PROBABILITÉS : GÉNÉRALITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE

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1 ROBBILITÉS : GÉNÉRLITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉENDNCE. Expériece aléatoire, évéemets, loi de probabilité (Rappels de première et complémets).. Choix d'u modèle Lors de la réalisatio d'ue expériece aléatoire, o est ameé à choisir successivemet : a. U uivers Ω Il représete l'esemble toutes les issues evisagées de l'expériece. Il est doc foctio de l'idée de modélisatio a priori que l'o se fait de l'expériece. Si lors du lacer d'ue pièce de moaie o cosidère usuellemet qu'il y a deux issues "ILE" et "FCE", rie 'empêche d'e rajouter ue troisième, par exemple "TRNCHE". C'est à chacu (ou à chaque éocé) de le défiir. À défaut, o cosidère tacitemet, qu'il s'agit de l'uivers usuellemet utilisé das telle ou telle situatio. Exemples : O lace u dé et o regarde le uméro de la face obteue : Ω = { ; ; ; ; 5 ; 6} L'issue "obteir la face portat le uméro " est otée abusivemet. Idem pour les autres. O lace u dé et o regarde si le uméro de la face obteue est pair ou impair : Ω = { ; I} O lace ue pièce de moaie : Ω = { ; F} O lace deux pièces de moaie : Ω = { ; F ; F ; FF} O lace deux dés : Ω = {(i, j) où i 6 et j 6} Remarquos que l'uivers déped de l'observatio qui est faite : par exemple, si o lace deux dés et qu'o fait le produit ou la somme S des deux uméros obteus, o obtiet respectivemet : Ω = { ; ; ; ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; 5 ; 6 ; 8 ; 0 ; ; 5 ; 0 ; } Ω S = { ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; } Notos aussi qu'il existe des expérieces aléatoires qui comportet ue ifiité d'issues : O choisit u etier aturel au hasard : Ω = (Ce type d'esemble ifii est dit "déombrable") O choisit u réel au hasard etre 0 et : Ω = [0, ] (Ce type d'esemble ifii 'est pas déombrable) O choisit u ratioel au hasard etre 0 et : Ω = [0, ] O choisit u ombre premier au hasard : Ω = {ombres premiers} O verra aussi (au poit c.) que, das certaies situatios, l'expressio "choisir au hasard" peut déboucher sur des uivers différets suivat le protocole de choix utilisé. b. Ue famille de parties de Ω appelées "évéemets" Il s'agit des issues discerables ou mesurables par l'observateur. Lorsque l'uivers Ω est fii ou déombrable (c'est-à-dire e bijectio avec ue partie de ), chaque partie de l'uivers peut être cosidérée comme u évéemet. () () Cepedat, si Ω a la puissace du cotiu (par exemple Ω = [0, ]), o e peut plus cosidérer chaque partie de Ω comme u évéemet (car certaies parties de Ω se révèlet si complexes qu'o est icapable de dire si elles sot réalisées ou o). O fait doc le choix d'ue partie stricte de (Ω) (appelée tribu) vérifiat u miimum structurel afi de pouvoir calculer de maière commode des probabilités : et Ω (cotiet la "partie vide" et la "partie pleie") Ω \ (est stable par passage au complémetaire) ( ) famille d'élémets de N (est stable par uio au plus déombrable) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

2 Exemples : O lace deux dés et o regarde la somme des résultats obteus. (Voir l'uivers Ω S ci-dessus). La partie E = { ; ; 6 ; 8 ; 0 ; } est u évéemet qui peut se décrire par la phrase "la somme obteue est u ombre pair". O choisit 6 uméros au hasard etre et 9. Les évéemets sot toutes les combiaisos de 6 uméros choisis parmi 9. (O motrera qu'il y e a, voir la leço sur le 6 5 déombremet...) Rappelos que les élémets de Ω sot appelés des évéemets élémetaires. U évéemet élémetaire est doc ue partie de Ω réduite à u seul élémet (sigleto). c. Ue loi de probabilité (c'est-à-dire ue applicatio à valeurs das [0, ]) O demade à cette applicatio de vérifier les deux coditios : (Ω) = Si ( ) est ue famille d'évéemets deux à deux disjoits, alors : = ( ) N N (ropriété de σ-additivité () ) E particulier, si et B sot deux évéemets icompatibles (i.e. disjoits), alors : ( B) = () + (B) E coséquece, o a : = (Ω) = (Ω ) = (Ω) + ( ) Doc : ( ) = 0 Ue telle applicatio s'appelle probabilité ou loi de probabilité. Le symbole désige ue uio. Il est juste utilisé à la place de pour préciser que l'uio est disjoite. Grâce à la propriété d'additivité, o e déduit la propriété suivate idispesable pour calculer des probabilités de maière coforme à otre ituitio : la probabilité (E) d'u évéemet E est la somme des probabilités des évéemets élémetaires qui le composet. Remarque : le triplet (Ω, (Ω), ) (ou (Ω,, ) si Ω 'est pas déombrable) s'appelle u espace probabilisé. Modéliser ue expériece aléatoire, c'est choisir u tel triplet. U choix particulier de : Lorsque Ω est de cardial fii et que l'o affecte la même probabilité à chaque évéemet élémetaire, o dit que l'o choisit ue probabilité équirépartie. O a alors : pour tout évéemet élémetaire ω de Ω : (ω) = Card( Ω) pour tout évéemet E : (E) = Card( E ) Card( Ω) O dit aussi, das ue telle situatio, qu'il y a équiprobabilité. () Notos que la somme peut coteir ue ifiité de termes o uls mais qu'elle est écessairemet fiie car majorée par. robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

3 Et pour fiir, otos bie que, das certaies situatios, l'expressio "choisir au hasard" mérite d'être expliquée. E effet, sas protocole de choix, certaies expérieces peuvet aboutir à des uivers différets et géérer des calculs qui paraisset alors cotradictoires. Imagios, pour illustrer, l'expériece suivate : o dispose de deux bacs de deux places (les places sot umérotées a, a, a et a comme ci-dessous). O suppose que toutes les places sot vides sauf la place a qui est occupée. rrive ue deuxième persoe à qui o demade de s'asseoir "au hasard". Quelle est la probabilité que les deux persoes soiet assises sur le même bac? bac bac a a a a rotocole : choix d'u bac La secode persoe choisit l'u des deux bacs, de maière équiprobable. L'uivers est doc Ω = {bac ; bac }. La loi de probabilité est doée ici par : Évéemet élémetaire bac bac robabilité La probabilité que les deux persoes soiet assises sur le même bac est doc : p = rotocole : choix d'ue place La secode persoe choisit l'ue des trois places restates, de maière équiprobable. L'uivers est doc Ω = {a ; a ; a }. La loi de probabilité est doée ici par : Évéemet élémetaire place a place a place a robabilité La probabilité que les deux persoes soiet assises sur le même bac est doc : p = Et vous? Choisissez-vous d'abord le bac puis la place ou directemet la place? Moralité : il y a parfois des règles à préciser lorsqu'o fait u choix "au hasard"... Ue autre situatio de ce type est le "paradoxe de Bertrad". (Voir exercices sur les probabilités cotiues) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

4 .. Rappel de quelques propriétés des probabilités ropriété : la probabilité de la réuio de deux évéemets est doée par : ( B) = () + (B) ( B) Exemple : das ue classe, 0% des élèves jouet d'u istrumet à corde, 0% des élèves jouet d'u istrumet à vet et 5% des élèves jouet d'u istrumet à corde et d'u istrumet à vet. O choisit u élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il joue d'u istrumet à corde ou à vet? Notos C l'évéemet : "l'élève joue d'u istrumet à corde" et V : "l'élève joue d'u istrumet à vet" D'après les doées, o a : (C) = 0, ; (V) = 0, et (C V) = 0,05 D'après la propriété, o obtiet : (C V) = (C) + (V) (C V) = 0,5 Ω (Esemble des élèves de la classe) C (0 %) C V (5 %) V (0 %) Exercice : démotrer que si C, D et E sot trois évéemets alors, (C D E) = (C) + (D) + (E) (C D) (D E) (E C) + (C D E) E effet : (C D E) = (C (D E)) = (C) + (D E) (C (D E)) (C D E) = (C) + (D) + (E) (D E) ((C D) (C E)) (C D E) = (C) + (D) + (E) (D E) (C D) (C E) + (C D E) E gééralisat cette formule à ue uio de évéemets, o obtiet la fomule du "crible" : i = p + ( ) p= i < i <... < ip k p (Les courageux peuvet teter ue démostratio par récurrece) Remarque : la probabilité d'ue uio d'évéemets est toujours iférieure à la somme des probabilités de ces évéemets : i ( i) ik Et e particulier : ( B) () + (B) ropriété : la probabilité de l'évéemet cotraire de est ( ) = (). E particulier, La probabilité d'u évéemet impossible (par exemple : "obteir 7 e laçat u dé") est ulle : ( ) = 0. () Si B alors () (B) ("croissace" de la probabilité) ( \ B) = () ( B) \ B désige l'esemble des élémets qui sot das et pas das B : \ B = B () Réciproquemet, si u évéemet E est tel que (E) = 0. E est-il u évéemet impossible (c'est-à-dire : a-t-o écessairemet E = )? Répose : o, e gééral! E effet, cosidéros l'expériece suivate : o choisit u ombre réel compris etre 0 et au hasard (e cochat par exemple u poit au hasard sur le segmet). L'uivers est Ω = [0 ; ] qui est u esemble ifii o déombrable. Soit E l'évéemet : "le ombre choisi est π". E 'est pas impossible car π [0 ; ] et pourtat (E) = 0. Cepedat, si Ω est fii, o a l'équivalece etre E impossible et (E) = 0. ar cotre, si Ω est ifii, o est ameé à défiir : "E est dit impossible lorsque E = " et "E est dit -quasi-impossible lorsque (E) = 0". robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

5 Démostratios : rouvos déjà la propriété : ar défiitio, et sot icompatibles et = Ω. D'après la défiitio d'ue probabilité, o a doc : ( ) = () + ( ) Et comme ( ) = (Ω) =, il viet : () + ( ) = Si B alors B est l'uio disjoite de et de (B \ ) doc : (B) = () + (B \ ) Et comme (B \ ) 0, o obtiet bie : () (B) Le pricipe de ces démostratios est de se rameer à des évéemets icompatibles afi d'avoir des uios disjoites et d'utiliser la relatio ( B) = () + (B) Esuite, il est clair que les évéemets \ B et B sot icompatibles et que ( \ B) ( B) = (voir figure ci-dessous) D'après la défiitio d'ue probabilité, o a doc : () = ( \ B) ( B)) = ( \ B) + ( B) D'où le résultat. rouvos maiteat la propriété : Il suffit d'écrire que : B = ( \ B) B Ω B \ B B B \ Comme les évéemets \ B et B sot icompatibles, o a : (( \ B) B) = ( \ B) + (B) Et d'après la propriété : D'où le résultat. ( B) = () ( B) + (B). Variables aléatoires (Rappels de première et complémets) Das ce paragraphe, o e cosidère que des uivers Ω fiis ou ifiis déombrables... Défiitio Variable aléatoire Lorsqu'à chaque évéemet élémetaire ω d'u uivers Ω o associe u ombre réel, o dit que l'o défiit ue variable aléatoire (réelle). Ue variable aléatoire est doc ue applicatio X : Ω. () () Cette défiitio reste ecore valable si Ω est ifii déombrable et si l'o a choisi (Ω) comme tribu. ar cotre, si Ω a la puissace du cotiu, il faut rajouter das la défiitio la coditio suivate : "pour tout itervalle I de, l'esemble X (I) est u évéemet" sio le calcul des probabilités risque fort d'être très limité. robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 5 G. COSTNTINI

6 Exemple : O lace ue pièce de moaie trois fois de suite. L'arbre ci-cotre permet de détemier l'uivers Ω associé à cette expériece aléatoire. Il est costitué de 8 évéemets élémetaires (ombre de listes de élémets de l'esemble { ; F}) : Lacer Lacer F F F Ω = { ; F ; F ; FF ; F ; FF ; FF ; FFF} Lacer F F F F Si o suppose la pièce bie équilibrée, o peut cosidérer que ces huit issues sot équiprobables. Notos X le ombre de côtés "face" obteus. X est ue variable aléatoire qui pred les valeurs 0 ; ; ou. lus précisémet, o a X(Ω) = {0 ; ; ; }. O otera, par exemple "X = " ou (X = ) ou ecore [X = ] l'évéemet "face est sorti exactemet deux fois". lus précisémet : "X = k" = {ω Ω tels que X(ω) = k} = X (k) Ce que l'o a oté X (k) est l'esemble des atécédets de k par X. Remarque : o 'a pas besoi de probabilité pour défiir ue variable aléatoire. Uivers Ω (Esemble d'évéemets élémetaires ω) Variable aléatoire X (pplicatio de Ω das ) X(Ω) F 0 x F FF x Évéemet F x [X = ] FF FF x FFF La variable aléatoire X permet de défiir u ouvel uivers umérique X(Ω). Si l'uivers iital Ω est mui d'ue probabilité, la variable aléatoire X iduit égalemet ue ouvelle probabilité X sur cet uivers X(Ω). robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 6 G. COSTNTINI

7 .. Défiitio Loi de probabilité X associée à ue variable aléatoire Soit ue probabilité sur u uivers Ω. Soit X ue variable aléatoire défiie sur Ω telle que X(Ω) soit fii de cardial. Lorsqu'à chaque valeur x i ( i ) de X o associe les probabilités p i de l'évéemet "X = x i ", o dit que l'o défiit la loi de probabilité X de la variable aléatoire X. our illustrer, sur l'exemple précédet, à la valeur x =, ous pouvos associer la probabilité p = 8 puisque ous avos chace sur 8 d'obteir exactemet deux fois le côté "face". isi : X () = (X = ) Remarque (hors programme) : o peut motrer que l'applicatio X vue comme applicatio de (X(Ω)) [0 ; ] x X ( ( x)) est ue probabilité sur X(Ω). E effet : X (X(Ω)) = X ( ( x) ) = X x ( ) = (Ω) = (car est ue probabilité sur Ω) x X( Ω) x X( Ω) Soiet,,... des évéemets (élémets (X(Ω))) deux à deux disjoits, o a : X i = X x x i O a doc bie motré que X est ue probabilité sur X(Ω). ( ( )) = X ( ( x)) = ( ) x i i = X i E pratique, la loi de probabilité X de X est présetée sous forme de tableau. vec l'exemple de la pièce de moaie lacée trois fois et X = ombre de face obteus, cela doe : Valeur x i de la variable aléatoire X x = 0 x = x = x = robabilité p i de l'évéemet "X = x i" p = 8 p = 8 p = 8 p = 8 O remarquera que l'o a bie p i =. utre exemple : toujours avec le lacer d'ue pièce fois de suite. osos cette fois : Y = O a : si deux faces idetiques apparaisset successivemet 0 sio Valeurs k de Y 0 (Y = k) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 7 G. COSTNTINI

8 .. Défiitio Espérace, variace et écart type d'ue variable aléatoire Soit Ω l'uivers correspodat à ue expériece aléatoire. Soit ue probabilité sur Ω. Soit X ue variable aléatoire défiie sur Ω telle que X(Ω) soit fii () de cardial. Notos {x ; x ;... ; x } l'esemble X(Ω), c'est-à-dire l'esemble des valeurs prises par X. L'espérace mathématique de la variable aléatoire X est le ombre, oté E(X), défii par : E(X) = px i i = p x + p x p x l'espérace est la moyee des valeurs x i podérées par les probabilités p i La variace de la variable aléatoire X est le ombre, oté V(X), défii par : V(X) = E((X E(X)) ) = ( ) p x EX ( ) = p (x E(X)) + p (x E(X)) p (x E(X)) i i la variace est la moyee des carrés des écarts à la moyee L'écart type de la variable aléatoire X est le ombre, oté σ(x), défii par : p i = (X = x i) σ(x) = V( X) Remarque : la variace est ue quatité positive, doc l'écart type est bie défii. Exemples : Repreos l'exemple de la pièce de moaie lacée trois fois de suite et les variables aléatoires X et Y : E(X) = = V(X) = D'où : σ(x) = = De même avec Y : E(Y) = 0 + = V(Y) = 0 + = 6 et σ(y) = Iterprétatio : lorsque X représete le gai du joueur à u jeu de hasard, E(X) représete l'espoir de gai moye par partie, lorsqu'o joue u grad ombre de fois. Si E(X) > 0 (resp. E(X) < 0) alors le jeu est avatageux (resp. désavatageux) pour le joueur. Si E(X) = 0 alors le jeu est dit équitable. L'écart-type est ue caractéristique de la dispersio des valeurs de X. Remarque : o pourrait aussi calculer l'espérace E(X) e reveat aux évéemets élémetaires de l'uivers Ω au lieu d'utiliser les valeurs x i de la variable aléatoire X : E(X) = ( ω) X( ω) ω Ω Sur l'exemple précédet, comme (ω) = cela doerait : 8 E(X) = 8 ω Ω X( ω) = (X() + X(F) + X(F) + X(FF) + X(F) + X(FF) + X(FF) + X(FFF)) 8 () Si X(Ω) est ifii déombrable, l'espérace existe ecore sous réserve de la covergece (absolue) de la série de terme gééral x p. Si X(Ω) a la puissace du cotiu, l'espérace est doée par ue itégrale. robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 8 G. COSTNTINI

9 E(X) = 8 ( ) = Le calcul peut paraître plus log mais das certaies situatios, il peut s'avérer plus pratique (voir par exemple la démostratio de la liéarité de l'espérace e..) Exercice théorique : démotrer que l'espérace E(X) miimise la foctio ƒ défiie sur par : ƒ(x) = mais pas la foctio g défiie par : g(x) = p ( x x) La foctio ƒ est dérivable comme somme de foctios dérivables et o a pour tout x : i i i p x i x ƒ'(x) = pi( xi x) = px i i x p i = (E(X) x) ƒ est la foctio "moyee des carrés des écarts" tadis que g est la foctio "moyee des écarts". O e déduit : ƒ'(x) 0 x E(X) Doc ƒ admet u miimum e E(X) (et ce miimum est ƒ(e(x)) = V(X)...) L'espérace est doc la quatité qui miimise la moyee des carrés des écarts. ar cotre, elle e miimise pas la moyee des écarts. E effet, cosidéros la variable aléatoire X défiie par la loi suivate : x i p i 0,9 0, O a : E(X) = p x + p x = 00 g(e(x)) = p x 00 + p x 00 = = 80 Or : g(0) = E(X) = 00 Doc : g(0) < g(e(x)) Coclusio : E(X) e miimise pas la foctio g Quelle est doc la quatité qui miimise la foctio g? Etudios ça de près. Quitte à réidexer les idices des x i, o peut supposer sas perte de gééralité que : x < x <... < x Doos-ous k, et x [x k, x k+ ]. E coupat la somme e deux, il viet : g(x) = pi xi x = pi( x xi) + k pi( xi x) = x pi px i i + px i i x pi k+ k+ k k k+ Doc g est affie sur [x k, x k+ ] : g(x) = a k x + b k k avec : a k = pi pi = pi et b k = k+ k k px i i k+ Elle est doc croissate sur [x k, x k+ ] si et seulemet si a k 0, c'est-à-dire si et seulemet si pi. Doc g est ue foctio affie par morceaux, décroissate sur les itervalles [x k, x k+ ] tels que croissate sur les itervalles [x k, x k+ ] tels que pi. Elle admet doc u miimum e la valeur médiae de la série des x i ( i ). k i = px i i k k pi et i = robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 9 G. COSTNTINI

10 .. Théorème Liéarité de l'espérace Soiet X et Y deux variables aléatoires défiies sur le même uivers Ω de cardial fii. Soit ue probabilité sur Ω. O a : Et e particulier, pour tout réel b : E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X + b) = E(X) + b E(kX) = ke(x) pour tout réel k Démostratio : E(X + Y) = ( X + Y)( ω) ( ω) = X( ω) ( ω) + Y( ω) ( ω) = E(X) + E(Y) ω Ω E preat Y costate égale à b, o obtiet : E(X + b) = E(X) + E(b) = E(X) + b ω Ω ω Ω O calcule les espéraces relativemet aux évéemets élémetaires afi de pouvoir utiliser la liéarité de l'opérateur Σ. E(kX) = kpixi = k px i i = ke(x) Exemple : O lace dés, et o ote S la somme des résultats obteus. Calculer E(S). Soiet X, X, X et X les résultats obteus pour chaque dé. O a : E(X ) = E(X ) = E(X ) = E(X ) = ( ) =,5 6 Or, S = X + X + X + X, d'où : E(S) = E(X + X + X + X ) = E(X ) =,5 =.5. Théorème Calcul pratique de la variace : formule de Koeig-Huyghes La variace d'ue variable aléatoire X peut se calculer avec la relatio suivate : V(X) = E(X ) [E(X)] la variace est l'écart etre la moyee des carrés et le carré de la moyee Démostratio : o rappelle que l'espérace d'ue variable aléatoire costate X = b est égale à la costate b. D'après la liéarité de l'espérace : V(X) = E((X E(X)) ) = E(X XE(X) + E(X) ) = E(X ) E(X)E(X) + E(X) E() V(X) = E(X ) [E(X)] our le calcul de la variace, o préférera l'emploi de cette derière formule plutôt que celle vue e.. E effet, outre u itérêt pratique idéiable pour meer le calcul, la formule de Koeig-Huyghes est surtout plus fiable lorsque l'espérace E(X) e tombe pas juste. E effet, das la formule vue e.. l'erreur due à l'arrodi de E(X) se propage tout au log du calcul alors qu'elle 'apparaît que das le derier terme das la formule.5. Exemple : Repreos l'exemple de la pièce de moaie lacée trois fois de suite. X désige le ombre de "face" obteu. E(X ) = = V(X) = E(X ) [E(X)] = 9 = robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 0 G. COSTNTINI

11 .6. Corollaire Effet d'u chagemet affie sur la variace et l'écart type Soit X ue variable aléatoire. Soiet a et b deux réels. O a : V(aX + b) = a V(X) et σ(ax + b) = a σ(x) E particulier : V(aX) = a V(X) et σ(ax) = a σ(x) V(X + b) = V(X) et σ(x + b) = σ(x) Démostratio : D'après.5., o a : V(aX + b) = E(a X + abx + b ) [E(aX + b)] Et d'après la liéarité de l'espérace : V(aX + b) = a E(X ) + abe(x) + b [ae(x) + b] V(aX + b) = a E(X ) + abe(x) + b a [E(X)] abe(x) b V(aX + b) = a V(X) D'où, par passage à la racie carrée : σ(ax + b) = a σ(x) E particularisat b = 0, puis a =, o obtiet : V(aX) = a V(X) et σ(ax) = a σ(x) V(X + b) = V(X) et σ(x + b) = σ(x) Iterprétatio des derières relatios : ue traslatio 'a pas d'icidece sur la variace ou l'écart type d'ue variable aléatoire (e effet, cela e modifie pas so degré de dispersio)..7. Défiitio Foctio de répartitio d'ue variable aléatoire Soit X ue variable aléatoire. La foctio de répartitio F associée à X est la foctio défiie sur par : F(x) = (X x) La foctio de répartitio est toujours ue foctio croissate et borée par 0 et. Exemple : avec toujours les mêmes doées précédetes, o a : our x ] ; 0[, o a : F(x) = 0 our x [0 ; [, o a : F(x) = 8 our x [ ; [, o a : F(x) = = our x [ ; [, o a : F(x) = = 7 8 our x [ ; + [, o a : F(x) = = Représetatio graphique : robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

12 . robabilités coditioelles.. Exemple itroductif : u joueur tire, au hasard, ue carte d'u jeu de cartes. O cosidère les évéemets suivats : F = "la carte tirée est ue figure" et R = "la carte tirée est u roi" ) Calculer (F), (R) et (R F) (où désige la probabilité correspodat à l'équirépartitio) ) Le joueur affirme : "la carte tirée est ue figure". Quelle est alors la probabilité que ce soit u roi? Solutio : ) Ici, l'uivers Ω est costitué de évéemets élémetaires équiprobables. O a doc : (F) = Card ( F) Card( Ω ) = = 8 Card( R) ; (R) = Card( Ω ) = = 8 Card( R F) et (R F) = Card( Ω ) = = 8 ) Maiteat, ous 'avos plus l'équiprobabilité sur Ω. Les seuls évéemets de probabilité o ulle sot ceux qui sot costitués d'ue partie des figures du jeu de cartes. Nous allos choisir ue ouvelle probabilité F qui sera ulle pour les évéemets élémetaires e correspodat pas à ue figure et équirépartie pour les évéemets élémetaires correspodat à ue figure. our détermier la probabilité que la carte soit u roi, ous devos seulemet cosidérer les rois qui sot des figures, doc compter les élémets de R F, si bie que : F (R) = Card ( R F) = Card( F) = La probabilité F (R) s'appelle la probabilité coditioelle de R par rapport à F. O la ote parfois (R F) où R F représete l'évéemet "R est réalisé" sachat que F est réalisé. (Cette derière otatio état décoseillée car e faisat pas ressortir le fait que l'o a ue ouvelle probabilité). Nous remarquos que : F (R) = R ( F ) F ( ) Gééralisos ce résultat :.. Théorème Soit ue expériece aléatoire d'uivers Ω (avec Ω de cardial fii), ue probabilité sur Ω et B u évéemet tel que (B) 0. L'applicatio B de (Ω) das [0 ; ] défiie par est ue probabilité sur Ω. Démostratio (Hors programme) B () = ( B ) ( B) pour tout (Ω) O a : B (Ω) = ( Ω B ) = ( B ) ( B) ( B) = Soiet,,..., des évéemets (doc des élémets (Ω)) deux à deux disjoits. O a : B i = i B = ( B) i B ( B) Or, les évéemets i B sot deux à deux disjoits puisque les i le sot, doc : i B = ( i B) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

13 ( i B) D'où : B i = B ( ) = L'applicatio B est bie ue probabilité, le théorème est doc démotré. ( i B) = B( i) B ( ).. Défiitio robabilité coditioelle L'applicatio B aisi défiie s'appelle "probabilité B-coditioelle". La quatité B () se lit "probabilité, sachat B, de " parfois (et abusivemet) otée ( B). O a aisi : ( B) = B () = ( B ) ( B) Remarques : la relatio ci-dessus est très utile égalemet das l'autre ses : ( B) = B () (B) = (B) () l'évéemet cotraire de B est B (" 'est pas réalisé" sachat que B l'est). cas particulier : si B, alors () (B) et ( B) = (). D'où : B () = ( ) ( B) Exemples : U élève sérieux de termiale a 80% de chace d'avoir so Bac au mois de jui. edat les grades vacaces qui suivet, il passe u cocours pour itégrer ue école. Le cocours est ouvert à tous les élèves (bacheliers ou o) mais otre cadidat a 60% de chace d'être admis das cette école s'il est bachelier et 0% sio. Notos B l'évéemet "l'élève réussi so Bac" et l'évéemet "l'élève est admis das l'école". (B) = 0,8 B ( ) = 0, B B B() = 0,6 B ( ) = 0, B ( ) = 0, B( ) = 0,7 Quelle est la probabilité que l'élève réussisse so bac et soit admis à so école? O calcule : ( B) = B ()(B) = 0,6 0,8 = 0,8 robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

14 Le tiers d'ue populatio a été vaccié cotre ue maladie. u cours d'ue épidémie, o costate que, sur quize malades, il y a deux persoes vacciées. Le vacci est-il efficace? our le savoir, o compare la probabilité d'être malade (otée (M)) avec celle d'être malade sachat que l'o a été vaccié (otée V (M)). ar hypothèse, o a : (V) = et M(V) = 5 V (M) = ( M V ) = V ( ) M O a V (M) < (M). Le vacci est doc efficace. ( V) M ( ) V ( ) = 5 (M) = 5 (M) O suppose, de plus, que sur cet persoes vacciées, huit sot malades. Quelle est la proportio de malades das la populatio? O a doc : V (M) = 8 00 = 5 O peut aussi comparer V ( M) et V ( M ), o trouve : V ( M ) =,5 ( M) V Or, V (M) = 5 (M) d'où : (M) = 5 Il y a doc 0% de malades. U homme red visite à ue famille ayat deux efats. L'u des deux efats, u garço, ouvre la porte, quelle est alors la probabilité que les deux efats soiet des garços? Cosidéros l'expériece aléatoire suivate : choisir au hasard ue famille de deux efats et regarder si ce sot des garços ou des filles. L'uivers associé comporte issues possibles : Ω = {FF, FG, GF, GG} où, par exemple, FG est l'évéemet "l'aîée est ue fille, le cadet est u garço". Statistiquemet, o peut cosidérer ces quatre évéemets comme équiprobables. Notos l'évéemet "les deux efats sot des garços" et B l'évéemet "u des deux efats est u garço". O a : = {GG} et B = {FG, GF, GG} Il s'agit doc de calculer : B () = ( B ) ( B) Or, B = car B. Doc : B () = ( ) ( B) = = Remarque : cet exercice peut paraître déroutat car l'aspect coditioel 'apparaît pas assez clairemet das la questio qui devrait être plutôt formulée aisi : "quelle est la probabilité que les deux efats soiet des garços sachat que l'u l'est déjà". D'autre part, si l'o sait que le garço qui ouvre la porte est l'aié, la probabilité que l'autre efat soit aussi u garço est das ce cas égale à 0,5 bie sûr. robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

15 .. Théorème Formule des probabilités totales Soit Ω u uivers mui d'ue probabilité. Si des parties B, B,..., B, de probabilités o ulles, costituet ue partitio () de Ω, alors pour tout évéemet, o a : () = ( B k ) = k= k= Bk ( B ) ( ) k Démostratio (Hors programme) Les esembles B, B,..., B costituet ue partitio de : = B k k = (uio disjoite). D'après l'additivité de la probabilité pour les esembles disjoits o a : () = B k = ( B k ) Et comme ( B k ) = B k ( ) (B k ) pour tout etier k tel que k, o a : k = () = k= Bk k= ( B ) ( ) k Ω B B B B B 5... B Illustratio sur u arbre : (B ) (B ) (B ) (B ) B B B... B B ( ) B ( ) B ( ) B ( )... Remarques : La formule des probabilités totales reste vraie si B, B,..., B sot des évéemets deux à deux icompatibles et si B. i O a e particulier : () = ( B) + ( B ) () O dit que des parties o vides B, B,..., B formet ue partitio d'u esemble Ω lorsqu'elles sot deux à deux disjoites (B i B j i = j) et recouvret tout l'esemble Ω (B B... B = Ω) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 5 G. COSTNTINI

16 Exemples : Repreos l'exemple de otre élève qui passe so bac et so cocours. O recotre cet élève au mois de septembre et il ous dit qu'il a été admis à l'école. Quelle est la probabilité qu'il ait so bac? Nous devos calculer : (B) = ( B) ( B) = ( ) ( B) + ( B) = 0,8 = 8 0,8+ 0, 0, 9 Repreos l'exemple de l'épidémie et cherchos la probabilité qu'ue persoe o vacciée tombe malade. Nous cherchos doc ( M ). Il est clair que les évéemets V et V costituet ue partitio de l'esemble V de la populatio. D'après la formule des probabilités totales, o a : (M) = V (M) (V) + V( M) (V ) M ( ) V( MV ) ( ) D'où : V( M ) = = 5 5 = V ( ) 50 = 0,6 Le feu tricolore. U automobiliste arrive à proximité -disos ue dizaie de mètres- d'u feu tricolore et aucu véhicule e le précède. O suppose que, si le feu est vert à ce momet là, l'automobiliste décide de passer avec ue probabilité de 99/00. Si le feu est orage, l'automobiliste décide de passer avec ue probabilité de /0 et efi si le feu est rouge, l'automobiliste décide de passer avec ue probabilité de /00 (quelques fous...). Le cycle du feu tricolore dure ue miute : vert : 5s, orage : 5s et rouge : 0s. Quelle est la probabilité que l'automobiliste passe sas s'arrêter à ce feu tricolore? Notos l'évéemet "l'automobiliste passe sas s'arrêter au feu" et V (resp. O et R) = "le feu est vert (resp. orage et rouge)". Comme V O R = Ω (uio disjoite), o a : () = V ()(V) + O ()(O) + R ()(R) = = <.... Idépedace.. Défiitio Idépedace d'évéemets Soit ue probabilité sur u uivers Ω. O dit que deux évéemets et B (de probabilités o ulles) sot -idépedats lorsque la réalisatio (ou o) de l'u 'a pas d'ifluece sur la probabilité de réalisatio de l'autre : B () = () ou (B) = (B) O coviet qu'u évéemet tel que () = 0 est -idépedat de tout autre. Coséquece : soiet et B des évéemets tels que () 0 et (B) 0. Si et B sot idépedats, alors : ( B) = B () (B) = () (B) Réciproquemet, si ( B) = () (B) alors o a : B () (B) = () (B) d'où B () = () (B) () = () (B) d'où (B) = (B) Les évéemets et B sot doc idépedats. Ne pas cofodre l'idépedace et l'icompatibilité de deux évéemets. ar exemple, si o lace u dé et si o cosidère les évéemets : = "obteir u ombre pair" et B = "obteir u ombre impair" lors et B sot icompatibles (puisque B = ) et dépedats (puisque () = (B) = 0,5 alors que ( B) = 0) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 6 G. COSTNTINI

17 Ce qui fourit u bo critère pour savoir si deux évéemets sot idépedats :.. Théorème Critère d'idépedace de deux évéemets Deux évéemets et B sot -idépedats si et seulemet si ( B) = () (B) Exemples : O lace deux dés et o désige par l'évéemet "le premier dé amèe u ombre pair", par B l'évéemet "le deuxième dé amèe u ombre impair" et par C l'évéemet "les deux dés amèet u ombre pair". O a :() = ; (B) = ; (C) = ; ( B) = ; ( C) = ; (B C) = 0. (rbres) O coclut : et B sot idépedats ; et C sot dépedats ; B et C sot dépedats. O lace ue pièce deux fois de suite et o cosidère les évéemets = "FCE au premier lacer" et = "FCE au secod lacer". O a Ω = {FF ; F ; F ; } et o calcule ( ) = 0,5 ; ( ) = 0,5 et ( ) = 0,5. Les évéemets sot idépedats, ce qui est rassurat. Deux évéemets et B icompatibles et de probabilités o ulles sot toujours dépedats puisque ( B) = 0 et ().(B) 0. L'évéemet Ω est idépedat de tout évéemet puisque ( Ω) = () = () = ()(Ω). Remarque : il faut être méfiat avec la otio d'idépedace. Deux évéemets peuvet ituitivemet sembler idépedats sas pour autat l'être après calculs. ar exemple, cosidéros l'expériece suivate : Quatre lots sot répartis etre 5 persoes,..., 5 de la faço suivate : chaque lot est attribué par tirage au sort d'ue persoe parmi les 5. L'uivers Ω de cette expériece aléatoire est l'esemble des listes de élémets de { ;... ; 5 }. Il y e a 5. our tout k ; 5, otos E k l'évéemet décrit par "la persoe k e reçoit aucu lot". Les évéemets E k, k 5, sot-ils idépedats? Répose : o. E effet, soiet h et k disticts compris etre et 5. L'évéemet E k est costitué des listes de élémets de l'esemble { ;... ; 5 } \ { k }. Il y e a. vec la probabilité équirépartie sur Ω, o a : (E k ) = 5 De même : (E h ) = 5 ar ailleurs E k E h est costitué des listes de élémets de l'esemble { ;... ; 5 } \ { k ; h }. Il y e a. Doc : (E k E h ) = 5 D'où : (E k E h ) (E k ).(E h ) robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 7 G. COSTNTINI

18 Extesio à évéemets :,,..., sot dits mutuellemets idépedats lorsque pour toute famille d'idices K ; k = ( k ) k K k K qu'il e faut pas cofodre avec l'idépedace deux à deux :,,..., sot dits deux à deux idépedats lorsque pour tous i et j vérifiat i < j : ( i j ) = ( i )( j ) Des évéemets mutuellemet idépedats le sot aussi deux à deux (il suffit de predre les parties K de deux élémets), mais la réciproque est fausse : il suffit de cosidérer, pour le lacer de deux pièces de moaie (bie équilibrées), les évéemets : "o obtiet ILE au premier lacer", B : "o obtiet ILE au secod lacer" et C : "o obtiet le même côté aux deux lacers". O vérifie facilemet à l'aide d'u arbre que () = (B) = (C) = 0,5 puis que ( B) = ( C) = (B C) = 0,5 doc, B et C sot deux à deux idépedats et pourtat ( B C) = 0,5 et ()(B)(C) = 0,5 doc, B et C e sot pas mutuellemet idépedats. Exercice : Soiet et B deux évéemets idépedats. et B sot-ils idépedats? Et et B? O peut commecer par répodre à la secode questio : B ( ) = B () = () = ( ) Doc et B sot idépedats. Il suffit de passer maiteat à l'évéemet cotraire de B pour obteir ue répose affirmative à la première questio. E effet : ( B ) = ( B) = ( B) = () (B) + ( B) = () (B) + ()(B) Et e vertu de l'idetité x y + xy = ( x)( y) : ( B ) = ( ())( (B)) = ( )( B ).. Défiitio Idépedace de variables aléatoires Soiet X et Y deux variables aléatoires défiies sur u uivers Ω telles que X(Ω) et Y(Ω) soiet fiis. Notos x,..., x et y,..., y p les valeurs de X et Y. O dit que X et Y sot des variables aléatoires idépedates lorsque : pour tout i, et tout j, p, les évéemets "X = x i " et "Y = y j " sot idépedats Das ce type de situatios (où deux variables aléatoires sot e jeu), il est utile de dresser u tableau à etrées. robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 8 G. COSTNTINI

19 Exemple : O lace deux dés bie équilibrés. O ote S la somme des résultats obteus et le produit. Doer, sous forme de tableau la loi de probabilité du couple (S, ). Les variables aléatoires S et sot-elles idépedates? Dressos tout d'abord deux petits tableaux doat les différetes possibilités de sommes et de produits : S Loi du couple (S, ) : S Loi de S Loi de Les variables aléatoires S et e sot pas idépedates. E effet : ("S = " " = ") = 0 (S = )( = ) = 0 robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 9 G. COSTNTINI

20 5. Modélisatio d'expérieces. Répétitio d'expérieces idépedates Voici trois règles pratiques pour calculer des probabilités directemet sur des arbres (règles qui sot e relatio avec des résultats du cours ci-dessus) : Exemple de situatio où l'o réitère deux fois ue expériece comportat deux issues et B cotraires l'ue de l'autre. O ote (resp. ) l'évéemet " se réalise à la première (resp. deuxième) expériece". Mêmes otatios pour B. L'uivers associé à cette situatio comporte issues : Ω = { ; B ; B ; B B } ( ) (B ) ( ) (B ) ( B ) (B B ) B B B R : la somme des probabilités des braches partat d'ue même racie est toujours égale à : Exemple : ( ) + (B ) = (ceci proviet du fait que et B sot cotraires) R : la probabilité d'u chemi est égale au produit des probabilités des braches de ce chemi : Exemple : la probabilité du chemi - est : ( ) = ( ) ( ) (formule de probabilité coditioelle) R : la probabilité d'u évéemet est la somme des probabilités des chemis correspodat à cet évéemet. Exemple : La probabilité de l'évéemet "obteir exactemet ue fois " est : ( B ) + (B ) Lie avec l'idépedace : si o suppose que les deux expérieces se déroulet de maière idépedate. O a alors l'arbre suivat : La probabilité du chemi - sera doc ( )( ) Cas particulier à coaître : si o répète fois, de maière idépedate ue expériece. La probabilité p qu'u évéemet de cette expériece se réalise fois sera : p = (()). ( ) (B ) ( ) (B ) ( ) (B ) B B B Exemples : O lace u dé fois ( * ). Commet choisir pour que la probabilité p d'obteir au mois u 6, au cours des lacers, soit supérieure ou égale à 0,95? Notos : O a : = "o obtiet au mois u 6 au cours des lacers" = "o obtiet aucu 6 au cours des lacers" L'évéemet se réalise, si et seulemet si, pour chacu des lacers (qui sot idépedats), o 'obtiet pas de 6. D'après le cas particulier vu ci-dessus, o a : = ( ) 5 6 D'où : p = () = 5 6 O cherche maiteat tel que : p 0,95 Il s'agit d'u cas particulier de la loi biomiale qui sera abordée das le chapitre suivat. robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age 0 G. COSTNTINI

21 5 6 0, ,05 La foctio l état croissate sur ]0, + [, cette derière iéquatio équivaut à : Et puisque l 5 6 < 0 (car 5 ]0, [), o a : 6 l 5 l 0,05 6 l0,05 5 l 6 La calculatrice doe : l0,05 5 l 6 6, à 0 près Et comme est u etier : 7 O doit doc lacer le dés au mois 7 fois pour être sûr à 95% d'obteir au mois u 6. Soit *. O rage objets das tiroirs (chaque tiroir pouvat coteir de 0 à objets). Calculer le ombre moye de tiroirs vides. Défiissos la variable aléatoire X i, ( i ), par : X i = ème si le i tiroir est vide 0 sio O a : (X i = ) = = Notos E (X i ) l'espérace de X i. (Elle déped de ) et (X i = 0) = (X i = ) = O a : E (X i ) = Notos X = X i = ombre de tiroirs vides. D'après la liéarité de l'espérace, il viet : E (X) = E( Xi) = Remarque : étudios la limite de la proportio E ( X ) de boîtes vide. O a : E ( X ) = = e l = X= e l( + X) X Or, Mais o sait que lim X 0 lim + e l = X= lim X 0 e l( + X) X l( + X) = l'() =, doc par cotiuité de l'expoetielle, o e déduit : X robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI

22 lim X 0 e l( + X) X = e D'où : lim + E ( X ) = e La proportio de boîtes vides ted vers lorsque ted vers +. e robabilités : gééralités - coditioemet - idépedace age G. COSTNTINI