arlesrsuitesraurbacr2013r==corriges=z

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1 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z Frace métropolitaie septembre 5 poits 7 La foctio x x, ratioelle, est dérivable sr tot itervalle cote das so esemble x de défiitio * doc f est dérivable sr ] ; + [ et, por tot réel x strictemet positif, o a : 7 x 7 x 7 f '( x) x 7 x x x Sr ] ; + [, x 7 et x sot strictemet positifs doc f '( x) est d sige de x 7 : f est dérivable sr ] ; + [ doc sr ; 7 et sa dérivée est strictemet égative sr ; 7 doc f est strictemet décroissate sr ; 7 f est dérivable sr ] ; + [ doc sr 7 ; et sa dérivée est strictemet positive sr 7 ; doc f est strictemet croissate sr 7 ; E 7, la dérivée de f s ale e chageat de sige ; la foctio f admet miimm absol égal à f Très bref raisoemet par récrrece : Iitialisatio : = et 7 doc 7 Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe Si 7, alors 7 f d après l étde des variatios, c'est-à-dire 7 Coclsio : La propriété 7 est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel a Por tot etier atrel, o a : (admis) doc 7 et 7 doc 7 Par site, b La propriété motre qe la site ( ) est décroissate O sait d atre part q elle est miorée (par o égal à 7 et iférier o égal à 7 ) Etat décroissate et miorée, elle coverge vers ombre l spérier c 7 7 o 7 La site ( ) état positive, sa limite l e pet q être positive O a doc 7 Por tot etier atrel, a Iitialisatio : la propriété 7 d est vraie por = car = doc 7,5 doc 7 or d = O a bie 7 d Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe mais fixé

2 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z Si 7 d, alors 7 d la site ( ) est miorée par 7 doc et < 7 E mltipliat membre à membre : d d où 7 d c'est-à-dire 7 d Coclsio : La propriété 7 d est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel b L algorithme met das la variable d la valer de d pisqe «affecter à d la valer et affecter à la valer» correspod à d = et «affecter à d la valer,5d et affecter à la valer +» tradit l égalité d d Tat qe d > p, o passe a terme sivat doc lorsqe l algorithme affiche le ombre 5, c est qe d > p est pls vraie O a doc d 5 p c'est-à-dire d Pisqe 7 d o a 7 d ce qi motre qe 5 est e valer approchée de 7 à 9 près (par excès) 5 5 Amériqe d ord mai 5 poits a Por =, pred la valer, c'est-à-dire Por =, pred la valer, c'est-à-dire Por =, pred la valer, c'est-à-dire L algorithme affiche doc (e valer approchée à 4 près) :,84 b Cet algorithme calcle c O pet peser qe la site est croissate et coverge vers a Iitialisatio : = doc Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe Si, alors 4 pisqe la foctio «racie carrée» est strictemet croissate sr [ ; +[ Coclsio : La propriété est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel b Essayos plsiers méthodes («c est vos qi voyez!»): Por tot etier atrel,

3 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z La qestio précédete prove qe :, et doc,, la site est croissate Por tot etier atrel, Pisqe, (divisio par ombre strictemet positif) (la foctio «racie carrée» est strictemet croissate sr [ ; +[) doc (mltiplicatio par ombre strictemet positif) la site est croissate Démotros, par récrrece, qe por tot etier atrel, : Iitialisatio : = et doc, c'est-à-dire Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe Si pisqe la foctio «racie carrée» est strictemet croissate sr [ ; +[ Coclsio : La propriété est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel est croissate Efi, e démostratio pls directe : o sait qe, por tot etier atrel, doc (mltiplicatio par réel strictemet positif) d où est croissate, c'est-à-dire c La site est croissate et majorée (par ) Elle coverge doc vers réel iférier o égal à l l l l l l v l l l l l l l v a Por tot etier atrel, v La site v est géométriqe, de raiso et de premier terme v l l l l l (pisqe l = ) b Por tot etier atrel, o a v v l v v Par aillers, d où v l l v l l l e l l l e l v l e e c Pisqe, lim doc le théorème de compositio, o a x lim l et comme lim e, d après x l lim e et fialemet lim

4 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z d Variables : est etier atrel est réel Iitialisatio : Affecter à la valer Affecter à la valer Traitemet : Tat qe,999 Affecter à la valer + Affecter à la valer Fi de Tat qe Sortie : Afficher Liba mai 5 poits Partie A Remarqos tot d abord qe e doit pas être l e raiso d libellé «Por i variat de à» L algorithme affiche v q e fois (il est hors de la bocle Por) ; il affiche doc qe la valer de v L algorithme affiche fois la valer pisqe v repred cette valer à chaqe bocle L algorithme affiche les valers v à v das la bocle pis v e sortie, doc c est le bo algorithme D après ces qelqes valers, o pet peser qe la site (v ) est croissate et pet coverger état doé qe les termes sccessifs sot de pls e pls proches les s des atres a Iitialisatio : v = doc < v < Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe Si < v <, alors 6 < 6 v < 6 (la foctio x 6 x est strictemet décroissate sr ) < 6 v < ( x est strictemet décroissate sr ] ; +[ ) 6 6 x v,5 v d où, à pls forte raiso : < v + < Coclsio : La propriété < v < est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel 9 9 6v v v b Por tot etier atrel, v v v 6 v 6 v 6 v Pisqe v <, o a v et 6 v doc v c'est-à-dire v v 6 v d où v v La site (v ) est mootoe (strictemet croissate) c La site (v ) est croissate et majorée (par ) doc elle coverge vers réel iférier o égal à Partie B - Recherche de la limite de la site (v ) Por tot etier atrel, 6 v 6 v w v v 9 v v 6 v 6 v 4

5 w arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z 6 v 6 v v w v v v v La site (w ) est arithmétiqe, de raiso et de premier terme w w w v La site (w ) a por terme gééral : w w w v v d où le terme gééral de la site (v ) : v w w v lim 6 6 doc lim et lim v 4 Asie ji 5 poits Partie A Iitialisatio : = doc Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe ( ) Remarqos qe, por tot etier atrel, Si, alors et doc (règle des siges) Coclsio : La propriété est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel a Por tot etier atrel, o a : b Pisqe, por tot etier atrel, o a d où,, Partie B o e tire, et La site ( ) est décroissate La site ( ) est décroissate et miorée (par ) doc elle coverge vers réel spérier o égal à i,8,77,976 La site semble coverger vers par valers alterativemet spérieres et iférieres a Por tot etier atrel,,5,5,5,5,5,5,5 v v,5,5,5,5,5,5,5 5

6 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z b La site (v ) est géométriqe, de raiso v La site (v ) a por terme gééral : v v 4 a doc, por tot etier atrel, doc v d où v v v v v v v v v v v v v b c doc lim, lim v d où lim v 5 Cetres étragers ji 5 poits Partie A Por qe l algorithme calcle et affiche tos les termes de la site de jsq à 9, il fadrait déplacer l istrctio «Afficher la variable» das la bocle Tat qe après l istrctio «Affecter à la valer» ( ) La site semble décroissate et covergete (vers?) Partie B - Étde mathématiqe Por tot etier atrel, Variables est etier atrel est réel Iitialisatio Affecter à la valer Affecter à la valer,5 Traitemet Tat qe < 9 Sortie Affecter à la valer ( ) Affecter à la valer Fi Tat qe Afficher la variable Variables est etier atrel est réel Iitialisatio Affecter à la valer Affecter à la valer,5 Traitemet Tat qe < 9 Affecter à la valer ( ) Afficher la variable Affecter à la valer Fi Tat qe Sortie 6

7 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z v ( ) ( ) v ( ) La site (v ) est géométriqe, de raiso et de premier terme v Por tot etier atrel, o a : v v,5, o a lim Pisqe,5 4 Por tot etier, o a :,5 d où lim et,5 et lim (,5),5 (,5) (,5) (,5) ( ) v,5,5 (,5) (,5) (,5),5 (,5) (,5) (,5 )(,5) ( ) ( ) ( ) Sige évidet :, La site ( ) est décroissate Partie C - Retor à l algorithmiqe Variables est etier atrel est réel Iitialisatio Affecter à la valer Affecter à la valer,5 Traitemet Tat qe, Sortie Affecter à la valer ( ) Affecter à la valer Fi Tat qe Afficher la variable 6 Polyésie ji 5 poits a et b Iitialisatio : doc Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe Si, alors et doc (qotiet de ombres strictemet positifs) Coclsio : La propriété est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel 7

8 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z a Por tot etier atrel, O sait qe doc et Comme o admet qe, o a doc,, La site ( ) est croissate b La site ( ) est croissate et majorée (par ) doc coverge vers réel iférier o égal à a Por tot etier atrel, v v La site (v ) est géométriqe, de raiso et de premier terme v b La site (v ) a por terme gééral : v v v v v v v v v v c v v d Por tot etier atrel, Pisqe, lim d où lim d où 7 Frace métropolitaie ji 5 poits 7 a E remplaçat par :, 7 6 E remplaçat par :, E remplaçat par :, E remplaçat par : 4 4, b La site semble croissate a Démotros, par récrrece, qe por tot etier atrel, Iitialisatio : = et doc Hérédité : Soit etier atrel qelcoqe Si, alors (simple mltiplicatio par ) 8

9 arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z à pls forte raiso, 4 Coclsio : La propriété est vraie por = et héréditaire à partir de = D après le pricipe de récrrece, elle est vraie por tot etier atrel b Por tot etier atrel, c D fait qe, por tot,, o tire, La site ( ) est croissate v v a Por tot etier atrel, ( ) La site (v ) est géométriqe, de raiso et de premier terme v b La site (v ) a por terme gééral v v v doc por tot etier atrel, o a c Pisqe, lim et comme lim, o a lim 4 a Por tot etier atrel o l, S v v v v v v La première somme, v v v est la somme des + premiers termes d e site géo- métriqe doc v v v v 6 ( ) La secode somme est coe : ( ) S ( ) b Por tot etier atrel, T Les théorèmes sr les limites s appliqet assitôt : lim, lim 6 6, 6 lim et lim doc lim T 9