Chapitre 2 - Suites et récurrence

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1 Lycée Jaufré RUDEL - BLAYE 14 septembre 016 Les suites, c'est quoi déjà?

2 Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmétiques Dénition Terme général Somme de N termes consécutifs Sommes Suite arithmétique de raison r (réel xé) n N,u n+1 = u n + r u n = u 0 + n r ou u n = u p + (n p) r S = N premier+dernier particulières N = N 1+N

3 Suites arithmétiques Suites géométriques Suites géométriques Dénition Terme général Somme de N termes consécutifs Sommes particulières Suite géométrique de raison q 1 (réel xé) n N,u n+1 = u n q u n = u 0 q n ou u n = u p q n p S = premier 1 qn+1 1 q S = 1 + q + q q N = 1 qn+1 1 q

4 Le principe Exemple de démonstration par récurrence Principe de récurrence Soit P n une proposition dépendant d'un entier naturel n. On veut démontrer que P n est vraie pour tout entier n n 0 (avec n 0 N). Étape 1 : On démontre le cas de base, c'est-à-dire que P n0 est vraie. Étape : On démontre que P n est héréditaire, c'est-à-dire que : k n 0, si P k est vraie, alors P k+1 est vraie. Étape 3 : On conclut : le cas de base est vérié et la proposition est héréditaire, donc : n n 0, P n est vraie.

5 Le principe Exemple de démonstration par récurrence Exemple de démonstration par récurrence On va démontrer par récurrence la proposition suivante : n, n = n (n+1) (P n ). Cas de base : On vérie que P est vraie : 1 + = 3 et (+1) = 3 donc la propriété est vraie pour n =. Hérédité : Soit k un nombre entier supérieur ou égal à. (P k ). On suppose que : k = k (k+1) On veut montrer que : k + (k + 1) = (k+1) (k+) (P k+1 ).

6 Le principe Exemple de démonstration par récurrence Exemple de démonstration par récurrence On calcule donc : k + (k + 1) = ( k) + (k + 1) k (k + 1) = + (k + 1) (H.R.) k (k + 1) + (k + 1) = (k + 1) (k + ) = Donc P n est héréditaire. Conclusion : P est vraie et P n est héréditaire, donc P n est vraie pour tout entier n.

7 Dénition Soit (u n ) n N une suite. Elle est dite : strictement croissante si : n N, u n+1 > u n ; strictement décroissante si : n N, u n+1 < u n ; croissante si : n N, u n+1 u n ; décroissante si : n N, u n+1 u n ; constante si : n N, u n+1 = u n.

8 Remarque Une suite ni croissante ni décroissante est dite non monotone. Une suite peut être croissante (ou décroissante) à partir d'un certain rang.

9 Étude du sens de variation d'une suite Il existe diérentes techniques pour étudier le sens de variation d'une suite : 1 On étudie le signe de la diérence u n+1 u n (s'il est toujours positif alors la suite est croissante, s'il est toujours négatif alors elle est décroissante) ; On utilise une technique fonctionnelle ; 3 On compare u n+1 u n à 1 si la suite est toujours strictement positive et si n apparaît en exposant ; 4 Faute de mieux, on utilise un raisonnement par récurrence.

10 Dénition Si (u n ) n N est une suite, et M et m sont deux nombres réels xés, alors on dit que : (u n ) est majorée par M si, pour tout n N, u n M ; (u n ) est minorée par m si, pour tout n N, u n m ; (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. M est alors appelé un majorant de la suite (u n ) et m est appelé un minorant de la suite (u n ).

11 Remarques Si M est un majorant de la suite (u n ), alors n'importe quel nombre réel plus grand que M est aussi un majorant de cette suite. De même, si m est un minorant de la suite (u n ), alors n'importe quel nombre réel plus petit que m est aussi un minorant de cette suite.

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