TS Exercices sur les limites de suites (3) 4 Pour tout entier naturel n 1, on pose :

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1 T Exercices sr les limites de sites () Por tot etier atrel, o pose : O cosidère la site ( ) défiie sr N par so premier terme récrrece ( ) = + por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : < < ) Détermier le ses de variatio de la site ( ) ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de ( ) Jstifier qe l < et qe l= l E dédire la valer de l coverge tel qe < < et la relatio de = ) Calcler,, ) Por tot etier atrel, démotrer l égalité = + + ) Le bt de cette qestio est de détermier e formle simplifiée de (o = ) ( + ) O écrit l égalité = por {,,, } et o fait la somme membre à membre comme ( + ) + das le cadre ci-dessos : O cosidère la site ( ) défiie sr N par so premier terme > et la relatio de récrrece = e + por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : > ) Détermier le ses de variatio de la site ( ) ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de ( ) coverge O admet qe l= le l (égalité obte par passage à la limite das la relatio de récrrece) E dédire la valer de l O cosidère la site ( ) défiie sr N par so premier terme = 7 et la relatio de récrrece + = + por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : > ) Détermier le ses de variatio de la site ( ) ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de ( ) a) Jstifier qe l coverge b) O admet qe l= l+ (égalité obtee par passage à la limite das la relatio de récrrece) E dédire la valer de l 5 ) Écrire algorithme qi por e valer de e, réel strictemet positif, saisie e etrée, permet d afficher e sortie le pls petit etier atrel tel qe < e Programmer cet algorithme sr calclatrice et idiqer le ombre obte e sortie por e =, = = = + + Recopier ce cadre et barrer e diagoale les termes qi s alet das la somme (méthode par «télescopage» o par «domios additifs») E dédire qe = + ) Détermier lim + 5 Por tot etier atrel, o pose = (la somme commece por = ) ) Qel est le ses de variatio de la site? ) Démotrer, qe por tot etier atrel, o a ) O écrit l iégalité por {,,, } et o fait la somme membre à membre des iégalités obtees comme das le cadre ci-dessos (o appliqe la règle d additio des iégalités : «O pet additioer membre à membre des iégalités de même ses») : Recopier ce cadre et barrer e diagoale les termes qi s alet (pricipe des domios additifs o télescopage)

2 E dédire qe et qe est majorée ) Démotrer à l aide des qestios précédetes qe la site ( ) est covergete (o e demade pas de détermier la limite) Les exercices sivats portet sr e techiqe classiqe de majoratio-mioratio à coaître E dépit de sa simplicité et d fait q il pet sembler doer ecadremet grossier, ce pricipe d ecadremet pet s avérer efficace por détermier la limite de certaies sites défiies par e somme, comme o le voit das l exercice 8 6 oit etier atrel o l fixé O pose E observat qe l o a =, démotrer qe l o a : Atremet dit, o a : Pricipe de majoratio-mioratio d e somme i A= a+ a + + a avec a a a, alors o a l ecadremet sivat : a A a (ombre de termes) le pls petit A (ombre de termes) le pls grad Ce pricipe pet être appelé «le pls bête des ecadremets», «ecadremet le pls bête d mode» o ecore «pricipe de majoratio-mioratio grossier» Cet ecadremet ce démotre aisémet Démostratio oit A e somme de ombres Notos m le pls petit terme de la somme et M le pls grad 7 oit etier atrel fixé O pose Démotrer qe l o a : ( + )! =! 8 Por tot etier atrel o l, o pose = = ) E partat de, comparer sccessivemet les ombres : +, +,, + +, +,, + +, +,, + ) E dédire ecadremet de pis lim + ) Écrire algorithme qi por e valer de, etier atrel o l, saisie e etrée, permet d afficher e sortie la valer de Programmer cet algorithme sr calclatrice et idiqer e valer approchée de 5 Par additio membre à membre d iégalités de même ses, o a : m + m+ + m A M+ M+ + M termes termes m A M O e dédit la méthode pratiqe por majorer e somme : O rage les termes das l ordre croissat O compte le ombre de termes O appliqe l iégalité

3 oltios 5 ) Écrivos algorithme qi por e valer de e, réel strictemet positif, saisie e etrée, permet d afficher e sortie le pls petit etier atrel tel qe < e Variables :, e et ombres Etrée : Lire e Iitialisatios : pred la valer 7 pred la valer Traitemet : Tatqe e Faire pred la valer + pred la valer + FiTatqe ortie : Afficher Programmos cet algorithme sr calclatrice et idiqer le ombre obte e sortie por e =, 6 = ( N * ) Démotros qe O e cherche évidemmet pas à calcler cette somme O a : (les iégalités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Doc d après le pricipe de majoratio rappelé das l éocé, o pet écrire : Atre versio : = ( N * ) Démotros qe O a Le ombre de termes de la somme est Le pls grad terme de la somme est (les iégalités sot e fait strictes, mais o s e fiche) E majorat tos les termes de la somme par Commetaires :, o obtiet O porrait remplacer le sige par le sige «<» qi doe e majoratio pls précise O porrait majorer tos les termes de la somme par ( + ) O obtiet alors la majoratio : ( ) Cette majoratio est mois précise O porrait tiliser la formle sommatoire doat la somme des cbes des etiers atrels de à : ( + ) = Ce est pas ce qi est atted L itérêt d pricipe de majoratio grossier c est de povoir majorer o miorer des sommes dot o e vet/pet trover e expressio simplifiée (formle de rédctio) 7 =! ( N) Démotros qe ( + )! O e cherche pas à calcler la somme O a :!!!!! (les iégalités sot e fait strictes, mais o s e fiche) < + Doc ( ) +! +! = +! E effet, ( ) ( ) +!

4 Démotros l égalité ( )! ( )! + = + est «composée» de termes O a :! =! + = + Doc Comme et + sot des etiers coséctifs, il s agit di prodit de tos les etiers atrels de à + +! = +! Doc D après le pricipe de majoratio-mioratio grossier d e somme, o a : + O : Démotros qe ( + )! O a :!!!!! Le ombre de termes de la somme est + Le pls grad terme de la somme est! E majorat tos les termes de la somme par!, o obtiet ( N * ) + 8 = = O e cherche pas à calcler la somme ) positifs) ( ) +! +! (passage à l iverse das l iégalité ; tos les ombres sot strictemet (o a mltiplié tos les ombres par, > ) ) Dédisos-e ecadremet de pis lim + D après le pricipe d ecadremet d e somme, + Atre faço : + E ecadrat chaqe terme par le pls petit et le pls grad, o obtiet : Por détermier la limite, o trasforme les dex expressios de telle sorte à e pas avoir de forme idétermiée = = = = lim = et + + Or N * + lim = Doc d après le théorème des gedarmes, lim = Commetaire : + Bie qe l ecadremet obte das la qestio a) ait p apparaître grossier de prime abord, os voyos q il permet éamois de trover la limite grâce a théorème des gedarmes C est por cela q il est itéressat d étdier ce pricipe Le pls grad terme de est + Le pls petit terme de est +

5 ) Variables :,, ombres Etrée : aisir Iitialisatio : pred la valer Traitemet : Por allat de à Faire pred la valer + + FiPor ortie : Afficher Avec le programme correspodat sr calclatrice, o trove : 5=,97979 Il est égalemet possible d tiliser la foctio «somme» de la calclatrice por calcler cette somme