Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente"

Transcription

1 f est la fonction définie sur D = ]- ;3[ ]3 ;+ [ par f(x) = x x. 1) a) Etudier les variations de f sur D, ses limites aux bornes de D puis construire sa représentation graphique C f dans un repère orthonormal (O; i ; j ). b) Démontrer que la droite d d équation y = x est tangente à C f en un point A dont on déterminera les coordonnées. c) Tracer cette droite d dans le même repère que C f. 2) On note (u n ) la suite définie par la donnée d un réel u 0 de D et la relation de récurrence : Pour tout n, u n+1 =f(u n ). Quelle est la nature de la suite lorsque u 0 = 1? Le but du problème est d étudier le sens de variation et la convergence de la suite suivant le choix de u 0. 3) On suppose dans cette question que u 0 < 1. a) Utiliser les représentations graphiques du 1) pour conjecturer la monotonie et la convergence éventuelles de la suite (u n ). b) Utiliser l étude des variations de f faite au 1 pour justifier la proposition suivante : «si u n < 1 alors u n+1 < 1». Si un terme de la suite appartient à l intervalle ]- ;1[, que peut-on dire de tous les termes qui le suivent? (On admettra ce résultat et ainsi l existence de u n quel que soit n.) c) Démontrer que, pour tout entier n, u n+1 u n = (u n 1)² et en déduire que (u n ) est strictement croissante. 1 d) On pose, pour tout entier n, v n = u n - 1. Calculer v n+1 v n pour prouver que v n est une suite arithmétique, préciser son premier terme et sa raison. e) Exprimer v n en fonction de n. Quelle est la limite de (v n ) lorsque n tend vers +? En déduire la limite de (u n ) lorsque n tend vers +. 1

2 4) On suppose, dans cette question que u 0 > 3. a) Utiliser les représentations graphiques du 1 pour conjecturer la monotonie et la convergence éventuelles de la suite (u n ). b) Démontrer que u 1 < 1, et utiliser les résultats de la question 3 pour préciser les monotonies et convergences éventuelles de la suite (u n ) à partir du rang 1. 5) On se situe dans l intervalle I = ]1 ;3[. a) On pose u 0 = 5. Utiliser les représentations graphiques du 1 pour conjecturer la monotonie et la 2 convergence éventuelles de la suite (u n ). b) Quand x parcourt I, quel est l ensemble des valeurs prises par f(x)? c) Déterminer a, solution dans I, de l équation f(x) = 3, puis b, solution dan I, de l équation f(x) = a. Que se passe t-il si l on choisit u 0 = a ou u 0 = b? d) On pose, pour tout entier n 1, w n = n + 2 n. Calculer les cinq premiers termes de la suite (w n ) puis démontrer que, quel que soit n > 1, w n appartient à I. (On pourra remarquer que w n = n ). Vérifier que, pour tout n 1, f(w n+1 ) = w n. Expliquer pourquoi, pour tout n > 1, si l on choisit u 0 = w n, la suite (u n ) n est pas définie à partir d un certain rang à préciser. 2

3 CORRECTION 1) a) f(x) = u(x) avec u(x) = x + 1 et v(x) = 3 x v(x) u (x)v(x) u(x)v (x) f (x) = (v(x))² u (x) = 1 et v (x) = -1 f (x) = 3 x + x + 1 (3 x)² f (x) > 0 sur D. 4 = (3 x)² x lim f(x) = lim x - x - -x = -1 lim f(x) = lim x + x + lim f(x) = + x 3 lim f(x) = - x 3+ x -x = -1 Tableau de variations de f : x f' f(x)

4 b) Une équation de la tangente à f en un point d abscisse a est : y = f (a)(x a) + f(a) 4 a + 1 Soit y = (x a) + (3 a)² 3 -a La droite d équation y = x a pour coefficient directeur égal à 1. 4 On doit donc avoir (3 a)².= 1 Soit : 4 = (3 a)² Soit 3 a = 2 ou 3 a = -2 Soit a = 1 ou a = 5 Pour a = 1, une équation de la tangente en 1 est : y = (x 1) Soit y = x Pour a = 5, une équation de la tangente en 5 est : y = (x 5) Soit y = x 2 Conclusion : la droite d équation y = x est tangente en 1 à la courbe C f. c) 4

5 2) u 1 = u u 0 = 2 2 = 1 Montrons par récurrence que pour tout n u n = 1 C est vrai pour n = 0. Supposons que u n = 1. u n+1 = f(u n ) = u n + 1 = 2 2 = 1 Donc d après le principe de récurrence, on a bien u n = 1 pour tout entier n. La suite (u n ) est stationnaire si u 0 = 1. 3) a) La fonction f étant croissante sur ]- ;3[, il semble que la suite (u n ) est croissante et converge vers 0 pour u 0 < 1 Exemple avec u 0 = -5 5

6 b) La fonction f étant croissante sur ]- ;3[, on a si u n < 1 alors f(u n ) < f(1) Soit u n+1 < 1 Si un terme de la suite appartient à l intervalle ]- ;1[, tous les termes qui le suivent appartiennent aussi à l intervalle ]- ;1[. c) u n+1 u n = u n + 1 u n = u n + 1 u n ( ) = u n² - 2u n + 1 = (u n 1)² u n+1 u n est du signe de. Or u n < 1 donc > 0 On a donc : u n+1 u n > 0 Soit u n+1 > u n La suite (u n ) est donc strictement croissante. 1 d) v n+1 v n = u n u n - 1 = u n + 1 u n - 1 = 1 - u n u n u n v n+1 v n = 2u n 2-1 u n - 1 = 2 2(u n 1) = Donc (v n ) est la suite arithmétique de raison et de premier terme v 1 0 = u 0-1. e) v n = v n lim v n = - n + u n = v n 4) a) On en déduit que : lim u n = 1 n + 6

7 Il semble que la suite (u n ) est croissante à partir d un certain rang et qu elle converge vers 1. b) D après le tableau de variations de f, on a si x > 3 alors f(x) < 1 Donc si u 0 > 3 alors f(u 0 ) = u 1 < 1. D après la question 3b) on déduit que u n < 1 pour tout n > 0 D après la question 3c), on déduit que (u n ) est croissante à partir du rang 1. D après la question 3d), on déduit que la limite de (u n ) est 1. 5) a) Il semble que la suite (u n ) est croissante à partir d un certain rang et qu elle converge vers 1. b) D après le tableau de variations de f, quand x parcourt I, f(x) parcourt l intervalle ]f(1) ;+ [ soit ]1 ;+ [. c) f(x) = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 9 3x 4x = 8 x = 2 3 x a = 2 f(x) = 2 x x = 2 x + 1 = 6 2x 3x = 5 x = 5 3 Si u 0 = 2, alors u 1 = 3 et u 2 n est pas défini. Si u 0 = 5 3, alors u 1 = 2 et u 2 = 3 et u 3 n est pas défini. 7

8 d) w 1 = 3 w 2 = 4 2 = 2 w 3 = 5 3 w 4 = 6 4 = 3 2 w 5 = 7 5 w n = n pour n > 1, 2 n < 2 et n < 3 2 n > 0 donc w n > 1 On a donc bien w n appartient à I pour n > 1. n+3 f(w n+1 ) = f( n+3 n+1 ) = n n+3 = 2n + 4 2n = n + 2 n = w n n+1 Si u 0 = w n, alors u 1 = f(w n ) = w n-1 et par suite u 2 = w n-2 On aura ainsi u n-1 = w 1 = 3 et u n ne sera pas défini. 8

1S DS n o 5 Durée :1h. ( 4 points ) Exercice 1

1S DS n o 5 Durée :1h. ( 4 points ) Exercice 1 1S DS n o 5 Durée :1 Exercice 1 ( points ) Voici la courbe représentative C f d une fonction f définie sur [ 6; 9] avec quatre de ses tangentes. Le point A de coordonnées ( 2, ; 0), appartient à la courbe

Plus en détail

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par EXERCICE (6 points ) Commun à tous les candidats Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par f(x) x + x + ) Etudier les variations

Plus en détail

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ).

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ). Exercice 75 p 55 exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales

Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales Terminale S Problème de synthèse n n est un entier naturel, n. On note f n la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f n (x) = (ln x)n et C x² n.sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ;

Plus en détail

Etude de limites de suites définies par

Etude de limites de suites définies par Etude de limites de suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) I) Généralités 1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence,

Plus en détail

Limites de suites. Révisions

Limites de suites. Révisions Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2

Plus en détail

Convergence des suites monotones

Convergence des suites monotones Convergence des suites monotones Suites majorée, minorée, bornée Définition Une suite (u # ) est majorée par un nombre réel M si pour tout n N, u # M Une suite (u # ) est minorée par un nombre réel m si

Plus en détail

Exercices et Annales Maths Terminale S

Exercices et Annales Maths Terminale S Stages intensifs Exercices et Annales Maths Terminale S www.groupe-reussite.fr contact@groupe-reussite.fr 1 Chapitre 1 Fonction exponentielle, logarithme népérien et logarithme décimal 1.1 Exercices préliminaires

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire

Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire Terminale S Problème de synthèse n f est la fonction définie sur par f() = orthonormal (O; i ; j )(unité graphique : 2 cm). A. Etude de la fonction f + - et C sa courbe représentative dans un repère ²

Plus en détail

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2 TS Suites récurrentes Exercices Exercice. Soit u la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier n, + = 4un +.. Démontrer que pour tout entier n, >.. On définit la suite v pour n N par v n = un. Montrer

Plus en détail

Suites et récurrence

Suites et récurrence Suites et récurrence 1 Suites arithmétiques et géométriques 1.1 Définitions * On dit que la suite (u n ) est arithmétique s il existe un réel r appelé raison tel que, pour tout n dans N, on ait : u n+1

Plus en détail

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m 1 TS Rappels sur les suites Cours I. Définitions Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m L image u(n) de l entier n est notée

Plus en détail

Raisonnement par récurrence 2

Raisonnement par récurrence 2 1 sur 9 25/10/2015 09:38 Raisonnement par récurrence 2 DATE DE CRÉATION DE L'ARTICLE :16 NOVEMBRE 2010 DATE DE RÉDACTION ANTÉRIEURE : N.C. LANGUE DE L'ARTICLE (français) Cet article est une traduction

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de

Plus en détail

Classe de TS2 24 novembre 2011

Classe de TS2 24 novembre 2011 Classe de TS 4 novembre 011 Devoir surveillé n 3 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L utilisation

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

Chapitre 5 : Dérivation

Chapitre 5 : Dérivation Chapitre 5 : Dérivation Newton fut, avec Leibniz l un des deux inventeurs du calcul infinitésimal. La dérivation est un calcul que l on fait sur une fonction et qui permet d obtenir son tableau de variation.

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL OBLIGATOIRE. Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Semaine du 4 mars 2013 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à 6 OBLIGATOIRE L emploi des

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

x = x Dans la suite de l exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution.

x = x Dans la suite de l exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution. EXERCICE 1 Soit f une fonction définie sur l intervalle [ ; 1], continue et positive sur cet intervalle, et a une réel tel que < a < 1. On note : C la courbe représentative de la fonction f dans un repère

Plus en détail

Etude de Fonctions. ] ; (x)=. 2/ a/ étudier les variations de f. b/ en déduire que f admet une fonction réciproque g définie sur IR +.

Etude de Fonctions. ] ; (x)=. 2/ a/ étudier les variations de f. b/ en déduire que f admet une fonction réciproque g définie sur IR +. Eercice : A/ On considère l application f définie sur ]0,4[ par f ( 4 ) ; 4 ² on désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé(o,, j ) /a) étudier les variations de f b) montrer que f

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

Première S Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction

Première S Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction Exercices Comportements asymptotiques - études de fonction Exercice 1 : Recherche d'asymptote f est la fonction définie sur ]-2;+ [ par : f(x) = -x² + x + 3 x + 2 a) Déterminer trois réels a,b et c tels

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

LEÇON N 56 : 56.1 Monotonie de la suite

LEÇON N 56 : 56.1 Monotonie de la suite LEÇON N 56 : Étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence u n+1 = f(u n ) et une condition initiale. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence.

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. Pré-requis : Suites numériques : monotonie, convergence, divergence ; Théorème des valeurs intermédiaires ; R est complet :

Plus en détail

Lycée la Folie Saint James. Fiche de cours : Généralités sur les suites

Lycée la Folie Saint James. Fiche de cours : Généralités sur les suites Lycée la Folie Saint James T ale S Fiche de cours : Généralités sur les suites Notion de suite. Définitions Une suite numérique réelle est une fonction u définie sur l ensemble N ou sur une partie de N

Plus en détail

TES Devoir n o 6 durée 2h-20 points. ( 7 points ) Exercice 1

TES Devoir n o 6 durée 2h-20 points. ( 7 points ) Exercice 1 TES Devoir n o 6 durée 2h-20 points Exercice 1 ( 7 points ) Le parc informatique d un lycée est composé d ordinateurs dont : 15% sont considérés comme neufs ; 45% sont considérés comme récents ; les autres

Plus en détail

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application

Plus en détail

Exercices sur la fonction exponentielle

Exercices sur la fonction exponentielle Exercices sur la fonction exponentielle Exercice : Simplifier les écritures suivantes : A = (e x ) e x ; B = (ex + e x ) (e x e x ) ; C = e x Exercice : Résoudre les équations et inéquations suivantes.

Plus en détail

Dérivées : Rappels et compléments

Dérivées : Rappels et compléments Dérivées : Rappels et compléments I) Rappels ) Dérivabilité en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative dans un repère ( O;

Plus en détail

1. Nombre dérivé et tangente à une courbe

1. Nombre dérivé et tangente à une courbe Capitre 4 : Dérivation -S, 207-208. Nombre dérivé et tangente à une courbe Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+ sont deux nombres réels de I avec 0... Taux d accroissement Définition.

Plus en détail

EXERCICE 3 (7 points )

EXERCICE 3 (7 points ) EXERCICE 3 (7 points ) Commun à tous les candidats La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l épreuve. PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; +

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Suites récurrentes du type u n+1 = f(u n )

Suites récurrentes du type u n+1 = f(u n ) Suites récurrentes du type u n+ = f(u n ) Exemple : Soit la suite définie par la relation de récurrence : n N u n+ = u n u 2 n. En posant f la fonction définie sur R par x x x 2, on obtient que pour tout

Plus en détail

Propriété : Le taux de variation de f entre a et a + h est égal au coefficient directeur de la droite (AB).

Propriété : Le taux de variation de f entre a et a + h est égal au coefficient directeur de la droite (AB). I Nombre dérivé et tangente Soit f une fonction définie sur un intervalle I, sa représentation grapique dans un repère et A, le point de d abscisse a Taux de variation Le taux de variation de la fonction

Plus en détail

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx.

e x lim f k (x) = (x + 1)e kx. EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le résultat suivant : Démontrer que lim x + xe x =. e x lim x + x = +. Partie B. Restitution

Plus en détail

Classe : TES1 Le 06/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7. Calculatrice et formulaire autorisés

Classe : TES1 Le 06/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7. Calculatrice et formulaire autorisés Classe : TES1 Le 06/05/2003 MATHEMATIQUES Devoir N 7 Calculatrice et formulaire autorisés Durée : 3h Exercice 1: (5 points) Une statistique publiée en l an 1998 donne le nombre d abonnés à Internet dans

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR.

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. I Notion de suite réelle ) Définition : Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. Le réel U(n) est noté U n il est appelé terme général

Plus en détail

Chapitre 5 : Dérivation. Activité préparatoire : p97 du livre. f(x 2 ) 1 f(x 1 )

Chapitre 5 : Dérivation. Activité préparatoire : p97 du livre. f(x 2 ) 1 f(x 1 ) Capitre 5 : Dérivation Taux d accroissement Question : Activité préparatoire : p97 du livre. Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R, et x et x 2 deux réels de I. Le taux d accroissement

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Easy-Maths. Théorème des accroissements finis et suites numériques

Easy-Maths. Théorème des accroissements finis et suites numériques Easy-Maths Njionou Patrick, S pnjionou@yahoofr Lycée de Japoma BP : 7297, Douala, Cameroun Théorème des accroissements finis et suites numériques EXERCICE 1 Soit h la fonction définie sur R par : h(x)

Plus en détail

la fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f (a)

la fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f (a) Lcée JANSON DE SAILLY I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f (x) f (a) Lorsque le rapport admet une limite réelle quand x tend vers

Plus en détail

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1

Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. e x. e x + 1 Fonction exponentielle : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Calculer avec la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes où x est un réel quelconque : a) e1+x

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 9 avril 008 Document diffusé via le site wwwbacamathsnet de Gilles Costantini fredericdemoulin

Plus en détail

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Exemple: RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Montrons par récurrence que pour tout n N *, P (n) : i=n i = 1 + + 3 +...+ ( n -1) + n = n n1 n n1 Initialisation : pour n = 1 i =1 et = 111 =1 donc P(1) est vraie.

Plus en détail

Exercices : Suites réelles

Exercices : Suites réelles Exercices : Suites réelles Exercice : Démontrer par récurrence les résultats suivants : n+. n N, k k = n n+ + n. n N, (k +) = n. Soit a R + fixé, n N, (+a) n +na 4. n, n! n Analyse : Chapitre Exercices

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Le présent sujet devra

Plus en détail

Baccalauréat S Amérique du Sud 16 novembre 2011

Baccalauréat S Amérique du Sud 16 novembre 2011 Durée : 4 heures Baccalauréat S Amérique du Sud 6 novembre 20 Exercice Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : On considère la suite définie pour tout n N par : f x)=3 4 x+. { u0 = 4

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Table des matières de base q. Définition..................................................2 sens de variation............................................. 2.3 relation fonctionnelle et propriétés...................................

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Suites numériques Première. Chapitre 4. Ce cours contient TOUT ce qu il y a à savoir sur les suites en première.

SUITES NUMERIQUES. Suites numériques Première. Chapitre 4. Ce cours contient TOUT ce qu il y a à savoir sur les suites en première. SUITES NUMERIQUES Chapitre 4 Suites numériques Première Ce cours contient TOUT ce qu il y a à savoir sur les suites en première. I. DEFINITION 1. d une suite Une suite est une application mathématique

Plus en détail

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans

DST n 4 - Corrigé. Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans DST n 4 - Corrigé Centre étranger Juin 2007 (6 point) Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :, admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

Sujets de bac : Intégration

Sujets de bac : Intégration Sujets de bac : Intégration Sujet n 1 : Liban juin 2006 Partie A : étude d une fonction Soit la fonction définie sur l intervalle 0; par ln 1 Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est

Plus en détail

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Exercice On considère les matrices 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 4 ; 0 2 ; 0 2 0 ; 0 0 4 0 4 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ) Soit la matrice 4 0 4 2 a) Prouver

Plus en détail

TS Feuille de révision n 1 novembre 2017

TS Feuille de révision n 1 novembre 2017 TS Feuille de révision n 1 novembre 017 Exercice 1 Dans un pays de population constante égale à 10 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent

Plus en détail

Suites de nombres réels

Suites de nombres réels Suites de nombres réels I Généralités 1.1 propriété vraie à partir d un certain rang Définition 1.1 On dit qu une propriété P (n) est vraie à partir d un certain rang N N si et seulement s il existe un

Plus en détail

BACCALAUREAT BLANC GENERAL. Epreuve: MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE

BACCALAUREAT BLANC GENERAL. Epreuve: MATHEMATIQUES. Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE BACCALAUREAT BLANC GENERAL Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coefficient : 9 SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

Terminale S Problème de synthèse n 5 Fonctions trigonométriques - Suites géométriques - Suites adjacentes - Intégrales

Terminale S Problème de synthèse n 5 Fonctions trigonométriques - Suites géométriques - Suites adjacentes - Intégrales Partie A a est un nombre réel appartenant à l intervalle [0 ;π]. On considère la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 cos a et de raison sin a. 1) Exprimer u n en fonction de n et déterminer la

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 009-00 Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme.

Plus en détail

2de Variations de fonctions Cours

2de Variations de fonctions Cours 2de Variations de fonctions Cours I. Fonction croissante, fonction décroissante Transmath : Activité 1 page 23 1. Définitions ( la courbe «monte» de gauche à droite, plus La courbe «descend» de gauche

Plus en détail

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj DÉRIVATION I. Rappels Vidéos ttps://www.youtube.com/playlist?listplvudmbpupcaoy7qiladhc9-rbgvrgwj ) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel

Plus en détail

Suites. C. de la Losa 9 septembre 2013

Suites. C. de la Losa 9 septembre 2013 Suites C. de la Losa 9 septembre 203 I II Définitions Construction d une suite Faire exercices 2-3-6-7-8 page 56. Calculatrice : reproduire les exemples de la page II de votre livre puis faire les exercices

Plus en détail

2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'(x).

2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'(x). Eercice 1: Soit f la fonction définie sur IR - {-2 ; 0 } par f() = ( + 1) 2 2 + 2 1 ) Donner les limites de f au bornes de son ensemble de définition 2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'()

Plus en détail

Epreuve commune mathématiques TS mardi 4 avril Sujet obligatoire

Epreuve commune mathématiques TS mardi 4 avril Sujet obligatoire Epreuve commune mathématiques TS mardi 4 avril 2017 Sujet obligatoire EXERCICE 1 Dans le plan muni d un repère orthonormé ( O, ı, j représentative de la fonction u définie sur l intervalle ]0 ; + [ par

Plus en détail

Exercice 3 : La courbe représentant la fonction f est donnée ci-dessous :

Exercice 3 : La courbe représentant la fonction f est donnée ci-dessous : AP ère ES L Nombre dérivé 2 Exercice : La courbe représentant la fonction f est représentée ci-dessous. ) Donner par lecture grapique f( 2) et f(6). 2) Donner par lecture grapique f ( 2), f (2) et f (6).

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Baccalauréat blanc Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures

Baccalauréat blanc Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures Baccalauréat blanc 2014-2015 Lycée Janson de Sailly Epreuve de Mathématiques Série S durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Le numéro de la classe devra figurer dans la partie anonymée.

Plus en détail

Correction maths, baccalauréat ES.Réunion, juin Exercice 1 : Question 1.a. On pose z i = ln y i.

Correction maths, baccalauréat ES.Réunion, juin Exercice 1 : Question 1.a. On pose z i = ln y i. Correction maths, baccalauréat ES.Réunion, juin 2006 1 Exercice 1 : Question 1.a. On pose z i = ln y i. Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Rang x i 1 2 3 4 5 6 Nombre y i de pots de plantes 5702 5490

Plus en détail

Classe : TES1 Le 17/12/2002 MATHEMATIQUES Devoir N 4 Calculatrice et formulaire autorisés. Durée : 3h

Classe : TES1 Le 17/12/2002 MATHEMATIQUES Devoir N 4 Calculatrice et formulaire autorisés. Durée : 3h Classe : TES Le 7/2/2002 MATHEMATIQUES Devoir N 4 Calculatrice et formulaire autorisés Durée : 3h Eercice : (5,5 points) (correction) Dans cet eercice, les probabilités demandées seront données sous forme

Plus en détail

BAC BLANC. Bac Blanc wicky-math.fr.nf Février Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique : 2 cm).

BAC BLANC. Bac Blanc wicky-math.fr.nf Février Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique : 2 cm). Bac Blanc wicky-math.fr.nf Février 0 BAC BLANC Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique : cm). Partie A On considère l équation : (E) : z + 6z +

Plus en détail

Devoir surveillé de terminales S1-Samedi 22 février durée 3h

Devoir surveillé de terminales S1-Samedi 22 février durée 3h Devoir surveillé de terminales S1-Samedi 22 février durée 3h Exercice 1 : Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules

Plus en détail

Annales Logarithme népérien

Annales Logarithme népérien Annales Logarithme népérien Antilles Guyane Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par 1) Calculer et. 2) a) Démontrer que, pour tout entier

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation grapique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel ISEL - Année Mathématiques Suites - Rappel Raisonnement par récurrence Soit une propriété P (n) dépendant d'un entier naturel n. Pour montrer que cette propriété est vraie à partie de l'entier n 0 :. on

Plus en détail

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques Université de Rennes 1 Ronan Quarez UFR Mathématiques Année 2008-2009 CAPES 1 Critère de Cauchy 1.1 QCM Suites numériques a) Toute suite de Cauchy, d entiers relatifs, converge dans Z? b) Toute suite de

Plus en détail

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Exemple: Montrons par récurrence que pour tout n Initialisation : pour n = 1 RAISONNEMENT PAR RECURRENCE i=1 i =1 et i=1 N i=n *, P (n) : i = 1 + + 3 +...+ ( n -1) + n = n n 1 i=1 n n 1 Hérédité : supposons

Plus en détail

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Ce document vient en complément du chapitre 6 du livre Informatique, programmation et calcul scientifique en Python et Scilab, publié chez ellipses.

Plus en détail

f ( x) sin(3 x) Une Annexe pour l' Exercice 1 est à rendre avec la copie. points Exercice N 1 : sur 9

f ( x) sin(3 x) Une Annexe pour l' Exercice 1 est à rendre avec la copie. points Exercice N 1 : sur 9 T S Devoir Commun N 5 Lundi 9 Janvier 205 (Durée 2 h- Calculatrice autorisée) La présentation et la rigueur des résultats entreront pour une part non négligeable dans l évaluation de la copie. Une Annee

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques. Dérivées successives de exp( 1 x )

Problèmes de Mathématiques. Dérivées successives de exp( 1 x ) Dérivées successives de ep 1 ) Énoncé Dérivées successives de ep 1 ) Le problème est constitué de deu parties indépendantes. On définit une fonction f par : f) = ep 1 ) si 0 et f0) = 0. PREMIÈRE PARTIE

Plus en détail

Bac blanc février 2013

Bac blanc février 2013 Lycée Louise MICHEL Terminales S MATHEMATIQUES Année 0/0 Bac blanc février 0 (Durée : 4 heures.) Les calculatrices sont autorisées, mais l échange de tout matériel est interdit. Les brouillons ne sont

Plus en détail

BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012

BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012 Lycée Albert CAMUS 28 mars 2012 BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012 Durée de l épreuve : 4H - Coefficient : 9 (Spécialité) Les calculatrices sont AUTORISÉES Le candidat doit traiter les

Plus en détail

Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures.

Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. Lycée Saint-Exupéry BAC BLANC - Février 04 - Terminales S Epreuve de Mathématiques - Durée : 4 heures. Le sujet est composé de exercices communs à tous les candidats, d un exercice réservé aux candidats

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x.

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x. I. Propriétés algébriques La fonction logarithme néperien est dérivable et strictement croissante de R + sur R. Le théorème de la bijection, qu on abordera au chapitre 7, permet de prouver l existence

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Suites numériques. Chapitre 1

SUITES NUMERIQUES. Suites numériques. Chapitre 1 SUITES NUMERIQUES Chapitre 1 Suites numériques Ce cours contient à la fois tous les rappels de première et TOUT ce qu il y a à savoir en terminale sur les suites. I. DEFINITION 1. Définition d une suite

Plus en détail

BAC BLANC. Epreuve de Mathématiques obligatoire. Durée 4 heures

BAC BLANC. Epreuve de Mathématiques obligatoire. Durée 4 heures BAC BLANC Terminale S Epreuve de Mathématiques obligatoire Coefficient 7 Durée 4 heures Le sujet comporte 7 pages. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Aucun document n est permis. Le candidat

Plus en détail

Complément sur les suites. Suites adjacentes

Complément sur les suites. Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:33 Complément sur les suites. Suites adjacentes Table des matières 1 Le procédé 2 2 Suites adjacentes 2 2.1 Définition................................. 2 2.2

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

Première ES-L IE2 dérivation S1. a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : f(x) = 2x² - 3 en 1.

Première ES-L IE2 dérivation S1. a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : f(x) = 2x² - 3 en 1. Première ES-L IE2 dérivation 205-206 S Exercice : taux d accroissement (2 points) a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : En déduire le nombre dérivé de f en. f(x) 2x²

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Mercredi 27 mars Calculatrice Autorisée

Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Mercredi 27 mars Calculatrice Autorisée ... Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Mercredi 27 mars Calculatrice Autorisée Le sujet comporte 4 exercices : Les élèves n ayant pas choisi l option Mathématiques en spécialité traiteront

Plus en détail

CONTINUITE ET CONVEXITE

CONTINUITE ET CONVEXITE CONTINUITE ET CONVEXITE I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite

Plus en détail