TRAVAUX DIRIGÉS DE O 2

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1 T O Correction PCS TRVUX RGÉS E O Exercice 1 : Réflexion sur un miroir orizontl. Un omme dont les yeux sont plcés à = 1,80 m du sol cerce à observer un petit rbre de uteur = 1,50 m situé à une distnce = 5,00 m pr réflexion sur un miroir pln posé à plt sur le sol. éterminer l position et l lrgeur minimle du miroir. Comme souvent optique, le plus difficile est de trcer une figure correcte. Rester ensuite à utiliser des reltions de l optique (lois de Snell-escrtes) et mtémtiques (trigonométrie, somme des ngles orientés d un tringle...). Començons pr l figure : dessinons d bord le reflet de l rbre dns le miroir, trçons ensuite les ryons limites rrivnt à l œil de l observteur. i r l l fut bien comprendre que l observteur regrde l imge de l rbre dns le miroir et non le miroir lui même. On voit sur l figure que le miroir doit tteindre le pied de l rbre. près l loi de l réfrction, i = r et on peut écrire tn = = où l est l longueur du l l miroir. On en déduit l =,7 m. + Exercice : Réflexion sur un miroir verticl. Un omme dont les yeux sont plcés à = 1,80 m du sol cerce à s observer entièrement pr réflexion dns un miroir pln verticl. éterminer l position et l uteur minimle du miroir. Comme souvent optique, le plus difficile est de trcer une figure correcte. Rester ensuite à utiliser des reltions de l optique (lois de Snell-escrtes) et mtémtiques (trigonométrie, somme des ngles orientés d un tringle...). i r = i i 1

2 T O Correction PCS Començons pr l figure : dessinons d bord le reflet de l omme dns le miroir, trçons ensuite les ryons limite rrivnt à son œil. On voit directement sur cette figure que quelque soit l distnce qui sépre l omme du miroir, ce dernier doit monter à uteur de l œil ( = 1,8 m) et descendre jusqu à = = 90 cm. Exercice 3 : mge d un objet pr un périscope. Un périscope simple est un système optique formé de deux miroirs plns qui permet pr exemple d observer un défilé pr dessus une foule. Les périscopes de sous-mrins sont des systèmes optiques plus compliqués. On suppose que les plns des miroirs font un ngle de 45 vec l verticle. L objet observé est lui ussi verticl et à l distnce du centre O du miroir supérieur. L distnce OO entre les deux centres des miroirs est d. 1. Pr construction, déterminer l position de, l imge de pr le système optique.. Quelle est l vleur du grndissement? 3. Le système optique est-il stigmtique? 4. Trcer deux ryons issus de et qui trversent le système optique et prviennent à l œil. Préciser l nture de. M 1 M d O O 1. Construction : On plce l imge de pr le premier miroir (c est son symétrique pr rpport u pln du miroir M 1 ) puis celle de pr rpport u second miroir ( est le symétrique de pr rpport u pln du miroir M ). On insi montré que est verticle droite et que O = d +. Le grndissement est γ = = Les deux miroirs plns étnt stigmtiques, le système est lui même rigoureusement stigmtique. M 1 4. On trce deux ryons issus de et qui trversent le système optique. O Pour le premier, on peut prendre un ryon issu de et pssnt pr O et O. Pour le second, issu de, on utilise le fit qu près réflexion sur M 1, il semble provenir de, puis de près réflexion sur M. Pour fciliter l construction, on intérêt à prtir de l œil et remonter le sens de l lumière (utilistion du principe de retour inverse de l lumière). On remrque sur l figure que les ryons prvennt finlement à l œil semblent provenir de, c est donc une imge virtuelle. Remrque : pour l œil qui l observe, il s git d un objet virtuel dont il fit une imge réelle sur l rétine. M d O

3 T O Correction PCS Exercice 4 : ssocition de miroirs plns. 1. eux miroirs plns crrés (M 1 ) et (M ), de coté = 50 cm, sont disposés fce à fce, prllèlement l un à l utre à une distnce de = 150 cm. On incline ensuite (M ) d un ngle de 5 sur l verticle (rottion utour d un xe orizontl pssnt pr le bord inférieur de (M )). Entre ces deux miroirs est plcée une source Lser S émettnt un ryon lumineux orizontl en direction de (M ). Le ryon se réflécit sur le bord inférieur de celui-ci. éterminer le nombre de réflexions ynt lieu sur le miroir (M 1 ) vnt que le ryon ne ressorte de l espce situé entre les deux miroirs.. Les deux miroirs précédents sont désormis prllèles et distnt de. Une source ponctuelle S, située à l distnce d du miroir (M 1 ) émet de l lumière dns toutes les directions. En posnt le point S comme origine des positions, déterminer celles des imges de S formées pr le système optique. On donner l vleur des SS n et SS n où n > 0 un entier, S n les imges de S pr (M ) puis (M 1 ) puis (M )... (première série) et S n celles de S pr (M 1) puis (M ) puis (M 1 )... (seconde série). 1. Représentons l sitution sur une figure : on plcé (M 1 ) et (M ) en regrd vnt d incliner (M ) de 5. = 150 cm 5 (M 1 ) (M ) = 50 cm 1 1 S = 5 = 5 = 10 = 10 Le ryon issu de S se (Π 1 réflécit ) en sur de (M ) puis en 1 sur (M 1 ) vnt de (Πse ) diriger à nouveu vers vers (M ) qu il tteindrit en. ns le tringle isocèle 1 1, on détermine = 1 =. tn 53 cm > = 50 cm. près réflexion sur (M 1 ), le ryon psser u-dessus de (M ) et on en conclut que le ryon ne subir que deux réflexions (une sur (M 1 ) puis une sur (M )) vnt de ressortir de l espce situé entre les deux miroirs.. Les deux miroirs sont à nouveu prllèles comme sur l figure ci-dessous. Première série : S (M ) S 1 (M 1 ) S (M 1 ) S 3 (M ) S 4... (M 1 ) (M ) S 4 S J d S S 1 S 3 3

4 T O Correction PCS Tout ryon issu de S semble provenir de S 1 près réflexion sur (M ) vec S 1 symétrique de S pr rpport à (M ). Puis, près réflexion sur (M 1 ), ces ryons semblent provenir de S le symétrique de S 1 pr rpport à (M 1 ) (Cf figure ci-dessus). On lit lors SS 1 = S = d, SS = SS 1 + S 1 S = SS 1 + S 1 J = SS 1 + S 1 S + SJ = SS 1 + SJ = ( d) d soit SS =, SS 3 = SS + S = SS + (S S + S) = SS + S = + ( d) = 4 d. e même, en décomposnt de l même mnière, on obtient SS 4 = SS 3 + SJ = 4 + d d = 4 puis SS 5 = SS 4 + SJ = 4 + ( d) = 6 d on ur ensuite SS 6 = 6 + d d = 6, SS 7 = 6 + ( d) = 8 d... On en déduit pour l première série : si n est impir, SS n = (n + 1) d et si n est pir, SS n = n. Seconde série : l figure est semblble, on considère l série S (M 1 ) S 1 (M ) S (M ) S 3 (M 1) S 4... (M ) (M 1 ) S 5 S 3 S 1 Jd S S Pr l même métode que pour l série précédente, on relève S 4 SS 1 = SJ = d puis SS = SS 1 + S 1 = SS 1 + S 1S + S = SS 1 + S = d + ( d) =, SS 3 = SS + SJ = d SS 4 = SS 3 + S = + d + ( d) = 4 SS 5 = SS 4 + SJ = 4 d... où pour l seconde série : si n impir, SS n = (N 1) d et si n pir, SS n = n. Exercice 5 : Mesure de l indice d un liquide. 4

5 T O Correction PCS eux fils prllèles F 1 et F, distnts de, sont mintenus à l surfce d un liquide d indice n, grâce à des flotteurs (non représentés sur l figure). Le liquide est plcé dns un récipient dont le fond est grni de mercure, formnt un miroir pln. Soit l uteur de liquide u-dessus du mercure ; cette uteur est réglble grâce à un dispositif de vse communicnts. On observe l un des fils sous une incidence i 0 donnée, et on règle de fçon que l imge de l utre fil pr le miroir coïncide vec le fil observé. onner l expression de n en fonction de i 0, et. n F 1 Mercure F i 0 Représentons l imge F 1 de F 1 pr le miroir. On respecter l loi de l réflexion en en considérnt qu près réflexion, l lumière semble provenir de F 1. F 1 et F coïncident si les ryons prvennt à l œil de l observteur, directement de F et de F 1 près réflexion sur le miroir puis réfrction sont confondus. l fut donc que l ngle de réfrction sur le dioptre liquide ir soit i 0 vec n. sin r 0 = sin i 0. ns le tringle F rectngle en, on lit sin r 0 = soit sin r F 0 = + = 4. + es deux reltions précédentes, on déduit n g F 1 F 1 F n 4 = sin i + 0 n = sin i 0. i 0 r 0 Exercice 6 : Péceur u rpon. On considère n ir 1,00 et n eu = n 1, Une truite ssimilée à un segment = 40 cm orizontl se situe à l profondeur = 1 m. Un péceur observe 1 1, l imge de pr le dioptre, sous une incidence (pour 1 ) i 1 = 30. Puis en se rpprocnt sous une incidence i = 10. i 1 Exprimer 1 et l position des imges 1 et vues pr le péceur en fonction de, n et i 1 ou i. Fire les pplictions numériques et conclure. ir Eu. Le pêceur étnt mintennt qusi verticl pr rpport u milieu O de l truite, quelle est l position pprente du poisson et son dimètre ngulire pprent. On considérer que les yeux du péceur sont situés à 1 m de l surfce de l eu? r 1 = 1. Pour réliser l figure, on pourr s inspirer de celle du cours tout en dptnt les nottions (Cf ci-dessous à guce). 5

6 T O Correction PCS Comme pour l instnt i n est ps fible devnt 1 rdin, on ne peut ps linériser les reltions de Snell escrtes (sin i 1 i 1 ) et on grde n ir sin i 1 = n eu sin r 1 sin i 1 = n. sin r 1. K i 1 ir Eu r 1 i ir Eu O J r 1 O ns 1 et, deux tringles rectngles ynt le coté commun, tn i 1 = et 1 tn r 1 = d où = tn i 1 tn r 1 1 = sin i 1. cos r 1 sin r 1 cos i 1 1. Pour éliminer r 1 dns l expression précédente, on utilise sin i 1 sin r 1 = n et cos r 1 + sin r 1 = 1 cos r 1 = 1 sin r 1 = 1 sin i 1 = 1 n n n sin i 1. On en déduit finlement = cos i 1 1. e même, = cos i. n sin i 1 n sin i pplictions numériques : pour = 1 m et i 1 = 30 on clcule 1 70, cm et pour i = 10, 75 cm. Remrque : si on se plce dns les conditions de Guss (i fible devnt 1 rdin), l expression se simplifie (Cf cours) et on obtient = 75 cm. n Pour le péceur, le poisson semble plus proce de l surfce qu il n est en rélité et il risque de rentrer bredouille.. À nouveu le poisson semble plus proce de l surfce, on un effet loupe. Si on fit l ypotèse des ngles fibles ( 1 rdin à vérifier près clcul), on O = O et tn = O = n O K L ppliction numérique donne 13 ce qui confirme à posteriori l ypotèse des ngles fibles.. O +K 6