Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications.

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1 Leço 3 : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biome. Alicatios. Prérequis : Nombres de listes, arragemets. Pricies de la somme et de la multilicatio. Cadre : O cosidèrera das la suite u esemble fii E de cardial N. O désigera ar! l etier obteu e multiliat etre eux tous les etiers aturels de à, et ar covetio, 0!. Déombremet des combiaisos Défiitio. Soit N. O aelle combiaiso à élémets de E toute artie o-ordoée de E à élémets. Le ombre total de ces combiaisos à élémets de E est oté. Remarque. i. est toujours u etier aturel. ii.. E effet, désige le ombre de arties à 0 élémets de E, c est à dire qu ue seule, l esemble vide. E articulier, o osera ar covetio. 0 Théorème. Ecriture exlicite de Soit N. Alors! si!! 0 sio Preuve. 3 Le cas > est facile. E effet, o e eut choisir aucue artie à élémets das E, si o a >. Suosos alors. Soit P la roriété P!,!!. O va motrer P ar récurrece sur. 0 Si 0, et N imose 0 et 0!, et aisi P0 est vraie. 0 0!0 0!. Attetio, raelos que la otio d arragemet est lus au rogramme du secodaire deuis la retrée Les uristes oterot C our désiger. Attetio toutefois, c est la derière otatio qui est e vigueur das les rogrammes, et c est celle-ci que ous utiliseros das cette leço. 3. Ue autre reuve sera doée e aexe.

2 Sectio Soit alors. O suose P vraie, et o va cosidérer A tel que A +, et distiguos deux cas : + Si 0, o a +! 0 0!+ 0! Si 0, cosidéros x A. Toute artie à élémets de A sera soit ue artie à élémets de A e coteat as x, soit la réuio de {x} et d ue artie à élémets de A e coteat as x. Si o désige resectivemet ar B, C et D l esemble des arties à élémets de A, celles à élémets de A du remier tye et celles à élémets de A du deuxième tye, o a, ar le ricie de la somme B C + D + + et comme P est suosée vraie, o a +!!! +!! +! + +!!+!+!!+! +!!+! D où P est vraie, our tout etier aturel. Exemle. La grille de Loto Ue ure cotiet 9 boules umérotées de à 9. O tire successivemet sas remise 7 boules de l ure. Combie de résultats eut-o obteir? Solutio. O cherche le ombre de combiaisos de 7 élémets armi 9, soit ! 7!! Proriétés., N, avec, o a i. Relatio de Pascal : + + ii. Symétrie : iii. O a égalemet Preuve. i. Voir reuve théorème.. ii. Permuter les deux termes au déomiateur. iii. Evidet.

3 Formule du biome 3 Formule du biome Théorème 3. Soiet a,b C. Pour tout N, a+b a b 0 Les ombres sot aelés coefficiets biomiaux. Preuve. Par récurrece sur. Si 0, a+b 0 et 0 0 O suose l égalité vraie our fixé. O a a+b + a+ba+b 0 0 a b 0 a 0 0 b 0 0. et ar l hyothèse de récurrece, o a a+ba+b a+b 0 a b 0 a + b + 0 a b + + a b a + +b a b + a + +b + + [ ] + a b + + a b + + a b + 0 Doc la roriété est vraie au rag +, doc vraie our tout etier aturel. Coséqueces.. O a 0 Cette derière somme rerésete e réalité le cardial de PE, soit PE.. O a 3. O a. O a efi Preuve., air 0 0. O déveloe + avec le biome de Newto.. O déveloe avec le biome de Newto. 0, imair

4 Sectio 3 3. Par. et., o a le système, e otat P, air et I, imair { P +I { P P I0 P I P I. Cette somme rerésete la somme des cardiaux de toutes les arties de E. Pour X PE, X et c X sot disjoits, et aisi D où Or Aisi X c X X + c X X PE X PE X PE 0 X + c X X X PE X X PE c X X PE 0 Autre reuve : O dérive le olyôme x +, e o évalue e x le olyome dérivé et la dérivée du déveloemet de x+ ar le biome de Newto. 3 Alicatios 3. Calcul de, de, de 3 Proositio. Soit N,. Pour tout,, + + Preuve. Soit E + {,,+}. Le ombre de arties à + élémets de E + est au ombre de +. Déombros maiteat ce ombre d ue autre faço. Ue artie de E + + à + élémets eut admettre comme maximum +,,+. Soit α {+,,+}. Pour faire ue liste de + élémets ayat α comme maximum, il suffit de choisir α uis élémets iférieurs strictemet à α, et il y α a exactemet choix ossibles. Aisi, le ombre de arties à + élémets das E + est au ombre de. Aisi, o a bie + +

5 Alicatios 5 Proositio 5. O a successivemet Preuve. O alique la roositio. aux trois cas :.. Aisi + +!!! +. O a Or Or, si, 0, doc [ ] Or, ar le oit., o a + 3 +, d où De même, Or 3 [ ]. Or, si, o a [ 3 + ] 0 et si, o a [8 +]0, d où o a 3 [ ] + Or ar les oits. et., o a + et ++ ; d où [ ]

6 Sectio 3 3. Formule de Vadermode Proositio. Soiet,m N. Pour tout etier 0,+m, o a m +m 0 Preuve. Posos E +m {,, + m}. Le ombre de combiaisos à élémets de E +m est au +m ombre de. Mais E +m {,, } { +,, +m}. Soit 0, fixé. Pour costruire ue liste de élémets de E +m, o eut choisir élémets de {,, }, et choisir élémets de m { +,, + m}. C est à dire qu à fixé, o déombre exactemet combiaisos à élémets. Doc le ombre total de combiaisos à élémets de E +m est au ombre de m Et aisi o a bie 0 0 m +m Corollaire 7. O a 0 Preuve. O alique le résultat de la roositio. au cas m. 3.3 Pricie des tiroirs Eocé : O cherche à rager r objets idiscerables au toucher das tiroirs umérotés de à. Chaque tiroir eut recevoir de 0 à de ces objets.. Ue reuve «algébrique» sera doée e aexe.

7 Alicatios 7 Iterrétos le roblème de la faço suivate : Pour faire emlacemets différets, o est rameer à lacer cloisos armi le ombre total de cloisos et d objets, soit +r. O a doc au fial +r +r r faços de lacer ces r objets das les tiroirs. U dessi our illustrer le roblème : O a défii ici 8 tiroirs avec 7 barres de séaratios, et o va chercher la ombres de ossibilités d y lacer objets. O viet de doer ue solutio au roblème. 3 Par ce qui a été fait, o e déombre 90 3 solutios. 8 Figure. Le ricie de tiroirs Rechercher le ombre de solutios etières ositives de l équatio α + +α r, d icoues α,, α, où r N est doé, reviet à résoudre le même roblème que celui des tiroirs. Il y a doc exactemet +r solutios. r 3. U exercice our coclure... O cosidère u triagle o alati ABC. O artage le segmet [AB] e arties, les oits de séaratios état otés C 0 A, C,, C B. O artage de la même maière [BC] e m arties, les oits de séaratio état otés A 0 C,A,,A m B. Le but de l exercice est de déombrer le ombre de triagles coteus das ABC. Faisos u dessi das le cas et m5 :

8 8 Sectio 3 AC 0 C C C 3 A 5 BC A A 3 A A CA 0 Figure. Figure de l exercice Remarquos que les triagles de cette figure admettet : Soit [AC] comme coté. Soit A comme sommet mais as C. Soit C comme sommet mais as A. Pour les triagles de coté [AC], comme A et C sot des sommets fixés, il suffit de choisir u troisième sommet défii comme l itersectio d u segmet [AA i ], i,m, et d u segmet [CC j ], j,. O a aisi {[AA i ],i,m} {[CC j ],j,} {[AA i ],i,m} {[CC j ],j,} m m Pour les triagles de sommet A qui ot as C comme sommet, il suffit de choisir comme deux autres sommets deux oits disticts aligés sur u segmet [CC j ], les deux état as C. Cela reviet à choisir u segmet [CC j ], j,, et deux segmets [AA i ] et [AA i ], i,i,m, i i. Il viet qu o e a m segmets armi m segmet armi mm Pour les triagles de sommet C ayat as A comme sommet, u raisoemet similaire à celui fait récédemmet ous doe directemet qu o e a m m

9 Comlémets et bibliograhie 9 Comme ces trois esembles formet ue artitio de l esemble des triagles de la figure, o a que le ombre T,m de triagles coteus das la figure vaut T,m m+m + mm [ m + + m ] [ ] +m m Alicatio umérique : Pour et m5, T, Aexes. Retour sur ue reuve alterative du théorème.. Retour sur ue reuve alterative du théorème 3..3 Retour sur ue reuve «algébrique» de la roositio.. U résultat itéressat sur les olyômes à lusieurs idétermiées 5 Comlémets et bibliograhie A voir aussi : Suite de Fiboacci et combiaisos. Le roblème de la greouille. Nombre de surjectios de E das F, où E e et F f. Bibliograhie : «L éreuve d exosé au CAPES de mathématiques, volume I» de D.-J. MERCIER Je ties à remercier D. REYNIER our m avoir trasmis sa leço, de laquelle je me suis largemet isiré.

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