exercice 1 Le nombre d'or et les lapins : 0 min à 1h) : 1a) On s'intéresse à l'équation x x 1 = 0 b) Montrer que cette équation possède une unique solution positive que nous noterons φ φ est appelé le nombre d'or c) Montrer les égalités φ = φ = φ + 1 φ 1 ) On considère la suite dénie par u 0 = 1, u 1 = 1 puis pour tout entier naturel n par u n+ = u n+1 + u n Cette suite est appelée la suite de Fibonacci a) Calculer u, u, u 4 b) Justier que cette suite donne bien le nombre de lapins dans le modèle décrit plus haut dans la petite histoire, c'est à dire que u n correspond au nombre de lapins au bout de n mois Soient α et β deux réels On dénit pour tout n N, v n = α c) Déterminer α et β pour que v 0 = v 1 = 1 1 ) n ) n 1+ d) Vérier par récurrence que la suite ainsi dénie satisfait la relation de récurrence v 0 = 1 v 1 = 1 v n+ = v n+1 + v n, n N Ainsi, pour tout n N, v n = u n désigne le nombre de lapins au bout de n mois ) n ) n e) En déduire que pour tout entier n, α 1 1+ est un entier naturel un+1 f) Montrer que u n tend vers φ lorsque n tend vers l'inni )n N Indications et Commentaires : c) Se ramener à l'étude du système d) On pourra poser φ = 1+ { 1 = α 1 = α 1 et ψ = 1 ) 1+ ) et se rappeler que φ et ψ sont les solutions du trinôme étudié à la question précédente e) Se rappeler l'histoire des lapins f) Diviser le numérateur et le dénominateur par φ puis remarquer que si ρ < 1, 0 lim n + ρn = Corrections 1a) Le discriminant du trinôme x x 1 vaut Ainsi, les racines de l'équation x x 1 = 0 et 1 1 Comme 4, 1 et l'unique solution positive de l'équation sont 1+ précédente est b) Comme φ 0, on obtient immédiatement φ = 1 + φ = φ + 1 φ = φ

3 La deuxième égalité démontre de manière analogue φ 1 φ 1 = φ φ + 1 φ φ φ + = φ φ + φ = φ a) En utilisant la formule de récurrence pour n = 0, u = u 1 + u 0 = = En utilisant la formule de récurrence pour n = 1, u = u + u 1 = + 1 = En utilisant la formule de récurrence pour n =, u 4 = u + u = + = b) Notons v n le nombre de lapins à la génération n, c'est à dire au bout de n mois Le nombre de lapins à la génération n + est la somme du nombre de lapins à la génération précédente n + 1 car les lapins sont immortels Ce nombre vaut v n+1 et du nombre de lapins nés à la génération n + Il est égal au nombre de lapins qui ont déjà un mois à la génération n+1, c'est à dire le nombre de lapins présents à la génération n, ce qui vaut v n Ceci implique que v n+ = v n+1 + v n De plus, d'après la petite histoire, v 0 = v 1 = 1 Donc la suite u n ) n N est bien la même que la suite v n ) n N et u n donne bien le nombre de lapins au bout de n mois Pour prouver rigoureusement que pour tout n N, u n = v n, il faut faire une récurrence avec comme hypothèse de recuurrence Pn) : u n = v n, u n+1 = v n+1 Initialisation u 0 = u 1 = 1 et v 0 = v 1 = 1 donc u 0 = v 0 et u 1 = v 1 Donc P0) est vraie Hérédité Soit n N Supposons Pn) vraie, alors u n = v n et u n+1 = v n+1 Or d'où u n+ = v n+ et Pn + 1) est vraie La récurrence est achevée c) Soit n N et v n = α u n+ = u n+1 + u n, v n+ = v n+1 + v n, 1 ) n 1+ ) n v 0 = v 1 = 1 si et seulement si v 0 = 1 = α, ) = 1 = α v ) On résout ce système en α et β On remplace la deuxième ligne par 1 )/ fois la première moins la deuxième : 0α α = 1 ) = 1 1

4 Soit en simpliant α = 1 β = 1+ Ainsi, on obtient β = + et α = 1 β = Finalement, pour tout n N, v n = 1 ) n ) n d) On eectue une récurrence On a bien v 0 = v 1 = 1 Soit n un entier naturel Notons φ = 1+ et ψ = 1 On rappelle que φ et ψ ont été étudiées à la question précédente et qu'ils sont solutions de l'équation X X 1 = 0 Ainsi, φ = φ + 1 et ψ = ψ + 1 Soit, v n+ = αψ n+ φ n+ = αψ n ψ φ n φ = αψ n ψ + 1) φ n φ + 1) = αψ n+1 + αψ n φ n+1 φ n = αψ n+1 φ n+1 + αψ n φ n = v n+1 + v n e) On remarque que, comme pour tout n N, u n+ = u n+1 + u n et que u 0 = u 1 = 1, alors pour tout n N, u n N c'est le nombre de lapins au bout de n mois Ainsi, pour tout n N, 1 ) n ) n est un entier naturel, ce qui n'est pas évident à première vue!! f) On calcule le rapport en mettant en valeur la quantité ρ = n tend vers l'inni car 1 < 1 1+ u α n+1 = u n α 1 1 ) n+1 ) n = α 1 ρ n 1+ αρ n Ainsi, en passant à la limite lorsque n tend vers l'inni, ) n+1 1+ ) n ) n, qui tend vers 0 lorsque u n+1 lim = β 1+ n u n β = 1 + = φ 4

5 Exercice Comment approcher le nombre d'or : 0min à 1h) : On rappelle que φ = 1+ 1) Soit ) n N la suite dénie par a 0 = et pour tout entier naturel n, +1 = a) Pour tout entier n 1, montrer l'encadrement b) Pour tout entier naturel n 1, montrer l'inégalité +1 φ 4 9 φ c) En déduire que pour tout entier naturel n 1, ) 4 n φ 9 d) Que dire du comportement de la suite ) n N lorsque n tend vers +? ) Soit c n ) n N la suite dénie par c 0 = et pour tout entier naturel n, c n+1 = c n +1 On note f la fonction dénie pour tout x ] 1 ; + [ par fx) = x + 1 x 1 a) Étudier les variations de f sur son intervalle de dénition b) En déduire que pour tout entier naturel n, φ c n+1 c n c) Montrer que la suite c n ) n N est convergente d) Montrer que pour tout entier naturel n, c n+1 φ 1 c n φ) e) En déduire, pour tout entier naturel n 1, l'inégalité c n φ f) Quelle est la limite de la suite c n ) n N? n k=1 k c n 1 Indications et Commentaires : 1a) Une petite récurrence! 1b) Utiliser la question précédente! 1d) Se rappeler le théorème des gendarmes Utiliser les mêmes méthodes qu'à la question précédente Se rappeler le théorème de convergence des suites monotones Corrections 1a) On commence par remarquer que par une récurrence immédiate, on a > 0 On montre alors la propriété par récurrence sur n Pour n = 0, on a bien a 0 = Soit n 0 On suppose que la propriété est vraie à l'ordre n On a alors, en utilisant l'hypothèse de récurrence, Ainsi, la propriété est vraie à l'ordre n Finalement, en utilisant le principe de récurrence, pour tout n 0,

6 b) Soit n 1 En utilisant la dénition de la suite ), on a +1 φ = φ = 1 1 φ = φ φ 4 9 φ car et φ c) On montre la propriété φ 4 9 )n par récurrence sur n Pour n = 0, a 1 φ = 4 9 car 6 9 Soit n 0 On suppose que la propriété est vraie à l'ordre n On a alors, en utilisant la question précédente et l'hypothèse de récurrence, Ainsi, la propriété est vraie à l'ordre n φ 4 9 φ 4 ) n ) n Finalement, en utilisant le principe de récurrence, on a pour tout n 0, ) n 4 φ 9 d) Comme 4 9 1, 4 9 )n 0 lorsque n + Ainsi, en utilisant le théorème des gendarmes, la suite ) converge et n + φ a) La fonction f est composée de fonctions dérivables sur ] 1 ; + [ donc est dérivable De plus, pour tout x ] 1 ; + [, f x) = xx 1) x + 1) x 1) = x x x 1) = x x 1 x 1) Ainsi, la fonction f est décroissante sur ] 1 ; φ] puis croissante sur [φ; + [ b) On montre par récurrence la propriété φ c n+1 c n Pour n = 0, on a bien φ a 1 = a 0 = Soit n 0 On suppose la propriété vraie à l'ordre n La fonction f étant croissante sur l'intervalle [φ; + [, on a en utilisant l'hypothèse de récurrence, φ c n+1 c n fφ) fc n+1 ) fc n ) f) φ +1 φ 1 c n+ c n+1 φ c n+ c n+1, 6

7 où nous avons utilisé la question 1b) sur les propriétés de φ La propriété est ainsi vraie à l'ordre n + 1 Finalement, en utilisant le principe de récurrence, on a bien pour tout n 0, φ c n+1 c n c) D'après la question précédente, la suite c n ) est décroissante et minorée, donc elle converge d) Soit n 0 En utilisant la dénition de la suite c n ), c n+1 φ = c n + 1 c n 1 φ = c n c n φ + φ + 1 c n 1 = c n c n φ + φ c n 1 = c n φ) c n 1 1 c n φ) car φ c n soit φ 1 = c n 1 e) On montre par récurrence la propriété c n φ n k=1 k Pour n = 0, on a bien c 0 φ 1 Soit n 0 On suppose la propriété vraie à l'ordre n En utilisant la question précédente et l'hypothèse de récurrence, c n+1 φ 1 c n φ) Ainsi, la propriété est vraie à l'ordre n n k=1 k 1 n k=1 k+1 1 n+1 k= k n+1 k=1 k Finalement, en utilisant le principe de récurrence, on a bien pour tout n 0, c n φ n k=1 k f) Comme c n φ = 0 n et k=1 k = 1 n 1 1 +, on a d'après le théorème des gendarmes, c n n + φ 7