Eléments de correction du BAC Amérique du Nord -30 mai 2013

Transcription

1 Elémts d corrctio du BAC Amériqu du Nord -3 mai 3 Ercic A, B t C sot pas aligés si t sulmt si ls vcturs AB t AC sot pas coliéairs O a AB ; ; t AC ; 5; 3 poits A, B t C sot las aligés or 5 a Comm A, B t C sot pas aligés, l pla ABC st bi déii o sait qu AB t AC sot pas coliéairs, doc ls st orthogoal au pla ABC si t sulmt si st orthogoal au vcturs AB t AC AB u 3 Comm l rpèr st orthoormé, o a Aisi la droit st orthogoal au pla ABC b Comm u ; ;3 y 3z d AC u 5 33 st ormal au pla ABC, o a comm équatio cartési du pla ABC : Or A appartit au pla ABC, o a 4 3 d d Aisi u équatio cartési du pla ABC st y 3z c Comm st déii par l vctur dirctur u t pass par l poit D, o a comm équatio paramétriqu : 7 t : y t où t z 4 3t d L poit H d itrsctio d t du pla ABC st déii par la valur t tll qu : t t t aisi 8 t aisi H 3;; 4 3 a P t P sot sécats si t sulmt si u vctur ormal d P st pas coliéair à u vctur ormal d P Comm P : y z, u vctur ormal à Comm P : 4y, u vctur ormal à P st ;; P st ; 4; Comm 4, ls vcturs t sot pas coliéairs, aisi ls plas P t P sot sécats (slo u droit)

2 4t b La droit d dot la rpréstatio paramétriqu st doé par y t z 3t st déii par ls poits M ;; (avc t ) t 6;;5 M (avc t ) Il suit d vériir qu ls poits M t N appartit au du plas P t P Pour M,, doc M P Pour N, 6 5, doc N P Pour M,, doc M P P, doc N P Pour N, : 6 4 Aisi la droit d st bi l itrsctio ds plas P t P c Si l pla ABC t la droit d sot parallèls alors u vctur dirctur d d st coliéair à u vctur ormal du pla ABC : v 4;;3 st u vctur dirctur d d t u ; ;3 st ormal au pla ABC u v 4 33 aisi u t v sot orthogoau, aisi la droit d st parallèl au pla ABC Ercic (NON spécialist mathématiqus) 4 a Lorsqu 3, la valur approché doé par l algorithm st,834 à près b Ct algorithm prmt d calculr u c A partir d la tabl d valurs d la suit u, o put cojcturr qu la suit covrg vrs a Motros qu la propriété P : u st vrai pour tout tir aturl Iitialisatio :, o a u aisi P st vrai Hérédité : Supposos P vrai, motros alors qu P st vrai O suppos u aisi u 4 u 4 u, P vrai Coclusio : Par l pricip d récurrc, u st vrai pour tout tir aturl u st croissat t

3 b u u u u u u or u u u doc u u, la suit u aisi u st croissat c Comm la suit u st croissat t st majoré par, 3 v u l l u st covrgt v u u u u u v a l l l l l l l l l l l La suit v st géométriqu d raiso l b v v q l Comm v l u l, o a u t d prmir trm v u l v l u v l l l l l l l l u c Comm l lim alors par opératio sur ls limits, o a La suit u covrg vrs l l l lim d Variabls : st u tir aturl u st u rél Iitialisatio : Actr à la valur Actr à u la valur Traitmt : Tat qu u,999 Actr à u la valur d u Actr à la valur Fi du tat qu Sorti : Aichr

4 Ercic (spécialist mathématiqus) Parti A c ; a 3; b 4 Comm a Comm a Comm a Comm a o aich 3 o aich b : c ; a 9; b 4 b : c ; a 5; b 4 b : c 3; a ; b 4 b st FAUX, o va vrs la sorti Ct algorithm prmt d calculr l quotit d la divisio uclidi d a par b (l ombr c) aisi qu l rst d ctt divisio (l ombr a) Ct algorithm st u algorithm d divisio par soustractio succssiv Parti B Codag d la lttr U : Etap : U st associé à Etap : o calcul l rst d la divisio d 9 5 par 6, o trouv qu l rst d 85 par 6 st 3 p 3 Etap 3 : 3 st associé à D Aisi U st codé par D par ct algorithm Variabls : m, b t c sot ds tirs aturls Iitialisatio : Actr à c la valur Dmadr la valur d m Actr à m la valur 9m 5 Actr à b la valur 6 Traitmt : Tat qu m b Actr à c la valur c+ Actr à m la valur m b Fi du tat qu Sorti : Aichr c Aichr m Parti C

5 9 6 L ombr 3 st solutio d ctt équatio car m 5 p 6 9m p 5 6 or 93 6 aisi 39m m m 6 m 3 p 5 3p 5 6 La réciproqu : m 3p 5 6 9m 93p 95 p 35 p La lttr B st associé à ( la lttr décodé st O p ), doc la lttr décodé st associé à m, Ercic 3 Parti A P X P X P X ,88,8, 636 à (la méthod dirct à la calculatric st égalmt corrct) p P X P X ,86,94 3 Méthod (sas l aid du cosil doé das l éocé) p P X 385 P X 385,96 aisi P X 385, 96, 4 Soit par tâtomt 3 près - avc IvN(4,,4) aisat varir l écart typ pour trouvr avc Ncd(- E 99, 385,, 4) pour trouvr,4 Soit avc la tabl d valur d u octio comm Y = IvN(4,,4) O trouv 8, 6 à, près, Méthod (avc l aid du cosil doé das l éocé) Si Z suit la loi ormal ctré réduit alors P Z,75,4 o vut trouvr tl qu P X 385, 4 P X 4 5, 4 X 4 5 P,4 Or X 4 suit la loi ormal ctré réduit :

6 5 P Z,4 Parti B O déduit qu 5,75 aisi 8,6 à, près o a 96 p Ls coditios sot vériiés : p p 3 5 L itrvall d luctuatio asymptotiqu st doé par la ormul : p p p p I p,96 ; p, 96 I,938;,98, 83 3 obs,943 à près 3 Comm obs Parti C I, o put cosidérr qu l objcti st attit O sait qu P T 3,93 Or T suit u loi potill d paramètr o a 3 3 P T P T 3 3 aisi 3,93 P T P T T 3 l,93 l,93,3 arrodi au millièm , 93 d après la propriété d duré d vi sas viillissmt P T 365,335 arrodi au millièm près 3 365,3 L vdur a tort, la balac a sulmt 33,5 % d chac d octior corrctmt au mois u a,3 P T t t,5,3t l,5 l,5 3 t 3, 49 à près,3

7 Il y a u chac sur du qu la balac octio corrctmt au mois 3 jours Ercic 4 l a lim l lim par quotit sur ls limits car lim l lim b l lim l l Comm lim, lim t lim c Comm lim l lim alors par produit t somm ds limits, o a, la droit d équatio st u asymptot vrtical à C Comm lim, la droit d équatio y st u asymptot horizotal à C au voisiag d a b l c l l,5 l l l 4 4 3,5 car l octio potill st strictmt croissat sur Sig d,5 3 a,5 Variatio d + -,5 l,5 l,5 l l

8 L poit d itrsctio d C avc l a ds abscisss a pour coordoés ; b,5 Sig d + - Variatio d Sig d, I d car la octio st positiv sur a O a,5 sur ; ; d d,5d I,5,5 b l l l l I d c l lim I lim car l lim L air compris tr la courb C t l a ds abscisss pour supériur à st égal à