CORRECTION DU BAC 2007

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1 ORRTION U B 7 Trmal S mérqu du Nord rcc Sot (P l pla dot u équato st : + y z + = lors, d coordoés ( ; ;, st u vctur ormal d (P omm H st l projté orthogoal d sur (P, alors H t sot coléars Il st H = k H = + k doc u rél k tl qu H = k, c st-à-dr yh = k ou cor yh = + k ( zh 7 = k zh = 7 k + k + + k 7 k + = ; d où : plus, H appartt à (P, alors : ( ( ( k 7 = O dédut qu k = rmplaçat das (, o obtt : y z La proposto st doc fauss H H H = = = utr justfcato : Sot (P l pla dot u équato st : + y z + = lors, d coordoés ( ; ;, st u vctur ormal d (P O rmarqu qu H ( plus, l vctur H ; ; appartt à (P car + + = a pour coordoés ( ; 9 ; 6 y z H ; H 9 t H = = = ; comm ls coordoés ds vcturs H t y z sot pas proportolls, alors H t sot pas coléars Par coséqut, l pot H put pas êtr l projté orthogoal d sur (P Ls solutos d l équato dffértll ( sot ls foctos défs sur R par = +, où st u costat réll u =, alors + =, c st-à-dr = omm u st la soluto d ( vérfat ( oc ( u = + l l l O dédut qu : u = + = + = + = La proposto st doc vra Sot ( la proposto : «pour tout d N, u 7» omm u =, alors o a ( qu st vra Motros qu pour tout, o a : ( ( Laé

2 Sot Supposos qu ( st vra lors : u 7 multplat ls mmbrs d l égalté précédt par 7, o obtt : 7u 9 omm la focto ; 9, alors st strctmt crossat sur [ ; + [, doc sur [ ] 7u 9, c st-à-dr u + 7 O dédut qu ( + st vra O a alors prouvé : ( t pour tout supérur ou égal à, ( ( + u prcp d rasomt par récurrc, o dédut : pour tout supérur ou égal à, ( st vra st-à-dr : pour tout d N, u 7 La proposto st doc vra rcc =, c st-à-dr a L écrtur compl d la r st d la form z z ( z z z = z O O b omm st l mag d B par r, alors oc l aff d st 6 z = z = = = B c z zb cos s = = + = cos s = = + = 6 6 d Vor la fgur à la f d l rcc a omm st l baryctr ds pots, B t affctés rspctvmt ds coffcts, t, alors o put écrr : Par coséqut, z z zb + z z = = = + = + b O = z z = = ; O 5 6 OB = z = = ; O = z = 6 = t B O = z zo = + = Par coséqut, ls pots, B, t sot sur l crcl d ctr O t d rayo a L écrtur compl d h st d la form z z ( z z =, c st-à-dr z = z b omm st l mag d par h, alors z = z = + = Par coséqut, l aff d st z = - - Laé

3 a + z z + = = = = z z + + Par coséqut, z z z z = + = b z z z z = = z z z z z z Or, = d après la qusto précédt z z où : = =, t par sut = O dédut qu st socèl z z = = = z z Par coséqut, l tragl st équlatéral plus, (, arg arg y v - u B - rcc a omm l jouur réals tros parts, ls valurs qu put prdr X sot : ; ; t b p ( X p ( p ( p ( = = + + après l arbr podéré suvat, o dédut qu : p X = =,8,5, +,,9,5 +,,,9 =, ( Par coséqut, la probablté d l évémt ( X = st égal à, p ( X p ( p ( X = =,,, =, Par coséqut, la probablté d l évémt ( X = st égal à, = = après l arbr podéré suvat, o dédut qu : - - Laé

4 d p ( X = = p ( =,8,95,95 =,7 p ( X p ( p ( p ( = = + + =,5 La lo d probablté d X st doc : p ( X =,7,5,, d ( X =,7 +,5 +, +, =, a p ( + = p ( p ( + Or p ( + st la probablté qu l prd la ( + èm part ; ll st doc égal à, plus, p ( Par coséqut, p ( =, p + ( + ( + ( p = p p Or p ( + st la probablté qu l prd la ( + èm part sachat qu l a prdu la = p èm part ; ll st doc égal à,5 plus, ( (,5 Par coséqut, p ( = ( p + èm part sachat qu l a gagé la p = p = p b t formt u partto d l uvrs, alors d après la formul ds probabltés p + = p + + p + =,p +,5 p =,5p +,5 Par coséqut, p+ =,5 p +,5, pour tout tr aturl o ul totals, ( ( ( ( a Sot u tr aturl o ul : - - Laé

5 u = p =,5p +,5 =,5p =,5 p,5 p,5u = = 8, Par coséqut, la sut ( u st u sut géométrqu d raso,5 t d prmr trm u = p =, = b après la qusto précédt, o dédut qu, pour tout tr aturl o ul, u = (,5,5, t par sut, p = u + = ( (,5 c (,5 = Or,5,5 Par coséqut, lm p = + 9 < <, alors ( lm,5 = ; d où + (,5 lm =,5 + rcc (mérqu du Nord, ju 6 Rsttuto orgasé d coassacs a La focto g st dérvabl sur [ ; + [ tat qu somm d du foctos t dérvabls sur R, doc sur [ [ ; + g = Pour tout rél strctmt postf, ( Or, pour tout rél, o a : > O dédut qu g ( > pour tout rél Par coséqut, la focto g st strctmt crossat sur [ ; + [ plus, g ( = =, o put coclur qu la focto g st strctmt postv sur [ ; + [ Par coséqut, pour tout d [ ; + [, g ( b après la qusto précédt, o put écrr qu, pour tout d [ ; + [, c st-à-dr S st u rél strctmt postf, alors Or lm = +, doc d après l théorèm d comparaso, lm = a omm > pour tout rél, t qu ; + Par coséqut, f st postv sur [ [ f = = = = b ( pour tout d [ [ ; +, Laé

6 X omm lm = + t qu lm = +, d après la lmt d u focto composé, + X + lm = + où : + lm + O dédut qu la courb ( = Par coséqut, f ( lm = + admt u asymptot horzotal d équato y = c La focto st dérvabl sur R tat qu composé d la focto, dérvabl sur R, t d la focto potll dérvabl sur R La focto, dérvabl sur R Par coséqut, la focto f st dérvabl sur R tat qu produt d du foctos dérvabls sur R f = u u = v = v v f = u + u v avc u = t v = v O a : avc ( t ( lors : ( ( = + = où : f (, pour tout rél strctmt postf omm > pour tout rél strctmt postf, l sg d dépd d clu d Or = =, > < t < > ; t st décrossat sur Par coséqut, la focto f st crossat sur ] ] [ ; + [ O dédut qu : sg d f ( + + varatos d f = = f ( = = t f ( a La focto f st dérvabl sur [ ; + [, doc cotu sur [ ; + [ La focto F st doc la prmtv d f sur [ ; + [ qu s aul lors, pour tout rél postf, F ( = f ( Or, d après la qusto a, f st postv sur [ ; + [ Par coséqut, la focto F st crossat sur [ ; + [ Laé

7 t t F f t dt t dt t dt u ( t = t u ( t = Posos t lors t v ( t = v ( t = b ( = ( = = Ls foctos u v, uv t ( uv sot cotus t dérvabls sur [ [ méthod d l tégrato par parts : ; +, d après la t t t t t t dt = t dt = t + = + F = + = Par coséqut, ( c après la qusto b, lm = + X omm lm = t qu lm =, d après la lmt d u focto composé, + X lm + = Par somm ds lmts ds foctos, o dédut qu : F ( après la qusto a, o a l tablau d varato suvat : lm = + sg d F ( varatos d F + + d après la qusto précédt, la focto F st cotu t strctmt crossat sur [ ; + [, qu F ( <,5 t F ( >,5, d après l théorèm d la valur trmédar,,5 ; + l équato F ( = utlsat la calculatrc, o obtt : admt u sul soluto α das [ [ f( f( f(,76,,9677,9,, ,,96559,6,,75695,,9,76,,9677,,95869,59995,,56759,,978 5,775,5,566,5, ,8857,6,576,6,5577 7,8677,7,55878,7,587 8,988,8,5665,8,568 9,9895,9,5899,9,558,95957,59995,, Laé

8 pas =, pas =, pas =, doc < α < doc, < α <, doc,5 < α <,6 Par coséqut, u valur approché d α à près par cès st,6 omm la focto f st postv sur [ ; + [, doc sur [ ; ] ( état u tr aturl o ul, alors l ar la courb ( t ls drots d équatos utés d ar d la part du pla stué tr l a ds abscsss, t lors,5 équvaut à F (,5, c st-à-dr à F ( F ( α omm la focto F st strctmt crossat sur ] [ = =, st égal à = f ( t dt = F ( ; +,,5 équvaut à α,5 Par coséqut, l plus ptt tr aturl tl qu st Laé

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