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1 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel > 0, associe le réel oté ( ) dot l epoetielle est. Propriétés : ) a) Pour tout réel > 0 et tout réel, y = l équivaut à = e y. b) l = 0 2) Pour tout réel > 0, l e =. 3) a) Pour tout réel > 0, l ( e ) b) l ( e ) = =. 4) a) Pour tous réels et de 0;+, b) Pour tous réels et de 0;+, l a = l b équivaut à a = b l a < l b équivaut à a < b Démostratio : ) a) coséquece immédiate de la défiitio. 0 b) Par défiitio, l est le ombre dot l'epoetielle est. Or e =. Doc l = 0 2) Traductio de la défiitio. 3) a) Par défiitio, l ( e ) est le réel dot l'epoetielle est e. Doc l ( e ) b) Coséquece du a) avec =. l ( a) l( b) 4) a) l a = l b équivaut à e = e équivaut à a = b Eemple l ( a) l( b) b) l a < l b équivaut à e <e équivaut à a < b Résoudre l équatio l ( 2 ) = 3 a) Coditios d eistece : 2 > 0 équivaut à >. Doc o résout l'équatio das ; = 3 3 e + b) Das ; +, l'équatio l ( 2 ) = 3 est équivalete à 2 = e = e + Comme e > 0, o a bie ; + et O a doc 3 e + S = 2 2 2

2 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 2 sur 2 2) Propriétés algébriques : Relatio foctioelle : Pour tous réels et de 0;+, l ( ab) = l ( a) + l ( b) O dit que le logarithme épérie trasforme les produits e sommes. Démostratio : ( ab) l e = ab l( a) l( b) l( a) l( b) + e = e e = ab ( ab) ( a) + ( b) l l l ( ab) ( a) ( b) Doc e = e. Doc l = l + l Applicatio: Règle à calculs Coséqueces : b = l 2 a b ) Pour tous réels et de 0;+, l = l ( b) et l = l ( a) l ( b) 2) Pour tout réel de 0;+, l ( a ) ( a) 3) Pour tout réel de 0;+ et pour tout etier relatif, l ( a ) = l ( a) Démostratio : ) Pour tout a > 0, a =. Doc l a = l. Doc l(a) + l = 0. Doc l = l(a) a a a a a Pour tout a > 0 et b > 0, l = l a = l(a) + l = l(a) l(b) b b b 2) Pour tout a > 0, a = a. 2 Doc l l l l l l ) a) O ote 2 ( a) = ( a ) = ( a a ) = ( a ) + ( a ) = ( a ) P la propriété «l ( a ) l ( a) Iitialisatio : l ( a ) l ( a) l ( a) =» défiie pour N * et 0;+ = =. Doc P est vraie. Hérédité : O suppose qu il eiste u etier aturel tel que ( P ) est vraie et o

3 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 3 sur 2 démotre alors que + P est vraie, c est à dire l ( a ) ( ) l ( a) + = +. D après l hypothèse de récurrece l ( a ) = l ( a) Doc l ( a ) + l ( a) = l ( a) + l ( a) D après le relatio foctioelle, l ( a ) + l ( a) = l ( a a) = l ( a + ) + Doc l ( a ) ( ) l ( a) = +. Doc P est vraie. Coclusio : D après le pricipe de récurrece, o a démotré que, pour tout etier aturel * N, l ( a ) = l ( a) b) Si = 0, pour tout réel a > 0, l a = l() = 0 et 0 l( a) = 0. Doc l a = 0 l( a) c) Si < 0, l a = l = l a a ( a ) = ( ( a) ) = ( a) Comme < 0, > 0. D'après le a, l a = l a Doc l l l II) Etude de la foctio logarithme épérie ) Limites Propriétés : ) lim l = + 2) lim l Démostratio : ) Soit u réel réel. D après les propriétés de la foctio logarithme épérie, si est u réel tel que > e A, alors l pour assez grad. Doc lim l 2) Pour > 0, o pose X = > A. Doc l itervalle ] ; [ + = + =. Alors l = l = l ( X ) A + cotiet toutes les valeurs de l ( ) X lim = + 0 > 0 Par compositio lim l = 0 lim l ( X ) lim l ( X ) > 0 X + = = X +.

4 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 4 sur 2 2) Dérivabilité Propriétés : ( admises ) ) La foctio l est cotiue sur ] 0;+ [. 2) La foctio l est dérivable sur ] 0;+ [ et, pour tout réel ] 0; + [, o a : l' Démostratio partielle du 2 : O admet que la foctio l est dérivable sur ] 0;+ [. O ote f la foctio défiie sur ] 0;+ [ par f = g h avec Doc h = l et g = e h' = l' et g ' = e l l f ( ) = e.. f ' = h ' g ' h = l' e = l' Or, pour tout réel ] 0; [ Doc l' =. Doc l' +, f =. Doc =. f ' =. = Propriété : Soit ue foctio dérivable et strictemet positive sur u itervalle. La foctio l u, otée l u, est dérivable sur et, o a : ( l u ) ' u ' = u : l 3 + sur, + 3 Eemple : Détermier la foctio dérivée de la foctio f ( ) 3) Variatios Propriété : La foctio l est strictemet croissate sur ] 0;+ [. So tableau de variatio est : 0 f + +

5 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 5 sur 2 4) Courbe représetative Propriété : Das u repère orthoormé, la courbe représetative de la foctio l admet l ae des abscisses pour asymptote verticale. Propriété : Das u repère orthoormé, les courbes représetatives des foctios epoetielle et logartihme épérie sot symétriques par rapport à la droite d équatio y = Eercice ) Démotrer que la tagete à la courbe représetative de la foctio l au poit d abscisse est y =. 2) Démotrer que la tagete à la courbe représetative de la foctio l au poit d abscisse est y =. e 5) Autres limites A) Approimatio affie au voisiage de ) ( + h) l lim = 2) h 0 h l lim = Démostratio : ) La foctio l est dérivable e et l' = =. l ( + h) l l ( + h) Or l' = lim. Doc lim =. h h h 0 h 2) Das l égalité précédete, o pose = + h.

6 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 6 sur 2 Remarque : La foctio est la meilleure approimatio affie de la foctio au voisiage de. l Applicatio : Approimatio de «e» ( + ) l O sait que lim = 0 E posat =, o obtiet lim l + = lim l + =. + + E appliquat la foctio epoetielle ( qui est cotiue ) : lim + = e. + B) Comparaiso avec la foctio Idetité : l ) lim = 0 2) lim l = Démostratio : ) O pose t l =. Alors l t = e t et = e t. lim t = lim l = t l ( compositio ), lim 0. e t = Doc lim = 0 t lim lim 0 + e t = + = + t + t t + e t 2) O pose lim X X 0 0 > 0 > 0 =. Alors l l l ( X ) l ( X ) = = = X X X X = lim = + l ( X ) = = 0 0 ( X ) X > 0 > 0 l lim = 0 + X X Par compositio lim 0. Doc lim l 0.

7 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 7 sur 2 Polycopiés :. III) Logarithme décimal Défiitio : La foctio logarithme décimal est la foctio otée log, défiie sur ] 0;+ [ par : log Remarques : log = 0 et log ( 0) = l =. l 0 Propriétés : ) La foctio logarithme décimal est strictemet croissate sur ] 0;+ [ 2) lim log et lim log 0 > 0 = = + + 3) Pour tous les réels et de ] 0;+ [ et pour tout etier relatif, o a : a log ( a) a) log ( ab) = log ( a) log ( b) b) log = log = b log ( b) Remarque : Pour tout etier relatif, o a : log ( 0 ) =. c) ( a ) log ( a) Eercice : Détermier le ombre de chiffres d u ombre ) Peut o calculer avec la calculatrice le ombre α = 2? 2) Sio, peut-o estimer le ombre de chiffres qu il faut pour l écrire? ) A l aide de la calculatrice, peut o calculer α = 2? No, cela dépasse sa capacité mémoire. 2) a) Eprimer log ( α ) e foctio de log 2. log ( α ) = log( ) = log( 2) b) A l aide de la calculatrice, ecrader log ( α ) par deu etiers cosécutifs. c) E déduire u ecadremet de α par deu puissaces cosécutives de 0. d) E déduire le ombre de chiffres de.

8 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 8 sur 2 IV) Foctios puissace IV. Foctios epoetielles de base, > 0 : a) Défiitio : O cosidère u réel a strictemmet positif, o appelle foctio puissace, la foctio défiie sur R par l e a f = = a. Remarques : ) Si a = e, o retrouve la foctio epoetielle. 2) Si a =, est la foctio costate égale à. Coséquece : Pour tout réel, a > 0 et l a = l a Propriétés : Les règles de calcul coues sur les puissaces d eposats etiers relatifs s étedet au cas d eposats réels : Pour tous réels strictemet positifs a et et tous réels et : y y + y y a a = a a = a ab = a b a y a a = a = a y = a a b b Dém : + y ( + y) l a l( a ) y l a y l a l a + yl a + y a a = e e = e = e = e = a Eemples : A = 64 = 2 = 2 = 2 = 4,5,5 2,5 2 (,5) 3 B = ( 0, 25) = = ( 2 ) = 2 = 2 = C = 2 8 = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = 2

9 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 9 sur 2 b) Etude de la foctio : : 2 f f ( ) = 2 = e l 2 Doc est défiie sur R. lim =. Or l 2 > 0. Doc lim l 2 = Par compositio, lim 0 f = lim e = 0 Doc la droite d'équatio y = 0 est asymptote horizotale à la courbe au voisiage de. lim = +. Doc lim l 2 = Par compositio, lim f = + lim e = Par compositio, est dérivable sur R. l 2 f ' = l 2 e = l 2 a R, a > 0 et l 2 > 0. Doc f ' > 0. Doc f est strictemet croissate sur R. 0 + Variatios de 0 +

10 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 0 sur 2 c) Etude de la foctio : : 0,3 f f ( ) = 0,3 = e l 0,3 Doc est défiie sur R. lim =. Or l 0, 3 < 0. Doc lim l 0,3 = + Par compositio, lim f = + lim e = + + lim = +. Or l 0, 3 < 0. Doc lim l 0,3 = + + Par compositio, lim f = 0 lim e = 0 + Doc la droite d'équatio y = 0 est asymptote horizotale à la courbe au voisiage de +. Par compositio, est dérivable sur R. l( 0,3 ' l 0,3 e ) f = = l 0,3 a R, a > 0 et l 0,3 < 0 Doc f ' < 0. Doc f est strictemet décroissate sur R. 0 + Variatios de + 0

11 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 IV. 2 Foctio racie -ième : a) Foctio puissace etière : Défiitio : O cosidère u etier aturel o ul. O appelle foctios «puissace etière» les foctios défiies sur [ 0;+ [ par f =. Propriété : Les foctios «puissace etière» sot cotiues, dérivables, strictemet croissates sur [ 0;+ [ et lim = 0 et lim = Dém : f = f ' = [ [ Or 0; + et N*. Doc f ' 0 Coséquece : Pour tout réel a 0, l équatio f a 0;+. = admet ue uique solutio das [ [ Dém : corollaire du TVI b) Racie -ième : Défiitio : O cosidère u réel a positif. L uique réel positif tel que = a est appelé racie -ième de a et oté a. Eemples : = 0 = 8 = 2 car 2 = = 5 car 5 = 625 Propriété : Pour tout réel a > 0, a = a Dém : a = a et l'équatio = a admet ue uique solutio positive. Doc a = a Covetio : 0 = 0

12 Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page 2 sur 2 c) Etude de la foctio racie -ième : f : Défiitio : O cosidère u etier aturel o ul. O appelle foctios «racie -ième» les foctios défiies sur ] 0;+ [ par f =. Propriété : Les foctios «racie -ième» sot cotiues, dérivables, strictemet croissates sur ] 0;+ [ et lim = +. + Dém : l f = = = e Doc est défiie sur ] 0;+ [. lim l = +. Or > 0. Doc lim l = Par compositio, lim f = + + lim e = + + Par compositio, est dérivable sur ] 0;+ [. Doc est cotiue sur ] 0;+ [. f ' = e l ] [ R, e > 0, > 0 et > 0 Doc f ' < 0. Doc f est strictemet croissate sur 0; Sige de f ' + + Variatios de 0

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