Leçon 1 : Utilisation d arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations.

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1 Leçon 1 : Utilisation d arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations. Pré-requis : Langage ensembliste (Union (disjointe ou non), intersection, partie...) Définition. On dit qu un ensemble E est dénombrable s il s injecte dans N. On dira qu il est fini s il en bijection avec une partie de N. Une partie finie est donc soit vide, soit non-vide, c est à dire qu il existe n N tel que E soit donc en bijection avec {1,,n}, et on appellera cet entier n cardinal de E, et on notera E =n. adre : Dans la suite, on ne considèrera que des ensembles E finis. Dénombrer signifie en réalité compter des éléments, donc dans notre cas trouver le cardinal d un ensemble fini. Pour n N fixé, l entier naturel noté n!, dit «factorielle n», vaudra n!=n (n 1) 2 1, et si n=0, on conviendra que 0!=1. ttention! Les arrangements ne sont plus au programme du lycée depuis la rentrée 2009! 1

2 2 Section 1 1 Le problème de la secrétaire Une secrétaire est chargée de taper les lettres que son patron lui laisse dans un casier en les empilant. On suppose que son patron lui laisse trois lettres, et, et par exemple, dans cet ordre, la lettre se trouvant au-dessus de la lettre elle-même au-dessus de la lettre. Supposons que la secrétaire prenne systématiquement la lettre au-dessus de la pile. De combien de façons ces trois lettres pourront-elles être tapées? Il faut, pour résoudre ce problème, dénombrer le nombre possible de triplets, sachant que si la secrétaire a tapé la lettre par exemple, elle ne peut pas la retaper. On peut pour cela utiliser un arbre : Figure 1. rbre des choix Pour trouver le nombre des triplets possibles, il nous suffit maintenant de compter combien d extrémités a l arbre. Il en possède 5, donc il y a cinq solutions possibles au problème. L arbre de la Figure 1. nous permet de voir quels étaient, à une étape donnée, les choix qui s offraient à nous. est ce qu on appelle un arbre des choix. Pour arriver à compter le nombre de triplets possibles, nous avons utilisé des principes de dénombrements fondamentaux, sans même s en être rendus compte! En voici quelques uns :

3 Principes de dénombrement 3 2 Principes de dénombrement Théorème 1. (Principe de la somme) Si E 1,,E m forme une partition finie de E, c est à dire : i. E 1 E m =E ii. i,j {1,,m},i j,e i E j = alors E = m i=1 E i = m i=1 E i ( signifie «union disjointe»). Preuve. On raisonne par récurrence sur m. Le cas où m=1 est immédiat (care =E 1 E = E 1 ). Si m = 2, considérons une partition E 1, E 2 de E. Notons m i le cardinal de E i, i {1, 2}. Si E 1 = ou E 2 =, on a le résultat. Sinon, E 2 est en bijection avec {1,, m 2 }, donc avec {m 1 + 1,, m 1 + m 2 }, et ainsi E 1 E 2 = {1,, m 1 } {m 1 +1,,m 1 +m 2 } = {1,,m 1 +m 2 } =m 1 +m 2 = E. Si m >2, en posant P(l)= E = l k=1 E k et en supposant P vraie au rang m 1, en remarquant que les ensembles E 1 E m 1 et E m forment une partition de E, on peut réappliquer le cas où on avait une partition à deux éléments, puis appliquer l hypothèse de récurrence pour retrouver le résultat voulu. Exemple. Diagramme de Venn : Dans une classe, trois langues sont pratiquées. On sait que 20 des élèves font de l anglais, 15 de l allemand, 18 de l espagnol, 7 de l anglais et de l allemand, 9 de l allemand et de l espagnol, 8 de l anglais et de l espagnol et enfin 5 pratiquent les trois langues. ombien y-a-t-il d élèves? e genre de problème peut être résolu en faisant un diagramme de Venn : Si on note ici Ω l ensemble des élèves de la classe, ceux qui pratiquent l anglais, ceux qui pratiquent l allemand et enfin ceux qui pratiquent l espagnol, on a : =5; =7; =8; =9; =20; =15; =18 Et on a E 7 =5; = E 4 + E 7 E 4 =7 5=2 = E 6 + E 7 E 6 =9 5=4 = E 5 + E 7 E 5 =8 5=3 D où E 1 = E 4 E 5 E 7 = =10 E 2 = E 4 E 6 E 7 = =4 E 3 = E 5 E 6 E 7 = =6 Et on peut appliquer le principe de la somme, et on a 7 Ω = E i = =34 i=1 Il y a donc 34 élèves dans la classe. La Figure 2. illustre le diagramme de Venn de cet exercice.

4 4 Section 2 E 2 E 4 E 1 E 7 E 5 E 6 E 3 Figure 2. Un diagramme de Venn Tableau de antor : Sur un échantillon de 100 personnes, on sait que 68 sont des hommes, et que 43 d entre eux sont non fumeurs. De plus, 12% de ces personnes sont des femmes fumeuses. ombien y a-t-il de non fumeurs? On peut représenter les résultats donnés par cet énoncé (en gras) dans un tableau, comme suit : Sexe/Fumeur Oui Non Total Homme Femme Total Les autres résultats se déduisant du fait qu il y ait 100 personnes, et en écrivant bien les ensembles disjoints qui interviennent. Faisons maintenant un rappel sur le produit cartésien d ensembles : Définition 2. Soient E 1,,E p p ensembles finis. Le produit cartésien E=E 1 E p est l ensemble E={(x 1,,x p ) i {1,,p},x i E i } Théorème 3. (Principe du produit)

5 p listes, arrangements et permutations 5 Si E=E 1 E p, alors E = p i=1 E i Preuve. On raisonne encore une fois par récurrence sur p. La propriété est immédiate si p=1. Si p> 1, Supposons la propriété Q(n) = E = n i=1 E i vraie au rang p 1. Pour tout élément x de E p, les parties F x = E 1 E p 1 {x} forme une partition de E et toute partie F x est en bijection avec E 1 E p 1 (pour x fixé dans E p, on détermine tous les autres éléments du p-uplet avec des éléments de E 1,,E p 1, donc cela revient à former des (p 1)-uplets de E 1 E p 1 ). Les F x formant donc une partition de E, on peut appliquer le théorème 1., il vient E = E 1 E p = F x = ( E 1 E p 1 )= E 1 E p x E p x E p Remarque. Dénombrer le nombre de p-uplets de E, cela revient à compter le nombre d issues finales que l on obtient lorsque l on fait un arbre des choix. 3 p listes, arrangements et permutations Dans toute la suite, E désignera un ensemble fini de cardinal n. Définition 4. On appelle p liste de E toute suite ordonnée de p éléments de E. Une p liste de E s écrit (x 1,, x p ), x i E, i {1,, p}, où l ordre des termes est pris en compte. ela revient donc à dire qu une p liste est un élément de E p. Lemme 5. Il y a n p p listes d éléments de E. Preuve. {(x 1,,x p ),x i E, i {1,,p}} = E p = (1) E E = E p =n p p fois (1) découle du théorème 3. Définition 6. On appelle arrangement de p éléments de E (ou p arrangement de E) toute p liste dont les éléments sont deux à deux distincts. Un n arrangement de E s appelle une permutation de E. Proposition 7. Le nombre de p arrangements d éléments de E, noté n p, vaut n p =n (n 1) (n p+1)= n! (n p)!

6 6 Section 5 Preuve. On construit un arbre de choix comportant p étapes. La première étape consiste un choisir un élément x 1 de E et de le placer en première position dans la p liste. elui-ci choisi, il reste n 1 éléments dans E, parmi lesquels on prend un autre élément, noté x 2, pour le placer en deuxième position dans la p liste. On répète cette opération ainsi de suite... La i-ième étape consiste à choisir ainsi un élément x i dans les n (i 1) éléments restants dans E et à le placer en i-éme position dans la p liste. insi, arrivé au terme des p étapes, on obtient une p liste (x 1,,x p ) d éléments de E tous distincts, ou de manière équivalente une branche de l arbre. Le théorème 3. dénombre ainsi n p = E E\{x 1 } E\{x 1,x 2 } E\{x 1,x 2,,x p 1 } = E E\{x 1 } E\{x 1,x 2 } E\{x 1,x 2, x p } =n (n 1) (n 2) (n (p 1))=n (n 1) (n p+1)= n! (n p)! 4 nnexes 4.1 Principe d inclusion-exclusion (ou Principe de Poincaré) 4.2 Principe du erger 4.3 ardinal de P(E) 5 ompléments et ibliographie voir aussi : p listes comme cardinal de l ensemble des applications de N p dans E. p arrangements comme cardinal de l ensemble des applications injectives de N p dans E. L algèbre P(E). ardinal de GL n (F q ). ibliographie : L épreuve d exposé au PES de mathématiques, de D.-J. Mercier voir leçon 1