Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence"

Transcription

1 Chapitre 1 Déombremet Objectifs du chapitre 1. A travers l axiomatisatio de Peao de N, rappeller les pricipes de récurrece forte et faible. 2. Défiir la otio de cardial et les opératios sur les cardiaux. Formule du crible. 3. Notio de déombrabilité. 4. Arragemets, permutatios et combiaisos. Formule du biôme de Newto. 1.1 Etiers aturels et raisoemet par récurrece O admet l existece d u esemble N appelé esemble des etiers aturels, o vide, totalemet ordoé et vérifiat les axiomes de Peao 1 : 1. Toute partie o vide de N a u plus petit élémet. 2. Toute partie o vide de N majorée admet u plus grad élémet. 3. L esemble N admet pas de plus grad élémet. Propositio De maière immédiate o déduit les propriétés suivates : 1. L esemble N admet u plus petit élémet oté L esemble N \ {0} admet u plus petit élémet oté 1, etc... O peut aisi ommer les etiers successifs : 3. Pour tout N, la partie {p N, p > } a u plus petit élémet appelé successeur de et oté + 1. O a aisi l amorce de l additio de N. 4. Pour tout N, la partie {p N, p < } a u plus grad élémet appelé prédécesseur de et oté 1. L existece d u miimum iduit le pricipe de récurrece. Théorème (Récurrece faible). Soit P() ue propositio dépedat d u etier aturel. S il existe u etier 0 tel que la propositio P( 0 ) est vraie, pour tout etier 0, la propositio P() P( + 1) est vraie alors, pour tout etier 0, la propositio P() est vraie. Démostratio. O cosidère l esemble { N 0 et P() faux}. O souhaite motrer que cet esemble est vide. Supposos qu il soit o vide. Il admet doc u plus petit élémet oté 1 = 0 + k avec k 1 par hypothèse sur 0. La propositio P( 1 ) est fausse mais par défiitio de 1, la propositio P( 1 1) est vraie. Or par hypothèse, l implicatio P( 1 1) P( 1 ) est vraie doc la propositio P( 1 ) est vraie ce qui etraîe ue cotradictio. 1. Giuseppe Peao ( ), mathématicie italie. 1

2 Le même procédé de preuve permet de motrer le résultat Théorème (Récurrece forte). Soit P() ue propositio dépedat d u etier aturel. S il existe u etier 0 tel que la propositio P( 0 ) est vraie, pour tout etier 0, la propositio ( p { 0,...,} P(p)) P( + 1) est vraie alors, pour tout etier 0, la propositio P() est vraie. Pour démotrer qu ue propriété dépedat d u etier est vraie pour tous les etiers supérieurs à u etier 0 o effectue le raisoemet suivat : 1. (iitialisatio de la récurece) o vérifie la propriété pour = 0 2. (hypothèse de récurece) o suppose que pour > 0, la propriété est vraie pour tout k { 0,..., 1}. 3. O prouve la propriété au rag e utilisat l hypothèse de récurece. 4. (coclusio) O coclue que la propriété est vraie pour tout 0 par le pricipe de récurece. 1.2 Esembles fiis, ifiis, otio de cardial Esembles fiis O ote [[1,]] l esemble des etiers aturels compris etre 1 et. O rappelle les résultats : Théorème Soit p et deux etiers. 1. Il existe ue ijectio de [[1, p]] das [[1,]] si et seulemet si p. 2. Il existe ue surjectio de [[1, p]] das [[1,]] si et seulemet si p. 3. Il existe ue bijectio de [[1, p]] das [[1,]] si et seulemet si p =. 4. Si > 0 toute ijectio de [[1,]] est bijective. 5. Toute surjectio de [[1,]] est bijective. Défiitio (Esemble fii et cardial). U esemble E est dit fii s il existe u etier et ue bijectio de [[1,]] das E. Par le théorème précédet cet etier est uique et o l appelle cardial de E. O le ote Card E. Le cardial de l esemble vide est 0. Le théorème précédet a pour corollaire Corollaire Soit E et F deux esembles fiis. 1. Il existe ue ijectio de E das F si et seulemet si Card E Card F. 2. Il existe ue surjectio de E das F si et seulemet si Card E Card F. 3. Il existe ue bijectio de E das F si et seulemet si Card E = Card F. 4. Si Card E = Card F 0 alors toute ijectio de E das F est bijective. 5. Si Card E = Card F alors toute surjectio de E das F est bijective Esemble ifii Défiitio (Esemble ifii, cardial). U esemble est ifii s il est pas fii. O éted aux esembles ifiis la otio de cardial : Deux esembles E et F ot le même cardial si et seulemet si il existe ue bijectio de E sur F. La otio de cardial est dûe à Cator 2. Remarque La relatio il existe ue bijectio de E sur F est ue relatio d équivalece. Ituitivemet o peut cosidérer les cardiaux comme les classes d équivalece pour cette relatio. 2. Georg Cator ( ), mathématicie allemad. 2

3 Défiitio (Opératios et relatios sur les cardiaux). O cosidère les opératios suivates : Card A + Card B = Card (A {0} B {1}). Card A.Card B = Card A B. O pose Card A Card B s il existe ue ijectio de A das B. Remarque Afi de vérifier que cette défiitio a u ses il faut motrer que si Card A = Card A et Card B = Card B alors Card (A {0} B {1}) = Card ( A {0} B {1} ) et Card A B = Card A B. O vérifie cela e costruisat les bijectios adéquates, exercice! O admet que la relatio est ue relatio d ordre total sur les cardiaux 3 Exemple Notos I l esemble des ombres etiers impairs. Le cardial de I est égal au cardial de N. E effet o peut cosidérer l applicatio Φ : N I Cette applicatio est surjective par défiitio de I et l o vérifie immédiatemet l ijectivité. Elle est doc bijective. Exemple Les esembles N, Z, Q ot le même cardial. Exemple Les esembles R, C, R pour tout 1 ot le même cardial. O dit qu ils ot la puissace du cotiu. Les esembles N et R ot pas le même cardial (diagoale de Cator). L hypothèse du cotiu formulée par Cator, spécifie qu il existe pas d esemble ayat u cardial à la fois strictemet plus grad que celui des etiers et strictemet plus petit que celui des réels. Si E et F sot deux esembles ifiis ayat même cardial toute ijectio ou toute surjectio est pas ue bijectio! L applicatio Φ ci-dessus est ijective mais pas surjective. Défiitio (Esemble déombrable). U esemble est dit déombrable s il est e bijectio avec ue partie de N. o déduit de la défiitio : Propositio U esemble déombrable est fii ou ifii. Das ce derier cas so cardial est celui de N. 1.3 Déombremet Das tout ce qui suit les esembles cosidérés sot fiis et l o cosidèrera la défiitio de cardial éocé e Opératio sur les cardiaux d esembles fiis Propositio (Partie d u esemble fii). Soit E u esemble fii et A ue partie de E. Nécessairemet A est fiie et so cardial vérifie Card A Card E. Démostratio. L esemble E est fii doc par défiitio il existe ue bijectio Φ de E vers l esemble [[1,]] où est le cardial de E. L image Φ(A) est ue partie de [[1,]]. Elle est ordoée ce qui permet de costruire ue bijectio de Φ(A) vers ue partie [[1, p]] coteue das [[1,]] : le plus petit élémet m 0 de Φ(A) est evoyé sur 1, si Φ(A) \ {m 1 } est o vide alors le plus petit élémet m 1 de Φ(A) \ {m 0 } est evoyé sur 2 etc... Le procédé termie car le Φ(A) a au plus élémet. La partie A est e bijectio avec l esemble Φ(A), elle est doc fii avec Card A Card E. 3. L atisymétrie costitue le théorème de Cator-Berstei : s il existe ue ijectio de E das F et ue ijectio de F das E alors il existe ue bijectio de E das F. Le fait que l ordre soit total résulte de l axiome du choix. 3

4 Propositio (Cardial d ue réuio disjoite). Soit E et F deux esembles fiis disjoits. La réuio E F est fii et so cardial vérifie Card E F = Card E + Card F. Démostratio. L esemble E est fii doc e bijectio avec l esemble [[1,CardE]]. Notos Φ E cette bijectio. L esemble F est fii doc e bijectio avec l esemble [[1,Card F]]. Notos Φ F cette bijectio. O cosidère l applicatio Φ E F : E F [[1,Card E + Card F]] e E Φ E (e) f F Φ F ( f ) + Card E. Remarquos que cette applicatio est bie défiie car E et F sot disjoits. E effet si E et F e sot pas disjoits alors il existe a E F et e ce cas o a la cotradictio suivate Card E < Φ F (a) = Φ E F (a) = Φ E (a) Card E. Motros que cette applicatio est ijective. Soit g et h deux élémets de E F tels que Φ E F (g) = Φ E F (h). Si g et h appartieet à E alors Φ E (g) = Φ E F (g) = Φ E F (h) = Φ E (h) or Φ E est ue bijectio doc g = h. O fait le même raisoemet si g et h appartieet à F. Supposos que g appartiet à E et h à F alors ous avos Φ E (g) Card E < Φ F ( f ). Ce cas est doc à exclure car Φ E F (g) Φ E F (h). Cela prouve doc l ijectivité. Motros que cette applicatio est surjective. Soit k [[1,Card E + Card F]]. Si k Card E alors par surjectivité de Φ E il existe e E tel que Φ E (e) = k. De même si Card E < k alors il existe f F tel que Φ F ( f ) + Card E = k. Ceci motre la surjectivité. Propositio (Cardial d ue réuio quelcoque). Soit E et F deux esembles fiis. La réuio E F est fiie et so cardial vérifie Card E F = Card E + Card F Card E F. Démostratio. Par la propositio précédete o obtiet les égalités grâce aux décompositios Par la décompositio et l usage de la propositio précédete o a Card E = Card (E \ E F) + Card E F, Card F = Card (F \ E F) + Card E F, E = E \ (E F) (E F) et F = F \ (E F) (E F). E F = (E \ (E F)) (F \ (E F)) (E F), Card E F = (Card E Card E F) + (Card F Card E F) + Card E F = Card E + Card F Card E F. Plus gééralemet : Propositio (Formule du crible). Soit E u esemble fii, I l esemble {1,...,} et (A i ) i I ue famille de parties de E. Le cardial de l uio se décompose alors comme suit : ( ) ( Card A i = ( 1) i+1 Card A j ). i I J I,Card (J)=i j J 4

5 Exemple Soit A, B et C trois parties de E o a alors Card (A B C) = Card (A) + Card (B) + Card (C) Card (A B) Card (A C) Card (B C) + Card (A B C). Démostratio. O fait la preuve par récurece sur. Das le cas = 2, ous avos déjà démotré la formule du crible. Supposos le résultat vrai pour parties et motros le pour + 1 parties A 0,...,A de E. Cosidéros les deux parties A 0 et A i ous obteos ( ) ( ) ( Card A 0 A i = Card A 0 + Card A i Card A 0 Remarquos que A 0 A i = (A 0 A i ). E appliquat l hypothèse de récurrece, e otat I = {1,...,} ous obteos ( ) ( ) Card A 0 A i = Card A 0 + ( 1) i+1 Card A j ( 1) i+1 J I,Card (J)=i j J A i ). J I,Card (J)=i Card ( A 0 A j ), j J c est à dire Card ( A 0 ) +1 A i = ( ( 1) i+1 Card A j ). J {0} I,Card (J)=i j J Propositio (Cardial d u produit). Si E et F sot deux esembles fiis alors E F est fii et Card E F = Card E.Card F. Démostratio. Ituitivemet o peut cosidérer l esemble E F comme u tableau ayat Card E liges et Card F coloes. O costate doc que le ombre d élémets de E F est le produit des cardiaux. Numérotat les élémets du tableau de gauche à droite et de haut e bas, la lecture du tableau fourit alors ue bijectio explicite : Φ E F : E F [[1,Card E.Card F]] (e, f ) (Φ E (e) 1)Card F + Φ F ( f ). où Φ E : E [[1,Card E]] et Φ F : F [[1,Card F[] sot des bijectios. Propositio (Cardial esembles des applicatios). Si E et F sot deux esembles fiis alors l esemble des applicatios de E das F, oté F E, est fii et Card (F E ) = (Card F) Card E. Démostratio. Soit E u esemble fii. O fixe ue bijectio de E sur [[1,]] avec Card E =. Cette bijectio fixée o peut supposer E = [[1,]]. Ue applicatio ψ : E F est la doée d u Card E-uplets d élémets de F. De même se doer u Card E-uplets ( f 1,..., f Card E ) d élémets de F iduit l applicatio ψ : E F k f k. Par coséquet l esemble des applicatios de E das F est e bijectio avec le produit F Card E. La formule se déduit par la propositio précédete. 5

6 Exemple Calculer le ombre de répartitios de objets tous différets das p boîtes. Cela reviet à calculer le ombre d applicatios etre l esemble O des objets et l esemble B des boîtes. Il y a doc CardB CardO = p répartitios possibles. Propositio Soit E u esemble à élémets, l esemble des parties de E, oté P (E) a pour cardial Card (P (E)) = 2. Démostratio. Ue partie F de E est caractérisée par sa foctio idicatrice : χ F : E { {0,1} 0 si x / F x 1 si x F. Réciproquemet toute foctio Φ : E {0, 1} est l idicatrice de l esemble {x E Φ(x) = 1}. Par coséquet l esemble des parties de E est e bijectio avec l esemble des foctios de E vers {0, 1}. L assertio sur les cardiaux suit doc de la propositio précédete Arragemets, permutatios et combiaisos Notatio Pour tout etier, o ote avec pour covetio 0! = 1.! = k=1 k, Défiitio (Arragemets). Soit E et F deux esembles fiis. O appelle arragemet de E das F toute ijectio de E das F. Remarque Ue ijectio de [[1, p]] das F est u arragemet de p élémets de F. C est ue p-liste d élémets de F disticts deux à deux. O utilise les arragemets das tous les problèmes de choix successifs de p élémets parmis sas répétitio. Propositio Le ombre d arragemets d u esemble à p élémets E das u esemble à élémets F, avec p, est égal à A p p 1 = ( k) = ( 1)...( p + 2)( p + 1) =! ( p)!. Démostratio. Ituitivemet, quitte à travailler modulo ue bijectio o peut supposer E = [[1, p]]. O costruit ue ijectio de E das F, e choisissat l image de 1 parmis élémets, puis l image de 2 parmis 1 choix etc... o e déduit la formule. Rigoureusemet, la preuve se fait par récurrece sur p. Naturellemet p est iférieur ou égal à, sio l esemble des ijectios de E das F est vide. Si p = 1 il y a alors applicatios qui sot toutes ijectives. Supposos le résultat acquis pour p. Motros le résultat pour p + 1. Ue ijectio est costruite e assigat à l élémet p + 1 l u des -élémets de F. Notos cet élémet f. Il reste alors à costruire ue ijectio de [[1, p]] das F \ { f }. Par hypothèse de récurrece il y a A p 1 choix. O e déduit doc que l esemble des ijectios de E vers F est A p 1 soit Ap. O cocut par le théorème de récurrece. Exemple Combie y a t il de tiercés das l ordre pour dix chevaux au départ? Ce tiercé est u exemple d arragemet à trois élémets das u esemble à dix élémets. Il y a 10 choix pour le premier, 9 pour le secod et 8 pour le troisième. Ceci doe A 3 10 = 720 tiercés. Défiitio (Permutatio). O appelle permutatio d u esemble E, toute bijectio de E sur lui même. 6

7 Propositio Le ombre de permutatios d u esemble à élémets est égal à!. Démostratio. Ue bijectio de E das E est équivalete, par égalité des cardiaux, à la doée d ue ijectio. L assertio suit doc de la propositio sur le ombre d ijectios d u esemble das u autre. Défiitio (Combiaiso). O appelle combiaiso à p élémets d u esemble fii E toute partie à p élémets de l esemble E. Remarque A ue combiaiso doée correspod p! arragemets obteus e permutat les p élémets. O obtiet doc la propositio Propositio Le ombre de combiaisos de p élémets das élémets est égal à C p = Quelques propriétés 1. C p = C p 2. C p = C p 1 1 +Cp 1 (formule du triagle de Pascal) 3. C p = p Cp 1 1 ( 1)... ( p + 2) ( p + 1) p! =! p!( p)! Démostratio. La formule sur le ombre de combiaisos découle de la remarque la première et la troisième assertio. Pour prouver la deuxième o peut raisoer de maière esembliste : fixos u élémet de E et otos le e 0. Il y a alors deux types de parties à p élémets : celles qui e cotieet pas e 0 au ombre de C p 1 et celles qui cotieet e 0 au ombre de C p 1 1, d où la formule. Propositio (Biôme de Newto). Soit a et b deux ombres réels ou complexes et u etier. O a (a + b) = C k a k b k. Démostratio. Ituitivemet, lorsque l o développe le produit (a + b), les termes apparaissat sot de la forme a k b k. Le ombre de termes a k b k correspod au ombre de choix de k a parmis, il y e a doc C k, d où la formule. De maière plus rigoureuse o effectue ue récurece sur. 1. Si = 0, alors (a + b) 0 = 1 = C 0 0 a0 b Si = 1 alors a + b = C 0 1 a0 b +C 1 1 ab0. 3. Supposos la formule vraie pour u etier et prouvos là pour l etier + 1. O écrit alors O applique l hypothèse de récurrece : (a + b) +1 = (a + b) (a + b) +1 = (a + b)(a + b). C k a k b k = C k a k+1 b k + C k a k b +1 k O réidice das la première somme l := k + 1 et o reomme l := k das la deuxième. Par coséquet o obtiet (a + b) = l=1 C l a l b +1 l + l=0 C l a l b +1 l. E isolat le derier terme de la première somme et le premier terme de la deuxième sommme, c est à dire les idices des termes qui e sot pas commus aux deux sommes, puis e regroupat les sommes o obtiet (a + b) +1 = C a +1 +C 0 b l=1 ( C l 1 +C l ) a l b +1 l.

8 E utilisat la formule du triagle de Pascal et les formules usuelles C l 1 +C l = C l +1, C 0 = C +1 = 0 et C = C = 0, o obtiet l écriture cherchée 4. O cocut par le théorème de récurrece. (a + b) = l=0 C l a l b +1 l. Remarque Par applicatio de la formule du biôme de Newto o retrouve que le ombre de parties d u esemble à élémets est 2 : 1.4 Objectifs pédagogiques CardP([[1,]]) = C k = (1 + 1). 1. Opératios esemblistes de base. Comportemet de ces opératios sous l image iverse et l image directe. 2. Déombrabilité 3. Pricipe des tiroirs. 4. Raisoemet combiatoire à l aide de partitios, à l aide de la formule du crible. 5. Raisoemet par récurrece. 8

Chapitre 1. Dénombrement

Chapitre 1. Dénombrement Chapitre Déombremet Itroductio Lorsque l o compte les objets d ue collectio, o attribue à la collectio so cardial, c est à dire le ombre d objets qu elle cotiet. Par exemple u Picasso, u Rembrat et u Degas

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33

Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Nombres complexes Polynômes... 33 Sommaire Chapitre. Notios de base.................... 7 A. Démostratio par récurrece..................... 8 B. Esembles............................. 9 C. Applicatios............................ 2 D. Calcul

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement DOMAINE : Combiatoire AUTEUR : Atoie TAVENEAUX NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Grésillo 0 CONTENU : Exercices Exercices de déombremet Exercice Combie y a-t-il de sous-esembles d u esemble de cardial? Exercice

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples 2 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Les otios de base sur les groupes sot supposées coues. E particulier, les esembles et groupes quotiets sot supposés cous. Pour des rappels, o pourra cosulter

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Déombremets Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice IT * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

est une famille de parties de [1,+ [, indexée par N. n n N A i i I / x A i A i : A i i I, x A i = {1}. n

est une famille de parties de [1,+ [, indexée par N. n n N A i i I / x A i A i : A i i I, x A i = {1}. n 22 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Exemple : ([ 1,1+ 1 ]) est ue famille de parties de [1,+ [, idexée par N. N Ò Ø ÓÒ ½º¾ Si (A i ) est ue famille de parties de E, o défiit l uio des A i pour

Plus en détail

1) Définition et premières propriétés.

1) Définition et premières propriétés. Exposé 14 : Nombres décimaux. Applicatios. Pré requis : - Propriétés de N, Z,Q, R - Partie etière : E[x] - Théorème de covergece sur les suites adjacetes. Séries covergetes - O rappelle l'existece et l'uicité

Plus en détail

Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires:

Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires: Le raisoemet combiatoire Eocés Exercice. Das cet exercice, o evisage des codages biaires (successios de et de ). Pour tout N *, o ote U le ombre de codages biaires à chiffres se termiat par et e comportat

Plus en détail

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à

Plus en détail

Dimension finie. 1. Famille libre Combinaison linéaire (rappel) 1.2. Définition

Dimension finie. 1. Famille libre Combinaison linéaire (rappel) 1.2. Définition Dimesio fiie Vidéo partie. Famille libre Vidéo partie 2. Famille géératrice Vidéo partie 3. Base Vidéo partie 4. Dimesio d'u espace vectoriel Vidéo partie 5. Dimesio des sous-espaces vectoriels Fiche d'exercices

Plus en détail

LEÇON N 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications.

LEÇON N 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications. LEÇON N : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biôme Alicatios Pré-requis : Cardial d u esemble fii, arragemets ; Raisoemet ar récurrece 1 Défiitios et roriétés Défiitio 1 : Soit

Plus en détail

Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications.

Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications. Leço 3 : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biome. Alicatios. Prérequis : Nombres de listes, arragemets. Pricies de la somme et de la multilicatio. Cadre : O cosidèrera das la

Plus en détail

CH V : Variables aléatoires - généralités

CH V : Variables aléatoires - généralités CH V : Variables aléatoires - gééralités I. Notio de variable aléatoire réelle Soit (Ω, A ) u espace probabilisable. O dit que X est ue variable aléatoire réelle défiie sur (Ω, A ) si : (i) X est ue applicatio

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

Chapitre 2 : Raisonnement par récurrence, manipulation de sommes.

Chapitre 2 : Raisonnement par récurrence, manipulation de sommes. ECS1B Carot Chapitre 013/014 Chapitre : Raisoemet par récurrece, maipulatio de sommes Objectifs : Écrire propremet u raisoemet par récurrece (simple, double Maipuler les symboles Σ et sas erreur ceci viedra

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition :

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition : Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Déombremet. Pricie O raelle que le cardial d u esemble fii E, oté Card(E), rerésete so ombre d élémets. Si E 0,0 alors Card(E). Notre but est de détermier

Plus en détail

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière Exercices - Les ombres réels : corrigé Exercice 1 - Ordre et R - L1/Math Sup - 1. Supposos que a 0 et posos ε = a /2 > 0. Alors o a a < ε = a /2, soit e simplifiat par a qui est positif, 1 < 1/2. Ceci

Plus en détail

- diagramme de Caroll. Exemple 1 : On lance 2 dés. 2 e dé 1 er dé

- diagramme de Caroll. Exemple 1 : On lance 2 dés. 2 e dé 1 er dé TS Le déombremet est l art de compter (Il y e a souvet aux cocours) (cardial d u esemble fii : ombre de ses élémets Exemple : si E est u esemble fii à élémets, o dit que le cardial de E est égal à et o

Plus en détail

Dénombrement - Analyse combinatoire

Dénombrement - Analyse combinatoire S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire Uiversité de Picardie Jules Vere 2011-2012 UFR des Scieces Licece metio Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES SPACS VCTORILS APPLICATIONS LINAIRS xercices Les exercices précédés de ce symbole e serot pas traités e classe (U corrigé sera mis sur le site) XRCIC : O ote M3 l espace vectoriel des matrices carrées

Plus en détail

I - ENSEMBLES FINIS ET CARDINAL

I - ENSEMBLES FINIS ET CARDINAL Séciales PSI LYCÉE BUFFON COURS Probabilités 1 Déombremet I - ENSEMBLES FINIS ET CARDINAL 1 DÉFINITION DÉFINITION 1 U esemble E o vide est dit fii s il existe u etier aturel o ul et ue bijectio de 1, sur

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Limite d'une suite. soit n > 9

Limite d'une suite. soit n > 9 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u

Plus en détail

Composition de Mathématiques D (U)

Composition de Mathématiques D (U) École Normale Supérieure Cocours d admissio 205 Filière MP Compositio de Mathématiques D (U) (Durée : 6 heures) L utilisatio des calculatrices est iterdite Sujet saisi par Michel Quercia (michel.quercia@prepas.org)

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

LEÇON N 2 : Dénombrement.

LEÇON N 2 : Dénombrement. LEÇON N : Déombremet Pré-requis : Vocabulaire esembliste ; Raisoemet ar récurrece ; Défiitio : U esemble E est dit fii et de cardial, soit s il est vide et alors 0, soit si N et s il existe ue bijectio

Plus en détail

Chapitre A1 - Nombres - récurrences - Sommes. Table des matières

Chapitre A1 - Nombres - récurrences - Sommes. Table des matières Chapitre A1 - Nombres - récurreces - Sommes Table des matières 1 Esembles de ombres 2 1.1 Déitios................................................... 2 1.2 Itervalles d'etiers..............................................

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques

Plus en détail

Correction concours général maths 2015

Correction concours général maths 2015 Correctio cocours gééral maths 2015 Problème I Petits poids 1) a) 3 = 3, 3 + 5 = 8, 3 + 5 6 = 2, 3 + 5 6 8 = 6, 3 + 5 6 8 + 2 = 4 doc poids(3,5, 6, 8,2) = 8 b) poids(1,2,3,,2015, 2015, 2014,.., 1) = 1

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Suite des polynômes de Tchebychev. (Exercice N 127 page 87) Corrigé

Suite des polynômes de Tchebychev. (Exercice N 127 page 87) Corrigé Suite des polyômes de Tchebychev (Exercice 7 page 87) a E utilisat la relatio de récurrece avec =, o obtiet : Puis, pour = : Efi, pour = 4 : O a bie : f x x f x f x x x x = = = f x = x f x f x = x x x=

Plus en détail

Cours Dénombrement Analyse combinatoire 1 / 11 A Chevalley

Cours Dénombrement Analyse combinatoire 1 / 11 A Chevalley 2016 Déombremet, aalyse combiatoire leth Chevalley 1. Rael sur les esembles : 1.1. Défiitio Soiet E, des esembles x sigifie «x est u élémet de» ou «x aartiet à». O désige ar l esemble vide qui a aucu élémet.

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD

Chapitre 1. Arithmétique. Partie 5 : PGCD Chapitre 1 Arithmétique Partie 5 : PGCD Propriété/Défiitio : (PGCD) O se doe deux etiers relatifs a et b o uls. L esemble des diviseurs positifs commus à a et b admet u plus grad élémet que l o PGCD a

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A

Plus en détail

Etude d une limite de suite

Etude d une limite de suite Etude d ue ite de suite I) Limites de suite usuelle ) Suites de référece de ites fiies + + + = 0 = 0 2 = 0 et plus gééralemet o a : + p = 0 avec p N 2) Suites de référece de ites ifiies = + + = + + + 2

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

Suites réelles ou complexes

Suites réelles ou complexes 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels

Plus en détail

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible.

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible. Uiversité de Geève Sectio de Mathématiques Algèbre I Corrigé 2 Série 7, ex 3 Toutes les affirmatios sot vraies sauf la derière E effet, pour que deux espaces soiet e somme directe, il faut que leur itersectio

Plus en détail

Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications.

Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications. DOCUMENT 14 Racies -ièmes d u ombre complexe. Racies de l uité. Applicatios. Das u documet précédet, o a itroduit le corps des ombres complexes afi que tout ombre réel ait ue racie carrée. O va voir ici

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Raisonnements mathématiques

Raisonnements mathématiques Chapitre 1 Raisoemets mathématiques Le mathématicie italie Giuseppe Peao était très soucieux d exposer les mathématiques das u cadre précis et rigoureux Das so Formulaire mathématique publié e 1895, il

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Raisonnements Mathématiques

Raisonnements Mathématiques Chapitre 1 Raisoemets Mathématiques Le mathématicie italie Giuseppe Peao était très soucieux d exposer les mathématiques das u cadre précis et rigoureux. Das so Formulaire mathématique publié e 1895, il

Plus en détail

Exo7. Théorème de Carathéodory, calcul d aire et de volume. 1 Théorème de Carathéodory. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure

Exo7. Théorème de Carathéodory, calcul d aire et de volume. 1 Théorème de Carathéodory. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure Exercices : Barbara Tumpach Relecture : Fraçois Lescure Exo7 Théorème de Carathéodory, calcul d aire et de volume 1 Théorème de Carathéodory Exercice 1 Le but de cet exercice est de prouver le Théorème

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Équirépartition presque sûre pour f (x) = 2x modulo 1 Jean-Baptiste Bardet 26 mai 2005

Équirépartition presque sûre pour f (x) = 2x modulo 1 Jean-Baptiste Bardet 26 mai 2005 Équirépartitio presque sûre pour f (x) = x modulo 1 Jea-Baptiste Bardet 6 mai 005 O étudie le comportemet des suites défiies par récurrece x = f (x 1 ) = f (x), où x 0 = x [0;1) et f (x) = x mod 1, et

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio)

Plus en détail

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Nous allos voir commet : 1) Cojecturer le comportemet d ue suite ) Raisoer par récurrece 3) Utiliser les suites arithmétiques et géométriques 4) Étudier le comportemet

Plus en détail

Exo7. Fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure

Exo7. Fonctions mesurables, intégrale de Lebesgue. Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure Exercices : Barbara Tumpach Relecture : Fraçois Lescure Exo7 Foctios mesurables, itégrale de Lebesgue Exercice Motrer les égalités esemblistes suivates : [a,b] ]a,b + [ et ]a,b[ [a +,b ] [5933] Exercice

Plus en détail

Corrigé du Devoir Libre n 2

Corrigé du Devoir Libre n 2 Corrigé du Devoir Libre Exercice 1 : Aagrammes 1. Combie les mots suivats ossèdet-ils d aagramme : a. BRETON U aagramme du mot BRETON est u réarragemet des lettres qui comoset ce mot. Par exemle NORBET

Plus en détail

ESD 20163c_04 : Différents types de raisonnement

ESD 20163c_04 : Différents types de raisonnement ESD 2013c_04 : Différets types de raisoemet 1. Le sujet A. L exercice proposé au cadidat O cosidère la suite défiie pour tout apparteat à N par : u = 4u 3 avec u + 1 + 1. Dire si les affirmatios suivates

Plus en détail

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C :

Partie A : z x. z =( z ) = 4 = - 4 donc z est aussi solution de (E) Partie C : Corrigé baccalauréat S Polyésie 200 (raiateabac.blogspot.com) EXERCICE (5 poits) Pré-requis : z a + bi et _ z a bi Partie A : a ) E posat z a + bi et z a + b i o obtiet : z x z (a + bi) ( a + b i) aa bb

Plus en détail

COURS MPSI A.1.II.SOMMES, RECURRENCE, BINÔME R. FERRÉOL 13/14

COURS MPSI A.1.II.SOMMES, RECURRENCE, BINÔME R. FERRÉOL 13/14 II) Sommes, récurreces, formule du biôme. )NOTATIONS ET a) Notatios : u u m +u m+ + +u m u u m u m+ u m est ici ue variable muette, c est-à-dire qu o peut chager so om das l expressio, sas modifier la

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions. Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois

Plus en détail

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires Problème 1 : costructio de triagles Das u pla affie euclidie orieté, o cosidère deux poits disticts B et C et u poit M apparteat pas à la droite BC). Pour chacue des assertios suivates, détermier s il

Plus en détail

CH5 Algèbre : Suites numériques

CH5 Algèbre : Suites numériques ème Scieces CH5 Algèbre : Suites umériques Décembre 9 A LAATAOUI I Présetatio des suites umériques : Défiitio d ue suite : Ue suite (u ) est ue foctio défiie sur l'esemble N qui à tout etier aturel associe

Plus en détail

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon.

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon. Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Note sur le comportement en l infini d une fonction intégrable

Note sur le comportement en l infini d une fonction intégrable Note sur le comportemet e l ifii d ue foctio itégrable Emmauel Lesige To cite this versio: Emmauel Lesige. Note sur le comportemet e l ifii d ue foctio itégrable. 2008. HAL Id: hal-00276738

Plus en détail

Licence 1 Mathématiques

Licence 1 Mathématiques Licece Mathématiques 204 205 Algèbre et Arithmétique Feuille o 3 : combiatoire. Exercices à savoir faire.. Réuio, itersectio, artitio. Exercice Au mois de javier, Aatole a ris ses reas de midi au Restau

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

Notions fondamentales pour la théorie des graphes

Notions fondamentales pour la théorie des graphes M314 - Graphes et algèbre - Notios fodametales pour la théorie des graphes 1 Notios fodametales pour la théorie des graphes des questios, commetaires, coquilles? adressez-vous à: atoie.gouray@math.u-psud.fr

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante :

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante : Eocés et correctios : Sadra Delauay Exo7 Sujets de l aée 24-25 1 Devoir à la maiso Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivate : 1 Détermier les valeurs propres de M 2 Motrer que M est diagoalisable

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Introduction au calcul matriciel

Synthèse de cours PanaMaths Introduction au calcul matriciel Sythèse de cours PaaMaths Itroductio au calcul matriciel Défiitios Notio de matrice O appelle «matrice de dimesio p» ou «de type (, p )» u tableau de ombres réels comportat liges et p coloes ( et p sot

Plus en détail

Principe de récurrence

Principe de récurrence Pricipe de récurrece Remarues sur les formules sommatoires établies par récurrece à u terme. Le pricipe est toujours le même. O désire motrer u ue somme S u 0 + u +.. + u est égale à la valeur f () d ue

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui Dénombrement " Hajeb Laayoun "

Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui Dénombrement  Hajeb Laayoun Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secodaire Ali Zouaoui Déombremet " Hajeb Laayou " I / -ulet : Défiitio : Soit E u esemble o vide et * ;O aelle -ulet d élémet de E toute écriture de la forme : a a a

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail

Comportement asymptotique

Comportement asymptotique Comportemet asymptotique NB: Les phrases écrites etre guillemets e italique sot écessaires à la compréhesio de la otio de ite, mais sot peu utilisées das la pratique où l o fait plutôt appel au propriétés

Plus en détail

Séries entières. Plan de cours

Séries entières. Plan de cours 5 Séries etières «U mathématicie qui est pas aussi quelque peu poète e sera jamais u mathématicie complet.» Extrait d ue lettre de Karl Weierstrass à Sophie Kowalevski (883) Pla de cours I Rayo de covergece

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Équirépartition d une suite de nombres

Équirépartition d une suite de nombres Équirépartitio d ue suite de ombres Thomas Chomette Farouk Boucekkie http://dma.es.fr/culturemath Observez doc le premier chiffre des 2 pour 3 :, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 256, 52, 24, 2 48, 4 96, 8 92, 6 384,

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Estimation paramétrique

Estimation paramétrique Retour au pla du cours Soit Ω, A, P u espace probabilisé et X ue v.a. de Ω, A das E, E. La doée d u modèle statistique c est la doée d ue famille de probabilités sur E, E, {P θ, θ Θ}. Le modèle état doé,

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques CHAPITRE 2 : Estimatio o-paramétrique 1. Estimateurs empiriques Soit u échatillo i.i.d. de durées T i i1,..., de foctio de survie S Défiitio: L estimateur empirique de la foctio de survie est S x 1 i1

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Fiche 8 : Fonctions II. Limites

Fiche 8 : Fonctions II. Limites Uiversité Paris-Est Val-de-Mare Créteil DAEU-B Fiche 8 : Foctios II. Limites Das la fiche 7 "Foctios I", o a vu la défiitio d ue foctio et différetes otios afféretes. E particulier, o a travaillé sur le

Plus en détail

Ensembles et nombres réels

Ensembles et nombres réels Pierre-Louis CAYREL 008-009 Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Esembles Exercice O pose A = {(x, y) R ; y > x } et B = {(x, y) R ; y < x } Représeter

Plus en détail