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1 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Nouvelle-Calédoe ovembre 0 5 pots Proposto : Pour tout eter aturel : ( + ) = () VRAI! ( ) doc d où ( ) ( ) ( ) ( ) Sot (E) l équato ( )( + 8) = 0 où désge u ombre complexe Proposto : Les pots dot les affxes sot les solutos, das, de (E) sot les sommets d u tragle d are 8 FAUX! + 8 a pour dscrmat = () 8 = Ce ombre état strctemet égatf, l équato + 8 = 0 a deux solutos complexes cojuguées : et L équato (E) a doc tros solutos :, + et Désgos par B A, B et C les pots-mages de ces solutos La drote (BC) est perpedculare à la drote (AO) qu est doc hauteur ssue de A das le tragle ABC Sot I le mleu de [BC] O A Are(ABC) BC AI Proposto : Pour tout ombre réel, e e cos( ) VRAI! e cos s cos s cos cos (cos s ) cos e Sot A le pot d affxe A et M le pot d affxe ( A ) où désge u eter aturel su- péreur ou égal à Proposto : s est dvsble par, alors les pots O, A et M sot algés VRAI! S est dvsble par, alors l exste u eter aturel k tel que = k, d où = + k M k or A A A A k k k A d où M A Pusque est u réel, o a O M M A Les vecteurs OM et OA sot coléares Les pots O, A et M sot algés 5 Sot j le ombre complexe de module et d argumet Proposto : + j + j = 0 VRAI! j cos s et k k OA j e cos s d où le résultat C

2 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= L'équato Z + Z + = 0 a pour dscrmat 8 Ce ombre état strctemet égatf, l équato Z + Z + = 0 a deux solutos complexes cojuguées : 8 8 et Frace métropoltae ju 0 5 pots ( ) (même module pour so cojugué) d où : a e cos s e doc a et e e (l ue des deux solutos trouvées à la questo précédete) L ue des solutos das de l'équato a e cos s Remarque mportate pour la sute : dre que a a a 0, c'est-à-dre a (E) : + + = 0, tout comme a Resttuto orgasée de coassaces Posos x y et x y est doc L autre est so opposée : a est soluto de l équato Z + Z + = 0 revet à x y x y x x y y x y x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x y Démostrato par récurrece : a 0 a est doc soluto de l équato Italsato : la proprété est vrae pour = pusque Hérédté : Sot u eter aturel o ul quelcoque S, alors Cocluso : La proprété est vrae pour = et hérédtare à partr de = D après le prcpe de récurrece, elle est vrae pour tout eter aturel o ul S est ue soluto de l'équato (E) alors + + = 0 d où 0, 0 (cojugué d ue somme) 0 (règle sur le cojugué d u produt, démotrée plus haut) 0 (règle sur le cojugué d ue pussace, démotrée plus haut) ce qu sgfe que est égalemet ue soluto de (E) O a déjà vu au que a et a sot solutos de (E) Il sufft d y rajouter leurs cojugués a et a pour avor les quatre solutos complexes de l équato (E)

3 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= a a pour dscrmat Ce ombre état strctemet égatf, l équato 0 a deux solutos complexes cojuguées : b Amérque du sud ovembre 0 5 pots ( ) et e cos s est be l ue des deux solutos de (E) ( ) e e cos s ( ) e 8e 8 c Pour tout eter : ( ) e cos ( ) s ( ) s est par, () =, cos s ( ) 8 O 8 M M M 8 0 s est mpar, () ( ) =, cos s L égalté est doc vrae pour tout eter aturel o ul Remarque : vous pouve égalemet fare u rasoemet par récurrece M M 9 M M ( ) 8 5 a Pusque pour tout eter, M M, la sute M M * M est géométrque, de raso et de premer terme MM l est la somme de termes cosécutfs de cette sute géométrque et est doc doée par la formule : raso ombre de termes de la somme M M premer terme raso l l b 000 l l l or l Le plus pett eter tel que l 000 est doc l 8,8 l

4 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Sot le ombre complexe d affxe ( + ) L écrture expoetelle de est : b Nouvelle-Calédoe mars 0 pots e E effet, doc ( ) e e cos s e, d où L esemble des pots M du pla d affxe = x + y tels que a pour équato : c (x ) + (y + ) = x y ( x ) ( y ) ( ) ( x ) ( y ) O cosdère la sute de ombres complexes (Z ) défe pour tout eter aturel par Z 0 = + et Z Z O ote M le pot du pla d affxe Z c La sute (U ) défe par U = Z est covergete U Z Z Z U La sute (U ) est géométrque et sa raso est strctemet comprse etre et doc la sute coverge vers 0 Sot A, B, C tros pots du pla complexe d affxes respectves : Z A = ; Z B = et Z C = + 5 ZC ZA O pose Z ZB ZA c Le tragle ABC est rectagle e A ZC ZA 5 ( ) Z doc ZB ZA Z C ZA AB, AC arg arg() k k ZB ZA

5 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= 5 Podchéry avrl 0 5 pots a pour module 9 doc cos s e a Pour tout eter aturel, r r La sute (r ) est doc géométrque de raso b Pour tout eter aturel, r r0 c Pusque, lm OA lm r 0 et de premer terme r0 0 a Pour = 0, R = R > P doc o retre das la boucle «Tat que» =, R 0,8 R > P O cotue doc =, =, =, R 0,75 R > P O cotue R 0,50 R > P O cotue 8 9 R 0,55 R > P O cotue 5 9 = 5, R 0,87 Cette fos, R < P O qutte la boucle L algorthme affche = 5 b La valeur tale de R est, c'est-à-dre r 0 A chaque boucle R est multplé par doc la valeur de R est celle de r L algorthme affche la premère valeur de pour laquelle r est fé- reur à la valeur de P etrée Cet algorthme s achève forcémet pusque la lmte de r est 0 doc les valeurs de r devedrot tôt ou tard féreures à mporte quel réel strctemet postf P fxé à l avace a O sat que e doc e O e 5

6 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= O que le tragle OA A + possède u agle drot e A + O a doc OA, A A arg arg k k b O admet que e r A est u pot de l axe des ordoées arg k k k k k k ce qu prouve c Pusqu l s agt de costrure u tragle rectagle e A +, o trace le cercle de damètre [OA ] A A 7 A 8 A9

7 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Parte A u 0 0 ( ) Pour tout eter aturel, u ( ) u u doc la sute (u ) est géométrque de raso et de premer terme u0 Pour tout eter aturel, u u Pusque, o a lm 0 doc lm u 5 État doé u réel postf p, o souhate détermer, à l ade d u algorthme, la plus pette valeur de l eter aturel telle que u > p Parte B Lba ma 0 5 pots Varables : u est u réel p est u réel est u eter Italsato : Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur Etrée : Demader la valeur de p Tratemet : Tat que u p Affecter à u la valeur u Affecter à la valeur + F Tat que Sorte : Affcher ( ) 0 ( ) O sat que 0 doc O sat que doc 0 0 cos s e cos s e ( ) e e e e et cos s E detfat les partes réelles, o O a obtet : cos d où cos 7

8 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= 7 Cetres étragers ju 0 pots a b A A c d où : cos s d Commeços par remarquer que A appartet à la drote d équato x = 8 qu est médatrce du segmet [OA 0 ] doc le tragle OA 0 A est socèle e A Pour utlser le résultat de la questo précédete, l égalté cos s 0 0 doe OA 0, OA arg k k Or, le tragle OA 0 A socèle e A ayat 0 u agle de, l agle OA 0 A mesure égalemet et l agle OA A 0 mesure, ce qu prouve que le tragle OA 0 A est rectagle e A Pour tout eter aturel, r r La sute (r ) est doc géométrque, de raso doc la sute (r ) coverge vers 0 (cours sur les sutes géométrques) 8

9 arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= r OA doc la dstace OA ted vers 0 A se rapproche peu à peu de O a Pour tout eter aturel : AA r r A A r b L A0A AA AA r r r C est la somme de termes cosécutfs d ue sute géométrque L L r 8 8 c Pusque, lm L lm 0 doc (théorèmes d opératos) : 9

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